2025年甘肃省兰州市中考数学试卷（含答案解析）

2025年甘肃省兰州市中考数学试卷

一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各数中，最小的数是()

A.-2B.0C.1D.2

2.计算：成x7^=()

A.6B.<6C.<5D.1

3.如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分

日兰州正午太阳光线与水平面的夹角/?为54。.若光能利用率最高，则集热

板与水平面夹角a度数是()

A.26°

B.30°

C.36°

D.54°

4.如图，在平面直角坐标系％Oy中，△48C与位似，位似中心

是原点0.已知BC：B，C'=1：2,则B(2,0)的对应点的坐标是()

A.(3,0)

B.(4,0)

C.(6,0)

D.(8,0)

5.图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形

构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中心ABC的大小是()

■■■0

■■

■■■4

■■

■■■0

■■

幺

■■■

图1图2

A.90°B.120°C.135°D.150°

6.若关于"的一元二次方程%2+2%+Q=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是()

A.3B.2C.1D.0

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7.若点4（2,yD与B（-2,%）在反匕例函数y=司勺图象上，则力与力的大小关系是（）

A.yi<y2B.为<y2C.为>y2D,为>y2

8.现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d,3I的三张声母卡片，乙盒装有分别写着访e,f

的三张韵母卡片•（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）.若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，

则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（）

A.-9

9.《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一.“方程查”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过

1万，超过部分等于半匹马的价格：-匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹

马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为％,一头牛价格为y,则可列方程组为（）

2x+y-10000=10000—(2x+y)=

B.

10000-(x+2y)=1yx+2y-10000=gy

卜+2y-10000=(2x+y=

(^10000-(2x+y)=1y

10.如图，四边形4BCD是矩形，对角线AC,BO相交于点。，点E,产分别在边A8,

8c上，连接E尸交对角线3。于点P.若P为E尸的中点，乙408=35。,则，DPE=（）

A.95°B.100°C.110°D.145°

11.如图，在正方形ABC。中，AB=2cm,对角线AC,8。相交于点。，动点P从点。出发?

沿0TAT8方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿CT。方向以lczn/s的速\

度运动.当点Q到达点。时,P,Q同时停止运动.若运动时间为x（s）,ACPQ的面积为y（cm2）,T

则点尸分别在。4,48上运动时，y与％的函数关系分别是（）g----------c

A.均为一次函数B.一次函数，二次函数

C.均为二次函数D.二次函数，一次函数

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

12.因式分解：2炉+4%+2=____.

13.射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定.甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请

根据表中信息估计新手是.（填写“甲”或“乙”）

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甲乙

平均成绩或(单位：环)6.587.67

方差S26.910.72

14.如图，在菱形ABCD中，/lElBC,垂足为E,交BD于点凡8E=CE.若4B=4/3

则4F=______.

15.如图，黄金矩形718co中缥=与1,以宽力B为边在其内部作正方形力B/E,

得到四边形CD"是黄金矩形.依此作法，四边形DEGH,四边形KEGL也是黄金

矩形.依次以点E,G,L为圆心作伞，的，碇，曲线AFHK叫做“黄金螺线”.

若40=2,则“黄金螺线”力rHK的长为.(结果用加表示)

三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题5分)

计算：(a+2)(a—2)+a(3—a).

17.(本小题5分)

解方程：言=1•

18.(本小题5分)

(3x—3<x+7

解不等式组：A4、尸5.

2

19.(本小题7分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=一］x+b与反比例函数y=K(x>0)的图象相交于点A(m,3),与工

轴相交于点8(8,0),与y轴相交于点C.

(1)求一次函数y=-+b与反比例函数y=稣勺表达式：

(2)点P为y轴负半轴上一点，连接4P.若△4CP的面积为6,求点P的坐标.

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20.（本小题7分）

天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题.某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地

球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离.具

体研究方法与过程如表：

根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH.（结果精确到1万千米）

（参考数据：£cm89°25'37.43'‘«100.00,10089。22'38.09''«92.00,sm89。25'37.43''«

040.99995,s出89。22,38.09''*0.99994,皿89。25,37.43/'«0.00999,cos89°22'38.09''«

0.01087）

21.（本小题7分）

综合与实践在学校项目化学习中.某研究小组开展中题为“牛长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.

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请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问

【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的

适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决.

【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度双标准单位)为自变量，种了•的发芽率y(%)

为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：

生长素浓度双标准单位)00.611.722.52.733.344.2

发芽率y(%)35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12

【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点.

说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率；

②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；

③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到。时，停止实验.

