2026高三数学讲义：等式性质与不等式性质

1.3等式性质与不等式性质

，考试要求

1.理解用作差法、作商法比较两个实数大小的理论依据，会比较两个实数的大小.

2.掌握等式的基本性质.

3.理解不等式的概念及不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

陞备知识回顾自主学习•米班回扣

教材回扣

1.比较实数。，〃大小的基本事实

(1)作差法

①。—b>O^>a>b:

②。-b=O=a=〃：

③。—b<0<i=^a<b.

(2)作商法

1(6/eR,。>0)=。沙(“£R,Z?>0)；

②8#())<=>4=仇b#0)；

③*l(a£R,。>0)<=>无仇a£R,Z»0).

2.等式的基本性质

⑴对称性：a=bob=a.

(2)传递性：a=b,b=c=>a=c.

(3)可加(减)性：a=b^a±c=b±c.

(4)可乘性：a=h=>ac=bc.

(5)可除性：a=b,cW0=:三，

3.不等式的性质

性质性质内容注意

对称性a>bob<a；a<b=b>a可逆

传递性a>b,b>c=^(i>c\a<b,b<c=a<c同向

可加性可逆

可乘性a>b,c>0=>ac>hc；a>b,c<0^ac<bcc的符号

同向可加性a>b,c>d^a+c>b4-d同向

同向同正a>h>0,c>d>0=同向，

可乘性aGbd同正

可乘方性a>b>3〃£N,同正

可开方性a>b>0,〃£N,n^2=>!\[a>y[b同正

归教材拓展

I.不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

®a>b,ab>0=^~<^

②4<0<〃W

③a>/»0,t/>c>0=>^>^；

④0<a<xvb或

(2)分数性质

若"】>0,则

①真分数性质：-~<空'9一〃?>0),即真分数越加越大，越减越小;

a—maa-tm

②假分数性质：需学<公>一心0)，即假分数越加越小，越减越大.

2.若a<x<b,c<y<d,则a—d<x—y<b—c.

基础检测」

1.判断(正确的画“J”,错误的画“X”)

(1)两个实数。，b之间,有且只有a〉。，a=b,三种关系中的一种.(J)

(2)若31,则">〃.(X)

(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(X)

(4)若］，，则〃<a(X)

2.(多选)(人教A版必修第一册P43T8改编)下列命题为真命题的是(ABD)

A.若a&>b2,则a>b

B.若a>b>0,则a?〉/

C.若aVbVO,则/V"V"

D.若aVbVO,则｝

解析：Qbc1,则dX),则心儿故A正确：根据不等式的性质，。>力>0=/>">0,n

EN\故B正确；若。=-2,/?=-1,则故c错误：5一［=今涓①，因为〃。<0,

所以〃-a>0,ab>0,所以①式大于零，故先,故D正确.故选ABD.

3.（人教A版必修第一册P57T2（1））若a>b,且$>石，则（用不等号“〉’域

填空）

解析：（一（=3浸因为所以〃一4<。，所以"VO.

4.（人教A版必修第一册P43T3（4）改编）设”=/+9+1,N=2（x+y-l）,则M与N

的大小关系为M>N.

解析：M—N=W+V+1-2A—2y+2=（x-l）24-（y-l）24-1>0.故M>N.

陕键能力提升互劝探究•考点钻讲

考点1比较数（式）大小

命题角度1作差法比较大小

【例1】若〃<0,b<0,则p=；+^■与g=a+Z?的大小关系为（B）

A.p<qB.

C.p>qD.

lr,cr,b2~a2,a2~b2八，"11、(b2—a2Xb-a)

【解析】〃_q=£+万=+=尸^=

(/?一4)2(8+〃)

因为a<0,b<0,所以a+Z><0,a/»0.若。=〃，则p—q=0,故〃=g;若

则p一q<0,故p<q.综上，pWq.故选B.

,规律总结

作差法的步骤和关注点

步骤作差并变形=判断差与0的大小=得结论

关注点利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形

命题角度2作商法比较大小

【例2】e""与e。F"的大小关系为er7rCVeC.7t"W.

n'cc

【解析】爵=出ee(e、，。c^,Tt

，又OV^Vl,0<7t-e<l,所以<1,即而近V

I,即ek^Vee•炉.

