山东省临沂市2025-2026学年高二年级上册学科素养水平监测数学试题（试卷+解析）

数学

2026.2

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知直线/经过点任°⑼，则/的倾斜角为（）

7T兀27157r

A.-B.-C.—D.—

6336

2.函数/（”=lnx+x-2的零点所在区间是（）

A.B.（1,2）C.（2,c）D.（c,3）

3.在四面体O—中，M为线段。力靠近0的三等分点，N为8c的中点，若

=xOA^-yOB+zOC,则x+y+z=（）

211

A.-B.1C.-D.-

343

4.已知某质点的位移V（单位：m）与时间Z（单位：S）之间的关

71

/=-s时的瞬时速度为（）

A.Om/s

2222

5.已知Q>b>0,椭圆C：=+4=l与双曲线E：=—4=l的

crb-a-b-

则E的渐近线方程为（）

A.x±41y=0B.y/2x±y=0

c.x±-0D.y[5x±2y=0

6.甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为0.7,乙成功的概率为0.6,则甲乙至少有一人成功

的概率为（）

A.0.4B.0.48C.0.88D.0.92

7.已知椭圆。：工+匕=1的左、右两个焦点分别为片、居，P是C上的动点，。是圆

87

£:犬+/—4x—8y+19=0上任意一点，贝ij|尸。卜|竺|的最小值为（）

A.4-W2B.5-4夜C.4一2&D.4+2近

8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上I：若是偶数，就将该数除以2,反复进行上述两种运

算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1—4—2-1,这就是数学史上有名的“冰雹猜想”（又称“角谷

a

na为偶数

猜想”等）.已知数列｛qj满足：a,=40,aw+I=\2'〃，则的期二（）

3%+1必为奇数

A.1B.2C.3D.4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设函数/（》）二丁一3/一”+2,则下列结论正确的有（）

A./（%）的单调递减区间为（-1,3）

B.x=—l是/（X）的极小值点

C./（x）有3个零点

D.当％e（-25,7）时，方程/（“二%恰有三个实数根

10.在长方体48CQ—44GA中，AB=AD=2,44=1,点£,尸分别为力4，44的中点，则

（）

A.4D]〃平面BEF

B./C]J"平面

C.点E到平面48/的距离为正

5

D,直线4b与平面BCG4所成角的正切值为我

II.已知直线/：x=〃9+1过抛物线C：y2=2px(〃:>0)的焦点尸，且与C交于8两点，则下

列说法正确的是()

A.线段48长度的最小值为3

B.若AF=2FB，则|图=-

C.若点G的坐标为则直线4G,8G的斜率之和为0

D.C上一动点尸到直线2x+y+3=0的距离的最小值为正

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线y=W在点(1,0)处的切线的方程为.

13.V力8C中，内角4,B,C的对边分别为〃，b,c,若acos〃+b(cos/1-2)=0,则g=____.

h

14.已知数列｛qj满足%=log“"〃+2),定义使卬・七七3…%为整数的女叫做“完美数”，则区间

［1,1000］内所有“完美数”的和〃二.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/3=«2”［2一m)的图像经过点(1,_€2).

(1)求，〃；

(2)求/")在区间［-3,2］上的最大值与最小值.

16.已知圆。经过4(1,—4),8(-2,-1)两点，且圆心C在直线2x+y-l=0上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点/(2,1)的直线/与圆C交于〃，。两点.若00|二4、5，求/的方程.

17.如图，在四棱锥S-n8CQ中，底面/BCD满足力ADVCD,£4_L底面/5C。，且

SA=AD=CD=2,AB=\,M,N分别为SZ),交上的点，豆MN〃CD.

s

（1）若"，N分别为SO,&?的中点，证明：平面4AMW_L平面SCO；

若平面48NM与平面SBC的夹角的余弦值为我，求丝的值.