【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：

(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于％的函数类型，并求出该函数的表达式；

(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围.

22.(本小题7分)

“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的占典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图

得到了解决“三等分角”问题的特例方法.某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分

锐角”问题的解法，解决过程如下：

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操作步骤与演示图形

如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线人构成的锐角a.按照以下步骤进行操作:

任意折出一条水平折将纸片展开，将纸片折置使边

折痕使点Q，P分别保持纸片折

痕!2,，2与纸片左边交再沿〃折叠PK与〃重合，折

落在。和b上，得叠，再沿MN

点为Q；再折叠将PK得到经过点痕为卜，则直线〃

—>到折痕机，对应点->折叠，得到折—>T

与12重合得到折痕G，P的完整折和k就是锐角。的

为。，m交13痕〃的一部

4与纸片左边交点痕〃,如图二等分线，如图

于M,如图③®.分,如图⑤.

为N,如图②.⑥.

⑦

（1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕

迹，不写作法）

解决问题任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P'；

任务二：在图⑥中作出折痕

（2）若锐角a为75。，则图⑤中Z与〃相交所成的锐角是

23.（本小题7分）

豌豆荚里有几粒豆了•不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣.为此，调查小组从一

批婉豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调杳的过程.

【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3亳米）粒数，记录数据.

【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中

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A类(04x<2),B类(2Wx<4),C类(44XV6),D类(6WxV8),E类(8WxV10).

【描述数据】根据整理的数据•，绘制出如下统计图.

豆子粒数出现次数的条形统计困

【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次调查活动中随机抽取了个豌豆英，图中Q=_____,b=_____

(2)所调查且子粒数的中位数落在_____类中；(只填写字母)

(3)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中8类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中。类有3个.能否得

到B类豌豆荚一定比0类孰豆荚多的规律？请说明理由.

24.(本小题8分)

如图，。。是△4BC的外接圆，718是。0的直径，过点B的切线交AC的延长线于点0,连接。。并延长，交。。

于点E，连接力E,CE.

(1)求证：AADB=^AEC；

(2)若力B=4,cos^AEC=求。0的长.

25.(本小题8分)

【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形48CD与正方形BErGG48>BE),点E,G

分别在AB,8c上.根据图形提出问题：如图2,正方形BE尸G绕点8顺时针旋转，旋转角为a(0。<aV180。),

宜线4E与CG相交于点H,连接探究线段BH,CH之间的数量关系.

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【解决问题】(1)小明将上述问题特殊化，如图3,当点G,〃重合时，请你写出4H,BH,之间的数量关

系，并说明理由；

(2)小明借鉴(1)中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G,H不重合时，请你写｛1MH,

BH,CH之间的数量关系，并说明理由；

【拓展问题】(3)小明将图2所示问题中的旋转角a的范围再扩大，正方形BEFG绕点8顺时针旋转，旋转角

为©180。＜1V360。)，直线力E与CG相交于点H,连接请直接写出力“，BH,CH之间的数量关系.

在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N(不与原点。重合)，及平面内一点P,给出如下定义：

若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”.

(1)如图1,已知图Wi：线段A8,71(-1,-1),8(1,-1).在Pi(-1,0),P2(l，2)中，_____是图Wi的“映

射点”；

(2)如图2,己知图小2：正方形ABC。,4(-1,-1),5(1,-1),C(l,l),。(-1,1).若直线I：y=%+b上存

在点尸是图皿2的“映射点”，求^^最大值；

(3)如图3,已知图小3：07,圆心为7(0,亡)，半径为1.若％轴上存在点尸是图卬3的“映射点”，请直接写出

£的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：一2<0<1<2,

故选:A.

根据正数大于0,。大于负数，可得答案.

本题考查了有理数大小比较，正数大于0,0大于负数是解题关键.

2.【答案】B

【解析】解：原式=

故选:B.

利用二次根式的乘法法则计算即可.

本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关铤.

3.【答案】C

【解析】解：••・集热板与太阳光线垂直，

；.a+B=180°-90°=90°,

•・•/?=54°,

«=90°-/?=36°,

故选：C.

由题意得a+S=90。，代入数据计算即可求解.

本题考查了垂直的定义，余角的性质，掌握以上性质是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：与力'8'C的位似比为BC：B/Cf=1：2,且位似中心是原点。，

而点8(2,0),

B点对应点B'的坐标为(4,0).

故选:B.

把B点的横纵坐标都乘以2得到点3'的坐标.

本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为A，那么位似图

形对应点的坐标的比等于k或一k

5.【答案】D

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【解析】解：正三角形的每个内角为衅二60。，

正方形的每个内角为竿=90。，

/.ABC=60°+90°=150°,

故选:D.