/规律总结k

作商法的步骤和关注点

步腺作商并变形=判断商与1的大小=得结论

作商时两式的符号应相同，如果两式均小于0,所得结果与“作商法原理”中的结

关注点

论相反.变形方法有分母（或分子）有理化，指、对数恒等变形等

【对点训练1](1)若a=4d+病，Z?=4J2+A/3C+1+1,贝"D)

A.a2bB.a>b

C.ci=bD.a<b

解析：因为a=4d+V3c,b=4(F+y)3c+1+I,则c20,所以人一“=(4/+,30+1+

1)—(4d+"7^)=(4心—4d+l)+川3，+I—y/3c)=(2z/—1)2+(，3c+1—yfJc')20+(y/3c+1

一小力>y{3c—y[3c=(),所以比>a,即a<〃.故选D.

3-)-i«

⑵若实数加，〃，〃满足〃?〃〃=*,则(

=4e5,=5e3,V*A)

A.[)<ni<nB.〃<〃<，〃

C.m<p<nD.n<p<m

3

3251

解析：,实数加，%p满足〃?=4e*,〃=5e%,〃=写，，£=%=之6一而<1,.,・”?<〃，又:

5e5°

="j^=^e5>l,，/?<〃?〈几故选A.

葭

考点2不等式的性质

【例3】（1）（2024•安徽淮北二模）已知a,bGR,下列命题正确的是（D）

A.若ab=l,则a+b22

B.若!<1，则a>b

C.若a>b,则In（。一份>0

D.若a>h>0,则a+/>%+：

【解析】当4=-1,）=-1时,a+b=-2,故A错误；当〃<0,力>0时,a<b,故B

错误；当a=2,〃=1时，In（«—Z?）=0,故C错误；若a>〃>0,则%%。，则成立，

故D正确.故选D.

（2）（多选）（2024・湖南长沙二模）设小b,c,d为实数,且a>b>O>c>d,则下列不等式

正确的有（AD）

A.cr<cdB.a-c<b—d

C.ac<bdD.^>0

［解析】对于A,由0>c>d和不等式性质可得/vcd,故A正确；对于B,因为a>b>O>c>df

若取a=2,b=I,c=—1,d=—2,则a—c=3,〃-d=3,所以4—c=/?—d,故B错误；

对于C,因为a>b>O>c>d,若取。=2,b=l,c=—1,d=—2,则ac=—2,bd=~2,所以

ac=bd,故C错误；对于D,因为〃>比>0,则得J，又因为0>c>d,则0<一。<一4由不等

式的同向同正可乘性得，一%一£,故:一日>0,故D正确.故选AD.

,规律总结

判断不等式正误常用的三种方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意应用性质的前提条件.

(2)利用特殊值排除法.

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、

对数函数、募函数等的单调性进行判断.

【对点训练2】(1)(2024•北京丰台区二模)若小b^R,且贝U(D)

A22

A'—a2+1—\b2+\B.ab>ab

C.cr>ab>trD.a>~^~>b

解析：由于ci>b,取“=1,b=—1,^2_|_|=^2_|_1=2,无法得到q2+］<〃2+］，故A错

误；取4=0,b=-\t则/力=他2,无法得到40>必2,故B错误；取4=0,。=一2,则

=0,ab=0,吩=4,无法得到a2>ab>h2,故C错误：由于a>b,则2a>b+a>2b,所以

故D正确.故选D.

(2)(多选)(2024•安徽淮北一模)已知小b,c£R，下列命题为真命题的是(BD)

A.若a>b>c,WOa-ib>c

B.若a>/a|c|,则的护城

C.若a<b<c<(),则》£

D.若a>b>c>(),贝必以

aa+c

解析：当人为负数时，A可能不成立，例如“=-2,/?=—3,c=-4,—2>—3>—4,

但一2+(—3)〈一4,即a+Xc,故A错误.因为〃>">|c|20,根据不等式性质可得层>批“2,

11II1cc

故B正确.因为〃</?〈()，所以益>。，所以益即］<)<()，所以故C错误.因

,〜bb-\~cab-\-bc—ab—acc(b—a)“hb+c,,.,

a>b>c>0,所以-7-=----,、---=,,<0,所以一〈二一，故D正确.故选BD.

aa-rc“(a+c)az(a-rc)aa+c

考点3利用不等式的性质求代数式的取值范围

【例4】(多选)已知实数x,y满足一3a+2产2,-l<2x-y<4,贝以ABD)

A.x的取值范围为(一1,2)

B.y的取值范围为(一2,1)

C.x+y的取值范围为(一3,3)

D.x—)，的取值范围为(一1,3)

［解析】因为一1V1V—y<4，所以一2<4.r-2)，<8.因为一3<x+2y<2,所以一5<5A<10,

则一10y2,故A正确；因为一3<x+2y<2,所以一6V2x+4}<4,因为一1v2t一产4,所以一4v

-2x4-_v<1,所以一10<5)<5,所以一2<yv1,故B正确；因为一3<r+2)<2,—1<2x—y<4,

936II4

所以-5<*(X+2)，)<0—y)<^,则一2<i+.v<2,故C错误；因为一3<x+2.v<2,—1<2v

—}<4,所以一,<一］(x+2y)<|,—1<|(2v—y)<y,—I<x—y<3,故D正确.故选ABD.