(2)

10SD

S

18.已知数列｛%｝的首项q=l,前〃项和为S”，数列是公差为2的等差数列等比数到｛4｝的前〃

项和为小且满足27；=3-3%.

（1）求数列｛〃"｝、｛"｝的通项公式；

（2）求数列）的前〃项和用“；

（3）若不等式:+"（［）21对任意的〃wN•恒成立,求见的取值范围.

（%+»也

19.已知双曲线C：、—aT（4>°，"°）过点（也一3卜且渐近线方程为卜=±瓜，直线

/:3=〃沙+〃（加〃/0）与。交于不同的两点尸、Q（异于双曲线的顶点）.

（1）求。的方程；

（2）力为双曲线的下顶点，若以也为直径的圆恒过点4,试判断直线/是否过定点？若过定点，求出该

定点的坐标；若不过定点，请说明理由；

（3）若/>、。在双曲线的上支，且线段的垂直平分线过点“（4,0）,求NPA/0的取值范围.

2024级普通高中学科素养水平监测

数学

2026.2

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知直线/经过点任°⑼，则/的倾斜角为（）

7T兀27157r

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【解析】

【分析】先由两点式斜率公式求得斜率，再结合倾斜角的范围求解即可.

【详解】因为直线/经过点卜「⑺），（1,0）,所以/的斜率为一6一°二

乂宜线倾斜角的范围为［0，兀），所以直线/的倾斜角为

故选：D

2.函数/（x）=lnx+x-2的零点所在区间是（

B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

【足】B

【解析】

【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可.

【详解】因为歹=lnx与y=x—2均在（0,+“）上单调递增,

所以/（x）=lnx+x-2在（0,+8）上单调递增,

又/⑴=lnl+l-2=-1<0,1/'（2）=ln2+2-2=ln2>0,

即/（1）/（2）<0,所以函数/（工）=lnx+x—2的零点所在区诃是（1,2）.

故选:B

3.在四面体O-"C中，M为线段0/靠近。的三等分点，N为BC的中点，若

=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=（）

211

A.-B.1C.-D.-

343

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量的基本定理可求出x、V、z的值，即可得出x+y+z的值.

【详解】如下图所示：

因为N为4c的中点，所以西=:方+:反，由题意可知两=：方，

223

■,■-•■I■I,I,■—•

加伏MN=0N—0M=——0A+—0B+—0C,

322

在三棱锥O-力中，04.0B.反不共面，且旃=工次+y砺+z沅,

所以x二+z」+LL2.

323223

故选：A.

4.已知某质点的位移N（单位：m）与时间，（单位：s）之间的关系为y（/）=cos，-sin，，则该质点在

/二二s时的瞬时速度为（）

4

Bmz

A.Om/s4sC.-V2mzsD.&m/s

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数的概念求解即可.

【详解】对函数y（，）=cos/-sin，求导得＞'（。二一sin，一COSZ,

故该质点在/=A时的瞬时速度为_/但］二-sin：-cosE=-&（m/s）.

4y4J44

故选:C.

2222

5.已知。＞力＞0,椭圆。：§+£=1与双曲线的离心率分别为修、e2,若艮二%

则E的渐近线方程为（）

A.x±\［ly=0B.41x±y=0

C.x±V5y=0D.6±2y=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆、双曲线的离心率公式结合JJq=e,可得出关于2的等式，求出2的值，即可得出双曲

aa

线E的渐近线方程.

【详解】设椭圆C、双曲线£的半焦距分别为。、%,

由题意可知，椭圆C、双曲线E的焦点都在x轴上，所以q=〃？一回，Q="2+/,

故双曲线后的渐近线方程为y=±手■X,即x±J5y=0.

故选：A.

6.甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为0.7,乙成功的概率为0.6,则甲乙至少有一人成功

的概率为（）

A.0.4B.0.48C.0.88D.0.92

【答案】C

【解析】

［分析］利用独立事件的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果.