根据正三角形的每个内角为60。，正方形的每个内角为90。，求解即可.

本题考查了正多边形的内角和，掌握其性质是解题的关键.

6.【答案】0

【解析】解：根据题意得/=22-4a>0,

解得aV1,

所以a可以取0.

故选：D.

利用根的判别式的意义得到4=22-4a>0,再解不等式得到a的取值范围，然后利用Q的取值范围对各选

项进行判断.

本题考查了根的判别式：一元二次方程。/+以+。=0（。工0）狗根与/=》2-4（^有如下关系：当4>0

时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根：当4<0时，方程无实数根.

7.【答案】C

【解析】解：••・反比例函数y=；的k=2>0,

•••反比例函数图象上分布在第一三象限，在每个象限内y随工的增大而减小，

v2>0>-2,

二力>y2-

故选：C.

根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.

本题考直了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键.

8.【答案】A

【解析】解：如图，

开始

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由图可知，共有9种可能的情况，符合条件的只有1种,

•••两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是今

故选:A.

先画出树状图，再利用概率公式求解即可.

本题考查的是概率公式，列表法与树状图法，根据题意画出树状图是解题的关键.

9.【答案】力

1

2x+y-10000="x

【解析】解：由题意得：21

10000-(x+2y)=

故选：A.

根据两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分

等于半头牛的价格，列出二元一次方程组即可.

本题考查「由实际问题抽象出二兀一次方程组，找准等量关系，止确列出二兀一次方程组是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：过点E作EG//BC交BD于点、G,连接FG,如图所示:

•••匹边形/WCD是正方形，^ADB=35°,

AD//BC,LABC=90°,

AD//EG//BC,

:.乙EGP=乙ADB=乙FBP=35°,

•.•点P为EF的中点，

:.PE=PF,

在APEG和广8中，

2EGP=Z-FBP

乙EPG=4PB，

PE=PF

.-.△PEG^APFB(AAS^

•••EG=FB,

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又•••EG//FB,

.••匹边形BEGF是平行四边形，

v/.ABC=90°,

平行四边形BEGF是矩形，

APG=PE,

Z.GEP=Z-EGP=35°,

在APEG中，乙EPG=180°-QGEP+乙EGP)=110°.

故选：C.

过点E作EG//BC交BD于点、G,连接FG,则“GP=AADB="BP=35°,证明△PEG^l^PFB全等得EG=

FB,进而得四边形8EGF是平行四边形，再根据乙4BC=90。得四边形BEGr是矩形，则PG=PE,继而得

乙GEP=乙EGP=35。，然后根据三角形内角和定理即可得出々EPG的度数.

此顾主要考杏了矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线的性

质是解决问题的关键.

11.【答案】D

【解析】解：,正方形ABCD中,AB=2cm,

AB=BC=CD=DA=2cm,

:.AC=y/lAD=y[2AB=2/Icm，OC=OA=^AC=>[2cm.

当点P在OA上运动时，由题意得CQ=x,CP=OC+OP=>[2-¥y[2x>

作PG1CD于点G,

vZ.PCG=45°,

2

二CG=PG=住=%+1,y=SACPQ=^CQ-PG=1x+1x,是二次函数;

当点P在48上运动时，由题意得CQ=x,

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AD

Q

•••y=SKPQ=^CQ,BC=》是一次函数•

故选：D.

依据题意，当点P在04上运动时，由题意得CQ=x,CP=0C+0P=，！+/!无，作PG_LG?于点G,求得

CG=PG=x+l,利用丫=5虱「(?=2。。・「6计算即可；当点P在48上运动时，利用三角形面积公式求解即

可.

本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的定义、一次函数的定义，解题时要能根据题意列出

关系式是关键.

12.【答案】2(%+1)2

【解析】解：原式=2(%2+2%+1)=2。+1)2,

故答案为：2(x+l)2.

提公因式后利用完全平方公式因式分解即可.

本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

13.【答案】乙

【解析】解：由题意知，甲成绩的平均数小于乙，且方差大于乙，

所以甲的平均成绩低于乙，且成绩波动幅度大于乙，

所以根据表中信息估计新手是乙，

故答案为：乙.

根据平均数和方差的意义求解即可.

本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义.

