山科大材料力学课件第7章 应力应变分析 强度理论

第七章应力应变分析强度理论Mechanics

ofMaterials

Chapter7AnalysisofStressandStrainFailureCriteria材料力学教学课件第七章应力和应变分析强度理论Chapter7AnalysisofStressandStrain

StrengthTheories

§7-1

应力状态概述(Conceptsofstress-state)

§7-2

平面应力状态分析-解析法(Analysisofplanestress-state)§7-3

平面应力状态分析-图解法(Analysisofplanestress-state)

§7-4

三向应力状态分析

(Analysisofthree-dimensionalstress-state)§7-6

广义虎克定律(GeneralizedHook’slaw)§7-7

复杂应力状态的变形比能

(Strain-energydensityingeneral

stress-state)§7-8

强度理论(Failurecriteria)§7-5

平面应变状态分析

(Analysisofplanestrain-state)§7-9

莫尔强度理论

(Mohr’sfailurecriterion)

§7-1

应力状态概述

(Introductionofstress-state)一、应力状态的概念

(Conceptsofstresses-state)

请看下面几段动画1.低碳钢和铸铁的拉伸实验

(Atensiletestoflow-carbonsteelandcastiron)2.低碳钢和铸铁的扭转实验

(Atorsionaltestoflow-carbonsteelandcastiron)

低碳钢(low-carbonsteel)?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？

铸铁(cast-iron)

低碳钢和铸铁的拉伸?为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？

低碳钢和铸铁的扭转

低碳钢(low-carbonsteel)

铸铁(cast-iron)

（1）拉中有剪,剪中有拉;

（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力;

（3）同一面上不同点的应力各不相同;

（4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同3.重要结论（Importantconclusions)哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？4.一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint）过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint）,亦指该点的应力全貌.二、应力状态的研究方法(Themethodforinvestigatingthestateofstress)

1.单元体（Elementbody）

（2）任意一对平行平面上的应力相等2.单元体特征(Elementcharacteristic)

3.主单元体（Principalbody）各侧面上切应力均为零的单元体

（1）单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布

3

1

2

2

3

14.主平面(Principalplane)

切应力为零的截面

5.主应力(Principalstress)

主面上的正应力

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为

1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即

1

2

3

三、应力状态的分类（Theclassificationofstresses-state）1.空间应力状态（Triaxialstress-stateorthree-dimensionalstress-state）

三个主应力

1,

2,

3

均不等于零2.平面应力状态（Biaxialstress-stateorplanestress-state）

三个主应力

1,

2,

3中有两个不等于零3.单向应力状态（Uniaxialstress-stateor

simplestress-state）

三个主应力

1,

2,

3中只有一个不等于零

3

1

2

2

3

1

2

2

1

1

1

1平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有

x,xy

和

y,yx§7-2

平面应力状态分析-解析法(Analysisofplanestress-state)x

xyz

y

xy

yx

x

y

xy

yx一、斜截面上的应力（Stressesonanobliquesection）1.截面法（Sectionmethod）假想地沿斜截面ef将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf作为研究对象xya

x

x

yx

xyef

nefa

x

xy

yx

y

α

ααnαxya

x

x

yx

xyef

n

（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时则

为正

（2）正应力仍规定拉应力

为正

（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转

为正2.符号的确定（Signconvention）efa

x

xy

yx

y

α

ααnαt

设斜截面的面积为dA,ae的面积为dAcos,af

的面积为dAsin

efa

x

xy

yx

y

α

ααnαefaαdAdAsin

dAcos

3.任意斜截面上的应力(Thestressactingonanyinclinedplane)

对研究对象列n和t方向的平衡方程得t化简以上两个平衡方程最后得不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数二、最大正应力及方位（Maximumnormalstressandit’sdirection）1.最大正应力的方位（Thedirectionofmaximumnormalstress

）令

0和

0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.2.最大正应力（Maximumnormalstress）

将

0和

0+90°代入公式

得到

max和

min

(主应力）

下面还必须进一步判断

0是

x与哪一个主应力间的夹角

（1）当

x>y时,

0

是

x与

max之间的夹角

（2）当

x<y

时,

0

是

x与

min之间的夹角

（3）当

x=y

时,

0

=45°,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来

则确定主应力方向的具体规则如下

若约定|

0|<45°即

0

取值在±45°范围内二、最大切应力及方位(Maximumshearingstressandit’sdirection)

1.最大切应力的方位（Thedirectionofmaximumshearingstress

）

令

1和

1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.2.最大切应力（Maximumshearingstress