【详解】记事件力：甲成功闯关，事件8:乙成功闯关，事件C：至少有一人成功闯关，

则事件4、5相互独立,且乙=，n晨P(4)=0.7,P⑻=0.6,

所以P(C)=I—P©=I—P(N)P(^=I-[I—P(4)].[I—P(5)]

=l-(l-0.7)(l-0.6)=0.88.

故选：C.

7.已知椭圆C：三+上=1的左、右两个焦点分别为《、F、,〃是C上的动点，。是圆

87-

七:/+/一4工一8卜+19=0上任意一点，则仍。|一归用的最小值为()

A.4-472B.5-4应C.4-2&D.4+20

【答案】A

【解析】

【分析】由椭圆定义可得|P6|+|P段=40,可得出归0卜|”卜归目+|尸耳|-40,结合圆的几何性

质可求得忙。|一|桃|的最小值.

【详解】对于椭圆C,a=2C，b=用，则。=〃7^7二回万=1，故6(-1,0)、耳(1,0),

圆£的标准方程为(工一2)2+()，-4)2=1,圆心为E(2,4),半径为1,如下图所示：

由椭圆定义可得归用+|P闾=2”4行，

所以|。。|一归周二|尸。|一(4&一|号|)=|。。|+|P片|一402|0用一4五

>|^£|-1-4V2=^(-1-2)2+(0-4)2-1-472=5-1-4^2=4-472，

当且仅当点〃、。分别为线段班与椭圆、圆E的交点时.，上述两个等号同时成立,

故|P@T也|的最小值为4一4五.

故选:A.

8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2,反复进行上述两种运

算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1->4-2->1,这就是数学史上有名的“冰雹猜想”（又称“角谷

%a为偶数

猜想”等）.已知数列｛〃/满足：=40,«„+1=2'",则％。26=（）

3%+1,4”为奇数

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】推导出当〃27且〃EN,时，%+3=/，再由2026=3x673+7可得出生026的值.

Aa为偶数

【详解】因为数列｛〃“｝满足：0=40,凡讨=｛2'",

3%+1,%为奇数

所以"=丝=20,<4=竺=型=10,…瞑竺=5,

■22■22422

4s=3%+1=3x5+1=16,a=—=—=8,a=—=—=4,=—=—=2,

(62272222

a=—=—=1,6t=3a+1=3x14-1=4,。=%=2,=—=—=1,L,

922l09"222

以此类推可知当〃27且〃wN•时，4+3=4，

因为2026=3x673+7,故。2026=%=4.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设函数/（1）=/—3/-9工+2,则下列结论正确的有（）

A./（X）的单调递减区间为（-1,3）

B.x=—l是/（工）的极小值点

C./（x）有3个零点

D.当左e(-25,7)时，方程/("二左恰有三个实数根

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用导数法求出单调性判断A：根据单调性得到极值点判断B；根据函数单调性结合零点存在定理

得到/(x)有3个零点判断C；当丘(-25,7)时，结合图像得到方程/(x)=4恰有三个实数根判断D.

【详解】/(x)=F一3/一9x+2,/z(x)=3x2-6x-9,

对于选项A,7'(力=3/—6%一9<0的解为一1<工<3,

则/(x)的单调递减区间为(-1,3),故选项A正确；

对干选项B,由/'(X)=3/―6/-9=0得%=一1或%=3,

/'(x)=3/-6x-9〉0的解为X<-1或x>3,

则f(x)的单调递增区间为(一”,-1),(3,+叫)，

则工=_］是/(x)的极大值点，故选项B错误；

对干选项C,V/(-2)=(-2)3-3X(-2)2-9X(-2)+2=0,

.•.1=-2为/'(X)的一个零点，

vx€(-a>,-l)时/(x)是单调递增函数，

故在x£范围内，/")有且仅有一个零点x=-2；

•・・/(x)的单调递减区间为(-1,3),

x=-l是的极大值点，

/(-1)=(-1)3-3x(-l)2-9x(-l)+2=-1-3+94-2=7>0,

x=3是/(x)的极小值点，

/(3)=33-3x32-9x3+2=27-27-27+2=-25<0,

.•.在x€(-1,3)范围内，/(%)有且仅有一个零点；

•.•在xw(3,+e)范围内，/(工)是单调递增函数，

/(3)=35-3x32-9x3+2=27-27-27+2=-25<0.