,规律总结

利用不等式的性质求某些代数式的取值范围时，应注意两点：

一是必须严格运用不等式的性质.

二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决这个问题的途径是先

建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求

解范围.

【对点训练3】⑴若lv«<3,~4<b<2,则a—|b|的取值范围是(C)

A.(一3,3]B.(—3,5)

C.(-3,3)D.(1,4)

解析：由题设0W|〃|<4,则一4<一|力|W0,又lva<3,所以一3<。一族|<3.故选C.

(2)已知一—3。<1,则以卜.错误的是(D)

A.—15<ab<5B.-4<s+〃<6

C.-2〜i<8Dn.一§5<铲a5匚

-1<a<5,

解析：因为一l<a<5,—3<Zxl,所以一1<—X3,对于A,=—15〈aK3,

-3<Z?<0

—1<«<5,—1<a<5,

=ab=O,=—1<ab<5,综上可得一15<ab<5,故A正确；对于B,

b=()()</?<1

一3一1=-4〈.+从1+5=6,故B正确；对于C,-1-1=-2<«-/?<3+5=8,故C正确;

对于D,当a=4,时，1=8,故D错误.故选D.

|高考创新方向多想少算

【例】以maxM表示数集M中最大的数.设Ov〃<Xc〈l,已知822a或a+bWl,则

max{/?—«,c-b>1一c}的最小值为*

x=h-a,a=1-x-y—z,

【解析】设y=c—h,那么，b=1-y—z,

z=\~c,c=\—z.

①若/?22〃，则1—y—z22(l—x—y—z),从而2x+y+z21,记/〃=max{/?一〃，c~b,1

m2x,

—c},从而<所以4"?22x+y+z21,解得

②若〃+%Wl,则1—x—y—z+1—y—zW1,从而x+2y+2z21,

iC//z=max{/?—«,c~b,1——<?},

从而，m^y

r所以5/"2x+2y+2z»1,解得综w上，J即max{〃-a,c-b,

“2z,

1-c｝的最小值为义.

创新解读

1.本题注重对思维品质的考查.2由于目标函数变量较多，故采用换元法，令

（JC=b—a,

<!y=c—b,使原命题等价于求，〃=max｛x,y,z｝的最小值，从而变得简洁易懂.依据

[n=1-c,

约束条件，可将原命题分为两个子命题进行探究.以上思维过程突显了新高考改革的命题特

点和趋势.

课时作业3

▲j+基础巩固、

I.（5分）如果公协，那么下列说法正确的是（D）

A.ac>bcB.ac2>/><?2

C.ac=hcD.h-a<0

解析：对于A,B,当c=0时，ac—bc,acz=bc1,故A,B错误：对于C,当c=l时，

ac=a>b=bc,故C错误：对于D,因为a>b,所以。一a<0,故D正确.故选D.

2.（5分）（2024•北京东城区一模）已知a,b£R,ab¥O,且aC,则（C）

A.B.ab<by

ab

C./〈护D.Igk/I<lg|/?|

11

解析：当a=-2,b—\Bf,a<bflg|a|>lg步|,故A,D错误；当a=-2,Z?=—1时，

"=2>1=〃，故B错误；因为〃〈儿所以a-XO,因为"WO,所以且6W0,则苏

—by=（a—b）（a2-\-ab-^b2）=（a—b）|+'〈°'所以故c正确.故选

C.

3.（5分）若。=小+东,力=小—忐，。=爽+金，贝MA）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

.,小一2\fi46一3#

解析：因为a-c=木rr-巾=丫2/一所以a>cc-。=也r一

小+6=2，+y一吟因为（26+小）2一（2小）2=4#—9=回一两>0,且26

+小>（）,2小>（）,所以+小>2小，所以c—b>（）,所以c>b.故a>c>b.故选A.

4.(5分)已知2vav3,一2Vb<—1,则2。一》的取道范围为(C)

A.(0,2)B.(2,5)

C.(5,8)D.(6,7)

解析：2<a<3,—2<b<—I,故4<2a<6,1<一X2,得5〈2”一X8.故选C.