）

将

1和

1+90°代入公式

得到

max和

min比较和可见§7-3

平面应力状态分析-图解法

(Analysisofplanestress-statewithgraphicalmeans)一、莫尔圆（Mohr’scircle）

将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去

,得

因为

x,

y,

xy皆为已知量,所以上式是一个以

,

为变量的圆周方程.当斜截面随方位角变化时,其上的应力

,

在

-

直角坐标系内的轨迹是一个圆.1.圆心的坐标（Coordinateofcirclecenter）2.圆的半径（Radiusofcircle）

此圆习惯上称为应力圆（planestresscircle）,或称为莫尔圆（Mohr’scircle）

（1）建

-

坐标系,选定比例尺o

二、应力圆作法（Themethodfordrawingastresscircle）1.步骤（Steps）xy

x

x

yx

xy

y

yD

xyo

（2）量取OA=xAD

=xy得D点xy

x

x

yx

xy

xAOB=y

（3）量取BD′=yx得D′点

yB

yxD′

（4）连接DD′两点的直线与

轴相交于C

点

（5）以C为圆心,CD

为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C

（1）该圆的圆心C点到坐标原点的距离为

（2）该圆半径为D

xyo

xA

yB

yxD′C2.证明(Prove)三、应力圆的应用（Applicationofstress-circle）1.求单元体上任一截面上的应力（Determinethestressesonanyinclinedplanebyusingstress-circle）

从应力圆的半径CD按方位角

的转向转动2

得到半径CE.圆周上E

点的坐标就依次为斜截面上的正应力

和切应力

.D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

xya

x

x

yx

xyef

n

证明：

（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说明AB

（2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.2

OCBA2.求主应力数值和主平面位置

（Determineprinciplestressandthedirectionofprincipleplanebyusingstresscircle）（1）主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点,其横坐标为主应力

1,

2

1

2D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

B1A12

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1（2）主平面方位

由CD顺时针转2

0到CA1

所以单元体上从

x

轴顺时针转

0（负值）即到

1对应的主平面的外法线

0确定后,

1对应的主平面方位即确定3.求最大切应力（Determinemaximumshearing

stressbyusingstresscircle）G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力2

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1G1G2

因为最大最小切应力等于应力圆的半径

已知受力物体内某一点处三个主应力

1,

2,

3

利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力.一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力(themaximumnormalstressandshearstressinthree-dimensionalstress-state)§7-4

三向应力状态分析（analysisofthree-dimensionalstress-state）

3

1

2

2

3

1

1

3

首先研究与其中一个主平面（例如主应力

3所在的平面）垂直的斜截面上的应力

1

2

2

用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象

2

1

主应力

3所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力

,

与

3无关,只由主应力

1,

2

决定

与

3垂直的斜截面上的应力可由

1,

2作出的应力圆上的点来表示

1

2

3

3

2

1

该应力圆上的点对应于与

3垂直的所有斜截面上的应力

A

1

O

2B

与主应力

2所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

1,

3作出的应力圆上的点来表示C

3

与主应力

１所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

2,

3作出的应力圆上的点来表示

该截面上应力

和

对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc

1

2

1

2

3

A

1

O

2BC

3结论

三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力

该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标

1

A

1

O

2BC

3

最大切应力则等于最大的应力圆的半径

最大切应力所在的截面与

2所在的主平面垂直,并与

1和

3所在的主平面成45°角.例题9单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:

该单元体有一个已知主应力

因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力

z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa

由

x,

xy

定出D

点由

y,

yx

定出D′

点

以DD′为直径作应力圆A1,A2

两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3A1A2D′

O

DC

1

3

1=46MPa

3=-26MPa

该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa

根据上述主应力，作出三个应力圆§

7-5

平面应变状态分析(Analysisofplanestrain-state)

平面应力状态下，已知一点的应变分量

x

,

y

,

xy

，欲求

方向上的线应变

和切应变

,可根据弹性小变形的几何条件,分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量

x,

y,

xy在此方向上引起的线应变及切应变,再利用叠加原理.一、任意方向的应变(Thestrainofanydirection）

应力状态与应变状态二、主应变数值及其方位(Theprincipalstrainsandit’sdirection)一、各向同性材料的广义胡克定律（GeneralizedHooke’slawforisotropicmaterials）

（1）正应力:拉应力为正,压应力为负1.符号规定(Signconvention)

（2）切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负

（3）线应变:以伸长为正,缩短为负;

（4）切应变:使直角减者为正,增大者为负.