/（5）=53-3X52-9X5+2=7>0,

.•.在xw（3,+。）范围内，/（x）有且仅有一个零点；

则/（x）有3个零点，故选项C正确；

对于选项D,7（切的极小值为-25,极大值为7,・"«-25,7）,

直线y=攵与y=/（x）的图像有且只有三个交点，

结合图像可知，当《£（-25,7）时，方程/"）二%恰有三个实数根，故选项D正确.

10.在长方体48CO-4⑸CQ中，AB=AD=2,AA[=\,点E,产分别为44,4。的中点，则

A.g〃平面BEF

B.4G，平面BE/7

C.点E到平面力4b的距离为立

5

D.直线6厂与平面夕CG4所成角的正切值为加

【答案】AD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量•法逐一分析各个选项即可.

【详解】以。为原点，分别以所在直线为x，乂z地，建立空间直角坐标系，如图所示,

依题意得。(0,0,0),4(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),

。(0,0,1),J,(2,0,1),4(2,2,1),C,(0,2,1),

由E,77为中点，得E(2,0,；

，*1,0,1),

JD；=(-2,0,1),南二(0,-2,；),砺=(-1,-2,1),

对于A,

xZ)

_—1

n-BE=-2y+—z=0

设平面的户的法向量为万=(x,y,z),则＜

n•BF=-x-2y+z=0

令y=l，解得力二(2,1,4),所以福•万=(-2)x2+0xl+lx4=0,

7

又,4。平面BEE,因此力A〃平面BE/，故A正确；

对于B,=(-2,2,1),由A先项知平面5£户的法向量方二(2,1,4),

ULAJ

显然4cl与〃不共线，故4G不垂直于平面8"，故B错误；

对于C,方=(0,2,0),^7=(-1,0,1),设平面48户的法向量为比=(,b,c),

in•AB=2b=0

则_,令a=l,则比=0,0,1),

m•AF=-a+c=0

L

又正=(0,0,工］,所以点E到平面/的距离［二匡二二也工立

,故c错误;

I2；\m\45

对干D,易知平面8CC内的法向量为(0,1,0),而前二(*2,1),

直线BF与平面BCC用所成角。满足sin0=呼=f,

X(°1°"

网।|(。，1，。)［3

又cos0=-J\—sin20=>则tan0='=\/2,故D正确.

3COS。

故选：AD.

11.已知直线/：x=〃9+1过抛物线C：y2=2px（〃>0）的焦点/，且与C交于力，8两点，则下

列说法正确的是（）

A.线段为4长度的最小值为3

..Q

B-若4F=2FB,叫叫=

C.若点G的坐标为（-1,0）,则直线为G,8G的斜率之和为0

D.C上一动点P到直线2工+歹+3=0的距离的最小值为好

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于选项A,求出焦点尸的坐标，得到P的方程，解出P的值，从而得到抛物线。的方程，将

直线x=〃少+1代入抛物线，整理得到关于V的一元二次方程，利用韦达定理求出乂+%,必乂，利用弦

长公式求出利用得到的最小值；对于选项B,求出万\万，利用万^=2而得到

%二—2%，利用%+为，必为得到小的值，代入得解；对于选项C,求出KG，怎G，计算

3G+%BG得解；对于选项D,设与直线2x+y+3=0平行且与抛物线相切的直线方程为2x+y+/=0，

整理得到/+2y+2z=0,利用A=0求出f,利用两平行线间的距离公式求出直线2x+y+3=0与直线

2工+），+；=0的距离［,即为C上一动点尸到直线2x+y+3=0的距离的最小值.