5.(5分)若一14<0,则下列不等式中成立的是(C)

A.2r<2'<0.2、B.2A<0.2'<2"x

C.2v<2-r<0.2rD.0.2'<2一七2K

解析：•••一14<0,/.2X<L2r>1,O.2V>1,下面用作商法比较2r=0.5'与02.的大小：

怒=(|),V-l<v<0,故0.5'<0.2*即2r<02：・・21V2一》<021故选C.

6.(5分)(2024•北京西城区一模)设。=，一：2=f+：,c=/(2+/),其中一1</<0,则(C)

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

解析：由一IwO,得;£(—8,—i),故a=L；>0,由对勾函数性质可得》=/+：<一

(l+l)=-2,c=/(2+/)<0,且cn/Q+Onr+Zfua+l)2—1与-1.综上所述，Xc<a.故选C.

7.(6分)(多选)已知实数x,y满足l<x<6,2<><3,则(ACD)

A.3<x+y<9B.—1<x~y<3

C.2<xy<18D.；<黄|<6

解析：因为l<x<6,2<y<3,所以3<r+y<9,2<n<18,故A,C正确；由题得一3<一)Y

1I1x

—2,故一2<r—y<4,故B错误：1<)L]<2,则<1,故]<)_]<6,故D正确.故选

ACD.

8.(6分)(多选)若a,b,c£R,且则下列不等式一定成立的是(ABD)

A.a-c>b—cB.如g(cWO)

C.a3>a2bD.(a2+/>2)(a-/?)>()

解析：对于A,由a>力及不等式的性质可知a—c>/?—c,故A正确；对于B,由a>bycHO

及不等式的性质可知关0),故B正确：对于C,若。=0,可得/=/"故C错误：

对于D,由a>〃及4+。2>0,可得(标+属乂〃一>)〉。，故D正确.故选ABD.

9.(5分)比较大小：x2+4r>4x5?~1.

解析：因为f+d.F-My+HQ—Zyy+lX),所以/+4)2>4不，-I.

10.(5分)若a,bER,给出以下四个条件：①H»()；②a>0或/»()；③a+从>2；®a

=0旦历>(),其中可以作为“〃+">()”的一个充分不必要条件的是③@.(填序号)

解析：对于①，当〃=-1,h=~2时，ab=2>0,。+》=一3<0,不充分；对于②，若

a>0,当«=1,b=~2时，。+》=一1<0,不充分；对于③，。+。>2>0,充分，反之，当a

+力>0时，若a=1,。=0,此时。+0=1<2,不必要；对于④，若a=0且〃>0,则。+0=力>0,

充分，反之，若a=l,〃=0,满足〃+。>0,不必要.

11.(16分)(1)比较(d+l)2与d+f+i的大小.

a±b

⑵若a>b>0,求证：d'bb>[ab)2.

解：(DCd+lF—Cd+f+Duf+Z^+l—，+/+1)=『20,・•・(『+1)22/+『+]

⑵证明：作商得-噬=©¥，

(ab)2

*/a>h>0,.*.^>1.且〃—〃>0,

*6=僚中>I,因此dM>(ab号.

(ah~

12.（17分）（1）如果I2V〃V60,15〈从36,求〃+〃，2a-b,l的取值范围.

（2）已知K,y满足一0<x+j<1,求3x—y的取值范围.

解：(1)网为12<^<60,\5<b<36,所以27va+Zx96,24<2r/<120,-36<-Z)<—15,!

<六,所以-12<2。-X105,|<^<4,

]”?+〃=3,

(2)设3x-y=5(x-y)+〃(x+y)=Q〃+〃)x+(〃一〃?)y,〃?，〃£R,则

n—m=-1,

〃?=2,

解得,

m=i,

所以3x—y=2(x—y)+(x+y),

又一:4一)<|,0<x+)vl,所以一lv2(x-y)vl,则一l〈3x-)y2,

所以3x—y的取值范围是(-1,2).

也素养提升」

Xl+X2+X3=ci，

及+13+工4=。2，

13.(5分)已知关于同，小工3,X4的方程组<,,其中CI<C2<C3<C4.则

工3十工4+汨=。3，

、X»+X]+12=。4，

Xl，X2，B，用的大小关系为(D)

A.A1<V2<V3<V4

B.X4<X1<X2<M3

C.X4<X3<X2<X\

D.X3<X2<V1<XU

'为+12+13=。1,

12+总+工4=。2,

解析：由彳..得到3(X|4-X24-X3+.X4)=Cl4-Q+<?