§7-6

广义虎克定律

(GeneralizedHooke’slaw)x

xyz

y

xy

yx

z

yz

xz

zx

zy

y

yx方向的线应变

用叠加原理,分别计算出

x,y,z

分别单独存在时,x,y,z方向的线应变

x,

y,z,然后代数相加.2.各向同性材料的广义胡克定律（GeneralizedHooke’slawforisotropicmaterials）单独存在时单独存在时

单独存在时xyyz

z

z

x

x

在

x

,

y

,

z同时存在时,x

方向的线应变

x为

同理,在

x,

y

,

z同时存在时,y,z

方向的线应变为

在xy,yz,zx三个面内的切应变为上式称为广义胡克定律（GeneralizedHooke’slaw）——沿x,y,z轴的线应变

——在xy,yz,zx面上的角应变

对于平面应力状态（inplanestress-state）（假设

z

=0,

xz=0,

yz=0）xyz

xy

x

y

yx

x

y

xy

yx3.主应力-主应变的关系（Principalstress-principalstrainrelation）

二向应力状态下(inplanestress-state)设

3=0

已知

1,

2,

3;

1,

2,

3为主应变二、各向同性材料的体积应变（Thevolumetricstrain

forisotropicmaterials）

1

2

3a1a2a3

构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用θ表示.

各向同性材料在三向应力状态下的体应变

如图所示的单元体,三个边长为dx

,dy

,dz

变形后的边长分别为

变形后单元体的体积为dx(1+

,dy(1+

2,dz(1+

3

V1=dx(1+

·

dy(1+

2

·

dz(1+

3

体积应变（volumetricstrain）为1.纯剪切应力状态下的体积应变（Volumetricstrainforpureshearingstress-state)

即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.2.三向等值应力单元体的体积应变(Thevolumetricstrain

oftriaxial-equalstresselementbody)

三个主应力为

单元体的体积应变

m

m

m

这两个单元体的体积应变相同

m

m

m

1

2

3dxdydz

单元体的三个主应变为

如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等值应力

m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的.

在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变

x

,

y,

z

有关,仿照上述推导有

在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.

§7-7

复杂应力状态的应变能密度(Strain-energydensityingeneralstress-state)一、应变能密度的定义(DefinitionofStrain-energydensity)二、应变能密度的计算公式(CalculationformulaforStrain-energydensity)

1.单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为

(Strain-energydensityforsimplestress-state

)

物体在单位体积内所积蓄的应变能.

将广义胡克定律代入上式,经整理得

用υd

表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度（thestrain-energydensitycorrespondingtothedistortion.）

用υV

表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度（

thestrain-energydensity

correspondingtothe

volumetric）2.三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为

(Strain-energydensityforsimplestress-state

)

应变能密度υε等于两部分之和(a)

1

2

3(b)

m

m

m=(

1+

2+

3)/3代之以

m

图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变.

图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变.图b所示单元体的体积改变比能密度a单元体的比能为a所示单元体的体积改变比能空间应力状态下单元体的畸变能密度(a)

1

2

3一、强度理论的概念（Conceptsoffailurecriteria)1.引言(introduction)§7-8

强度理论(Thefailurecriteria)轴向拉压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件（strengthconditionforshearstress）

正应力强度条件（strengthconditionfornormalstress）（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件.

上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；2.强度理论的概念(Conceptsforfailurecriteria)

是关于“构件发生强度失效起因”的假说.

基本观点

构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的.

根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果,来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.

（1）脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）(Twofailuretypesformaterialsinnormaltemperatureandstaticloads)屈服失效(Yieldingfailure)

材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.断裂失效(Fracturefailure)

（2）韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂.引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力

2.马里奥特关于变形过大引起破坏的论述,是第二强度理论的萌芽;3.杜奎特(C.Duguet)提出了最大切应力理论;4.麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论,这是后来人们在他的书信出版后才知道的.三、四个强度理论

(Fourfailurecriteria)

1.伽利略播下了第一强度理论的种子;

（1）第一类强度理论—以脆断作为破坏的标志

包括:最大拉应力理论和最大伸长线应变理论

（2）第二类强度理论—以出现屈服现象作为破坏的标志

包括:最大切应力理论和形状改变比能理论

根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.

1.最大拉应力理论（第一强度理论）

(Maximum-normal-stresscriterion)

基本假说:最大拉应力

1是引起材料脆断破坏的因素.

脆断破坏的条件:

1=

b四、第一类强度理论(Thefirsttypesoffailurecriteria)

强度条件:

1[

2.最大伸长线应变理论（第二强度理论)

(Maximum-normal-straincriterion)

根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.

基本假说:最大伸长线应变

1是引起材料脆断破坏的因素.

脆断破坏的条件:

最大伸长线应变:

强度条件:1.最大切应力理论(第三强度理论