【详解】对于选项A,Txf町，+1中的_v=0时x=l,二直线x=〃?y+l过（1。，

••.直线/：x="?十1过抛物线C：y7=2px（p>0）的焦点产，

/.F（l,0）,.,.■^=1,「.p=2,.,.抛物线C：y2=4x,

将工=〃少+1代入/=4%，得到V=4（???y+l）,

整理得到jJ—4町—4=0,

•.•已知直线/：1=加歹+1与抛物线。交于4,B两点,

设4（演，乃），8（工2，%）

.♦・弘+y2=4m,yty2=-4t

|/45|=J（必+8）2-4必8,J"??+1=J（4〃Z）2+]6•J〃/+1=4（〃/+1），

•.•阳220，.・.4（〃72+1/4,.・.|力却24,「.|48|的最小值为4,故选项A错误;

对于选项B,,・・4（%,必）,5（工2，%），尸（L。），

AF=（l-xlf-yj）,FB=（x2-lfy2）,

UL1UUU/、/

0.4尸二2q,，（1一玉，一切）二2（工2—1,外），

•'•一y=2%,.\y,=-2y2,

弘+必=_28+%=一为，

丁丁|+卜2=4〃7，-y2=4ni,.•.〃/二生，

16

21

「乂必二-4，•.•-2货=-4,.•.只=2,.二〃?？=二

10O

:,卸=4（〃/+1）,〃/=：,.」力M=4（1+1）=?,故选项B正确；

对于选项C,力（西,必）,8（々,.彩），C（-l,0）,:.x}=my]+\,

.•%=含=加缶同理镰二小

.+女二必।为二必（〃%+2）।■（〃明+2）,

〃明+2my2+2（m）\+2）（/njs4-2）（加必+2）（my2+2）'

:2，-+2（必+%）

・“的一/加"以必+⑴+>

•••Ji+必=46,必必=-4

二.3G+左8G=/8?_=o，故选项C正确;

-4〃?+8"+4

对干选项D,设与直线2工+y+3=0平行且与抛物线相切的直线方程为2x+歹+/=0,

V=4x转化为将A9代入2.—。得到2：十八”。，

整理得到/+2y+2r=0,

•••直线与抛物线相切，.•・△=4-8/=0,..•/二；，

与直线2x+y+3=0平行且与帼物线相切的直线方程为2x+y+；=0,

13—/—

,/直线2x+歹+3=0与直线2x+y+—=0的距离为,_____2__yJ5_,

2=~4T=~2

，C上一动点2到直线2x+y+3=。的距离的最小值为逝，故选项D正确.

2

故选:BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线y=叱在点(1,0)处的切线的方程为.

x

【答案】y=x-i

【解析】

【分析】利用导数求出切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】对函数y二史土求导得了'二^一少

则=1，

xx

］nx

因此，曲线y=-j在点（1,0）处的切线的方程为y=x-i

故答案为：y=x-\.

13.V14c中，内角力，B,。的对边分别为。，b,C,若acos8+“cos4-2）=0,则2=_____.

b

【答案】2

【解析】

（分析］利用正弦定理将acosB十Z;（cus月-2）=0中的边化角，得至ijsinAcosB十sinB（cos/i-2）=0,

利用两角和的正弦公式得到sin（4+4）-2sin3=0,利用三角形内角和为兀及诱导公式得到

sinC-2sin8=0,利用正弦定理进行角化边得解.

【详解】V6ZCOSi?+/）（cos^-2）=0,

2RsinAcosZ?+2RsinB（cosJ-2）=0,

sin/cos8+sin8（cos4-2）=0,

sinAcosB+sinBcosA-2sin8=0,

sin（4+5）-2sin8=0,

•••/,8,。是\/4?。的内角，.,.4+3=兀一。，

z.sin（7t-C）-2sin=0,

/.sinC—2sin8=0,

chc

----2x—=0,:.c-2b=0,c=2b,=2.