14.【答案】4

【解析】解：•.•四边形力BCD是菱形，

AB=BC=473,Z.ABD=乙CBD,

vBE=CE,

BE=CE=2/3,

•••sin的,D4E口=而BE=21，

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Z.BAE=30°,

Z.ABE=60°,

."CBD=/.ABD=30°,

/.BAE=Z-CBD=/.ABD,BF=2EF,BE=0EF,

；.AF=BF,EF=2,

:.AF=BF=2EF=4,

故答案为：4.

由菱形的性质可得=(ABD=XBD,由锐角三角函数可求4=30。，由直角三角形的

性质可得4尸=8凡£尸=2,即可求解.

本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键.

15.【答案】(6一1)兀

【蟀析】解：黄金矩形A8C。中发二年L且/W=2,

AB=>/~5—1,

•••匹边形是正方形，

AE=EF=BF=AB=y/~5-1,

FC=ED=2—(AAS-1)=3—y/~S,

•••匹边形FGHC是正方形，

GF=GH=HC=FC=3-\TS.

vCD=AB=\/~5-l,

HD=CD-CH=(V^-1)-(3-/5)=2/5-4,

•••匹边形LK0H是正方形，

LH=HD=2/5-4,

二“黄金螺线”的长为号泮+写照+嘴^

1

=^TI(AE+GH+LH)

Zi

1

=F(AE+ED+LH)

1

=^n(AD+LH)

乙

1l

=/(2+2>[S—4)

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=（VS—1）7T,

故答案为：（5/可一1）7T.

先根据黄金矩形力8co中嚼=告>且力。=2,求出4?二6一1,进而求出GF=GH=HC=FC=3-<5,

AD2

LH=〃O=2f—4,再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”4f7/K的长.

本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式]二患，根据黄金矩形的定义求出48的长，以及熟练掌握弧

长的公式是解题的关键.

16.【答案】3Q—4.

【解析】解：原式=02-4+3。一

=3a—4.

利用平方差公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可.

本题考查平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

17.【答案】x=2.

【解析】解：原方程去分母得：3%=2x4-2,

解得：x=2,

检验：当％=2时，x（x4-1）=#0,

故原方程的解为无=2.

利用去分母将原方程化为整式方程，解得工的值后进行检验即可.

本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.

18.【答案】3VXV5.

【解析】解：解第一个不等式得：xv5,

解第二个不等式得：x>3,

故原不等式组的解集为3<x<5.

解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分即可.

本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键.

19.【答案】一次函数解析式为y=-]x+4,反比例函数解析式为y=2

/X

P（o,-2）.

【解析】（1）由条件可得一；x8+b=0,解得b=4,

・••一次函数解析式为y=-1+4,

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将点A(m,3)坐标代入解析式得：3=xm+4,

解得m=2,

•••4(2,3),

•••Zc=2x3=6»

・••反比例函数解析式为y=*

(2)由一次函数解析式可知C(0,4),8(8,0),4(2,3),设点P(0,x),

：•S&PAC=；x(4—x)x2=6.

解得％=-2,

二尸(0,-2).

(1)待定系数法求出两个函数解析式即可:

(2)设点P(0,x),利用三角形面积公式建立方程求出工值即可得到点P坐标.

本题考查了反比例函数与•次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键.

20.【答案】月球与地球之间的近似距离P”约为38万千米.

【脩析】解：设f“=*万千米,

•.•在Rt△PH8中，乙PHB=90°,LABP=89°25z37.43

PH

：.BHtnnZ/IHP-fan阳25*37.43”*而

•.•在R£△PHA中，/.PHA=90°,LBAP=89°22'38.09''

PH

IMIZDAPfaM!)22*33.(优-92，

:AH+BH=AB=0.8(万千米),

••岛+点=08

解得工工38,

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即PHy38(万千米)，

答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米.

根据题意，设/""二工万千米，在中表示出8H,在RtAP从4中表示出4H,利用力H+BH=48,得

到方程，解方程得到结果.

本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键.

21.【答案】二次函数的解析式为y=-7/+28%+35；

4<%<5.

【解析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于Hl勺函数是二次函数，

设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,

将(0,35),(1,56),(2,63)代入得，

c=35

a+b+c=56»

4a+2b+c=63

(a=-7

解得b=28,

c=35

.,.该二次函数的解析式为y=-7x2+28无+35；

(2)当x=0时，y=35,

•••种子自然发芽率为35%,

-35时，-7x2+28x+35-35,

解得=0,%2=4,

当)，=0时，-7d+28x+35=0,

解得%1=-1(舍去),x2=5,

,抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x<5.

(1)先判断出y关于％的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可；

(2)先“算出种子自然发芽率为35,令y=35和y=O时，分别求得大的值，再结合图象求解艮1可.

