初中数学复习：反比例函数背景下的面积问题（原卷版）

反比例函数背景下的面积问题

一、反比例函数攵的几何意义

1.反比例函数4的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂

线与坐标轴所围成矩形的面积为伏I。如图二，所围成三角形的面积为:

二、利用k的几何意义进行面积转化

1.如图，直线与反比例函数），=人（人工0）交于A、B两点、,与X、），轴的交点分别为C、

x

。，

那么SAC=SAX/>-S.wm-SwAc，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，

就比较低

2.如图，过点4、8作九轴的垂线，垂足分别为E、八则根据k的几何意义可得，S&OBF=S&OAE，

f

而S&OBF+S梯形ABFE=S&Q&B^^^OAE，所以S悌形ABFE=^^OAB此方法的好处，在于方便，快捷，

不易出错。

成j例题精讲

【例1】.如图，反比例函数y=6在第一象限的图象上有两点A,B,它们的横坐标分别是

7

2,6,则△408的面积是.

》变式训练

【变17】.如图，点A在反比例函数y=^-(x>0)的图象上，点8在x轴负半轴上，直线

4B交y轴于点C,若芋■,，的面积为12,则大的值为(

)

D.12

【变1-2].如图，反比例函数y=K(&>0)的图象与矩形48C。的两边相交于日尸两点,

x

若E是A8的中点，SMEr=4,则k的值为.

【例2].如图，平面直角坐标系中，菱形A8CO在第一象限内，边3c与x轴平行，A,B

两点的纵坐标分别为6,4,反比例函数)，=K(x>0)的图象经过A,B两点,若菱形

X

A8CD的面积为2函，则k的值为.

》变式训练

【变2-1].如图，点小B在反比例函数丁=上的图象上，人、8的纵坐标分别是3和6,

x

连接04、0B,则△Q48的面积是（）

【变2-2].如图，在直角坐标系中，0为坐标原点，困数y=且与），=±在第

XX

一象限的图象分别为曲线。，C2,点P为曲线a上的任意一点，过点P作），釉的垂线

交C2于点A,作X轴的垂线交C2于点从则阴影部分的面积S&W8=.（结果

用a,Z?表示）

i)实战演练

1.如图，在△ABC中，AB=4C,点4在反比例函数y=K（火>0,x>0）的图象上，点B,

。在x轴上，OC=^OB,延长4c交），轴于点D,连接BD,若△BC。的面积等于1,

5

2.如图，。。交双曲线y=K于点4,且。。：04=5：3,若矩形48C。的面积是8,且A3

A.18B.50C.12D.

3.如图，已知点A，8分别在反比例函数），］=-2和*=K的图象上，若点A是线段08

XX

的中点，则人的值为（)

C.-2D.-4

4.如图，点人（加，〃），B14,2）在双曲线产区上，且若△408的面积为更,

2x44

C-fD.343

5.如图，点A,8是反比例函数y=K（x>0）图象上的两点，过点4,8分别作AC_Lx轴

x

于点C,轴于点。，连接0A、BC,已知点C（2,0）,BD=3,S&BCD=3,则必

6.如图，平行于），轴的直线分别交），=&»与3，=丝的图象（部分）于点A、从点C是），

xx

轴上的动点，则△ABC的面积为（)

A.k\-kiB.—(^i-^2)C.hi~k\D.—(七・h)

22

7.已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边。。在），轴上，双曲线），=区与边8c交

于点。、与对角线OB交于中点E,若△OBD的面积为10,则女的值是（）

「10

A.10B.5

3D噌

8.如图，在以。为惊点的直角坐标系中，矩形OA8c的两边OC、04分别在x轴、），轴的

正半轴上，反比例函数y=K（x>0）与48相交于点D,与8C相交于点E,若BD=3AD,

x

且△。。石的面积是12,则太=（）

A.6B.9C.—D.丝

55

9.如图，一直线经过原点O,且与反比例函数y=K（A>0）相交于点A、点8,过点A作

x

ACJ_y轴，垂足为C,连接8C.若△A8C面积为8,则女=.

y

11.如图，4（4,3）是反比例函数y=K在第一象限图象上一点，连接。4,过A作人8〃犬

x

轴，截取AA=Q4（A在4右侧），连接0B,交反比例函数产区的图象于点P.则AO”

12.如图，直线y=x+〃?与双曲线y=3相交于A,8两点，8C〃x轴，AC〃y轴，则AABC

x

面积的最小值为.

X

13.如图，在平面直角坐标系中，△044的边0A在x轴正半轴上，其中NOA4=90°,A0

=48,点C为斜边的中点，反比例函数y=K（4>0,入>0）的图象过点C,且交线

x

段A8于点。，连接CD,0D.若S4oa>=6,则攵的值为

14.如图，在平面直角坐标系中，回。4BC的顶点A,8在第一象限内，顶点C在F鼎上,

经过点4的反比例函数产X（A>0）的图象交AC于点Q.若CD=2BD,0Q48C的面

x

积为15,则Z的值为

15.如图，点A在双曲线y=K的第一象限的那一支上，A8垂直于,，轴于点8,点C在

x

轴正半轴上，且。。=148,点E在线段AC上，且AE=3EC,点。为08的中点，%X

ADE的面积为3,则k的值为

ki

16.如图，已知反比例函数■与一次函数计》的图象交于点A(l,8),8(・4,

两点.

⑴求心,h，〃的值;

(2)求△A03的面枳；

17.如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(小6),A8_Lx轴于点8,COSNQ4B=3,

5

反比例函数)，=三的图象的一支分别交A。、AB于点C、D.延长AO交反比例函数的图

X

象的另一支于点£已知点。的纵坐标为3.

2

（1）求反比例函数的解析式;

（2）求直线£8的解析式；

18.如图，直线），=七］与反比例函数的图象交于点A（3,。），第一象限内的点B在这个反

3

比例函数图象上，。3与x轴正半轴的夹角为a,且tana=2》.

3

（1）求反比例函数的解析式;

（2）求点B的坐标；

（3）求S80AB♦

19.已知：如图，在平面直角坐标系xQv中，直线A8与x轴交于点A（-2,0）,与反比

例函数在第一象限内的图象的交于点B（2,〃），连接80,若S“OB=4.

（1）求该反比例函数的解析式和直线44的解析式；

（2）若直线AB与双山线的另一交点为。点，求△0DB的面积.

20.如图，在平行四边形0A8C中，0C=2V2,NA0C=45°,点A在X轴上，点。是A3

的中点，反比例函数y=K(k>0)的图象经过c，Q两点.

x

(1)求k的值；

(2)求四边形。48C的面积.

21.如图，直线y=6x与双曲线)=上(&#(),且x>0)交于点4,点A的横坐标为2.

(1)求点A的坐标及双曲线的解析式：

(2)点4是双曲线上的点，且点4的纵坐标是6,连接OB,AI3,求△AO/3的面积.

22.如图，已知A(-4,，?)，B(2,-4)是一次函数y=去+b的图象和反比例函数y*的

x

图象的两个交点.

(I)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求的面积；

(3)若。(x,0)是犬轴上原点左侧的一点，且满足kx+b-典<。，求x的取值范围.

X

23.如图，一次函数尸hr+〃的图象与反比例函数尸"(]<())的图象相交于点A(-1,

x

2)、点B(-4,〃).

(1)求此一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求△AO8的面积；

(3)在x轴上存在一点P,使△外8的周长最小，求点P的坐标.

24.如图，在平面直角坐标系工分中，已知四边形。OBC是矩形，且。（0,4）,8（6,0）.若

反比例函数y=X（A0）的图象经过线段O