2R2Rb

故答案为：2.

14.已知数列｛%｝满足〃“=log川（〃+2）,定义使qyq…4为整数的〃叫做“完美数”，则区间

［1,1000］内所有“完美数”的和M=.

【答案】1004

【解析】

【分析】由勺=logn+G+2）求出十］吗，。3,计算出qqq…4=嚏2（%+2）,由qyq…4为

整数得到唾2（左+2）为整数,设这个整数为小，则log2（左+2）=m,解得％=2"'-2,由

k=2m-2>\,keN,w>2,/«eN,21°=1024得到在区间［1,1000］内所有“完美数”有

23-2,23-2,24-2,--,29-2,利用数列的分组求和和等比数列求和公式求解即可得解.

【详解】<氏=logzf+I(/?+2),:.a}=log23,生=^g,4,a3=Iog45,

a

q•生•生…k=log23-log34-log45….logz(%+2)=log,(攵+2),

•••4•2•%…%为整数，bg2(%+2)为整数,

设这个整数为“，唾2(%+2)=小，则左+2=2"'，解得3=2加一2,

VA-=2ZM-2>1JGN,/./H>2,WGN,

Q2,0=1024，

区间［1,1000］内所有“完美数”有2?-2,23-2,24-2,…,2。一2,

..•区间［U000］内所有“完美数”的和

M=22-2+23-2+24-2+---+29-2=^-^-2x8=210-4-16=1024-20=1004.

1-2

故答案为：1004.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=e2x(f一〃”的图像经过点0,^2).

(1)求刑；

(2)求/")在区间［-3,2］上的最大值与最小值.

【答案】(1)2(2)最大值为/(2)=2e1最小值为/'(1)=—e?.

【解析】

【分析】(1)把点(L-e?排入解析式可求〃?；

(2)求导，利用导数分析函数的单调性，进而可求函数/(X)的最大值与最小值.

【小问1详解】

函数/("=e2、(x2-w)的图像过点(1,-e?),

/(1)=-e2,Bpe2(l-z/z)=-e2,

二.1一〃7=—1,m=2.

【小问2详解】

由⑴得，/(x)=e2v(x2-2),

/(x)=2e2r(x2+x-2)=2e2v(x+2)(x-l),

由r(x)=0,得x=-2或工=1,

当工4-3,-2）时,r（x）＞0,/'（X）单调递增;

当工七（-2,1）时，/"（X）＜0,/（A）单调递减;

当xe(l,2］时，/'(x)>0J(x)单调递增，

.••/(—3)=j/(-2)=4>/(2)=2e，，/(1)=2

-e

ee

772

且2安＞熊＞七，

\/（x）在［-3,2］上的最大值为/（2）=2e,最小值为/⑴二^

16.已知圆C经过4（1,-4）,8（-2,-1）两点，且圆心C在直线2工十L-1=0上.

（1）求圆C的标准方程;

（2）过点〃（2/）的直线/与圆。交于尸，。两点.若|尸0|二4、回，求/的方程.

【答案】（1）（x-l『+（y+l『=9

(2)x=2或3x—4y-2=0.

【解析】

【分析】（1）设出圆心坐标，利用已知建立方程组，求出圆心及半径即得.

（2）由给定弦长求出圆心到直线的距离，再按该直线斜率存在与否分类求出方程.

【小问1详解】

设圆心C的坐标为(%b),则2。+6-1=0,

由|C4|二|C8|,得J(a—iy+S+4)2=J(〃+2)2+e+1)2,即〃一人2=0,

a-b-2=0a=\/、

由<2。+力一1=0，解得叩

P=-1

则圆C的半径r=\CB\=7（1+2|2+02=3，

所以圆。的标准方程为（x—l）2+（y+l『=9.