本题考查了二次函数的应用，熟练待定系数求函数解析式是解题的关键.

22.【答案】见解析；

50.

第17页，共23页

【解析】(1)任务一：如图，点P为所求.

任务二：如图，折痕k为所求.

(2)如图,

⑧

由题意可知，4,卜是乙戊的三等分线,

22

•••乙CPK=沁=Ix75°=50°,

JO

•••均/PK,

Z.CDE=乙CPk=50°,

.•・与，4相交所成的锐角是50。，

故答案为：50.

(1)任务一：连接QQ,作QQ的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边PK于点4以点力为圆心，4P的

长为半径作弧，交直线％于点尸工则点P为所求；

任务二：作出〃与PK所成夹角的角平分线，即为折痕k；

第18页，共23页

(2)根据三等分线得到乙CPK=l^a=50。，再由平行线的性质即可求解.

本题考查作图-轴对称变换，轴对称图形的性质，尺规作图一作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质,

读懂题意是解题的关键.

23.【答案】100,40,35；

C；

不能得到8类豌豆英一定比。类豌豆荚多的规律，理由见解答.

【脩析】(1)本次调查活动中随机抽取豌豆荚个数为14+14%=100(个)，

a=100x40%=40,

b=100-(5+14+40+6)=35,

故答案为:100,40,35；

(2)所调查豆子粒数的中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在C类，

所以所调查⑸子粒数的中位数C类中，

故答案为：C：

(3)不能得到B类豌豆荚一定比。类豌豆荚多的规律，

由「甲、乙抽取的数晟不多，不足以判断8类豌豆英一定比。类豌豆荚多的规律.

(1)先由B类数量及其所占百分比可得总个数，总个数乘。类对应百分比求出Q的值，再根据各类数量之和等

于总数即可求得力的值；

(2)根据中位数的定义求解即可；

(3)根据样本估计总体求解即可.

本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数，从直方图上获得所需信息是解题的关键.

24.【答案】见解答;

2/6.

【解析】(1)证明：••,8C为。。的切线，

AB1BD,

£ABD=90°,

•••力8是。0的直径，

Z.ACB=90°,

vZ.ADB+Z.BAD=90°,Z.ABC+Z.BAD=90°,

Z.ADB=乙ABC,

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D

vZ.ABC=Z.AEC,

:.Z.ADB=NAEC；

(2)解：vLADB=Z-AEC,

.，.cosZ-ADB=cosZ-AEC=浮，

在At△4?。中，:cos乙498=空二¥，

AD3

•••设80=6x，AD=3x,

AB=J(3x)2—(y/-5x)2=2x»

即2%=4,

解得％=2,

BD=2"，

在/?”。8。中，vOB=2,RD=2A45.

...CD=J22+(275)2=2<6-

(1)先根据切线的性质得到乙48。=90°,根据圆周角定理得到乙48=90°,则利用同角的余角相等得到

乙ADB=^ABC,然后根据圆周角定理得到乙18。=Z4EC,从而得到结论；

(2)由⑴的结论得到cos^ADB=cos乙4EC=等，在Rt△48。中根据余弦的定义得到cos乙4DB=益=停,

则可设=W去，AD=3x,利用勾股定理得到AB=2，所以2%=4,然后求出工,从而得到80的长，

最后利用勾股定理计算。。的长.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和解直角三角形.

25.【答案】4H=+理由见解析；AH=CH+y/lBH,理由见解析；CH=AH+0BH,埋

由见解析.

【解析】(IM〃=C〃+/2BH,理由如下，

如图，当点G,“重合时，

•••正方形"CD与正方形8EFG,

：.AB=BC,BE=BH,/.ABC=90°,Z-EBH=90°,

:.EH=V78H，4ABE=90°-Z-EBC=乙CBG,

.••△RBE^^C8G(S4S),

AE=CG,

AH=AE+EH=CH+xTiBH;

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(2)4/7=CH+y/2BH^理由如下,

由(1)得4ABE^^CBG(SAS),

：•iBCH=^MAB,

-Z.BCH=Z.MAB,AB=BC,

•••△MAB经△HCB(SHS),

/.MBA=乙CBH,BM=BH,

vZ.HBG=90°-Z.CBH-乙EBC,乙EBM=90°-乙MBA-乙EBC,

Z.HBG=乙EBM,

Z.MBH=乙EBM+乙EBC+4CBH=乙HBG+Z-EBC+MBH=乙EBG=90°,

.•.△MB”是等腰直角三角形，

:.MH=y[2BH，

-AH=AM+MH,

AH=CHIC