【小问2详解】

由(1)知，圆C：(x-iy+(y+l)2=9的圆心。(1,一1),半径〃=3,

圆心C到直线/的距离d=/-(g|尸=J百=1，

①若直线/的斜率不存在，即/：x=2,

此时圆心。(1,一1)到直线/：x=2的距离d=l,符合题意；

②若直线/的斜率存在，设直线/：y=k(x-2)+\,

\2-k\3

即h—y+l-24=0,圆心。到直线/的距离d=)।=1,解得A二一，

J1+F4

则直线/：y=-(x-2)+l,即31-4歹一2=0,

所以直线/的方程为x=2或3x-4y—2=0.

17.如图，在四棱锥S-48co中，底面NBCO满足力。148,ADA,CD,S4_L底面45CQ,且

SA=AD=CD=2,AB=\,M,N分别为SQ,SC上的点，豆MN〃CD.

(1)若"，N分别为SO,&?的中点，证明：平面平面SCQ；

(2)若平面48NM与平面S8C的夹角的余弦值为叵，求些的值.

10SD

【答案】(1)证明见解析

(2)，或2.

33

【解析】

【分析】(1)证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；

(2)建立空间直角坐标系，设而=义丽，利用向量法求面面角的余弦，再解方程即可求出久，得解.

【小问1详解】

•.•S4_L平面48CQ,。。(=平面/3。。，.二£4_1。。，

vADLCD,SA^AD=A,S4力。u平面S/。，\。。人平面受。，

zIMu平面S4),.CO,

vSA=AD,〃为SQ的中点，.•.4W_LS。，

•・•CDClSO=O,CD,SDu平面SCD，.二4W_L平面SCD，

AMu平面ABNM，•二平面44MW1平面SCD.

【小问2详解】

以,4为坐标原点，分别以ZB,AD,/S所在直线为x,V,z轴建立空间直角坐标系,

.•,^(0,0,0),5(1,0,0),5(0,0,2),。(2,2,0),£>(0,2,0),

设加=九丽,〃(x,y,z),即得(x/,z-2)=/l(O2-2),

.-.A=0,y=22,z=2-2A,/.M(0,22,2-22).

设/=(不，%,4)为平面SBC的法向量,

n.BS=0[-X+2z.=0

由；一，得二n，

“BC=a芭+2%=0

令4=1,则％=2,^=-1,/.A?]=(2,-1,1),

设n二(々，y2，Z2)为平面/8NM的法向量，

n2-AB=0z(j(x2=0

山:履而=0,得(22%+(2-24"2=0'

令%=]_%,则Z2=T,・,也二(0,1-/1,一』),

由辰〈晨孙噜,得q=噜,

11104〃2U

|0x2+(—1)x(1—A)+lx(—2)^/30

10'

1_3

即血—行+司二万化简得942—9尤十2=0，

［。C*4/1O

解得九二三或4二;,即夫的值为或

33SD33

18.已知数列｛%｝的首项6=1,前〃项和为工，数列［2］是公差为2的等差数列等比数列｛4｝的前〃

n

项和为北，且满足21,=3—3”用.

（1）求数列｛%｝、也｝的通项公式;

（2）求数列，鲁:的前〃项和M；

（3）若不等式土壮-21对任意的〃EN*恒成立，求义的取值范围.

（%+3）0

【答案】（1）凡二4〃-3,a二已，

、/4/7-55

(2)M=------3+—

"22

【解析】

S

【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得出数列〈口》的通项公式，可得出工的表达式，再利用

n

5.,/7=1（

二。。可得出数列%的通项公式；当〃22时，由27；=3—3〃讨可得2%=3-3%

两式作差可推导出数列｛2｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列｛，｝的通项公式:

（2）求出数列*的通项公式，利用错位相减法可求得M”；

⑶由激善小仁武4〃5,令c.=（g-5,分析数列｛&｝的单调性，分〃为奇数、

3〃一】

偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数4的取值范围.

【小问1详解】

•••的首项为4=1,公差为1=2,

In1

S

2

.1=1+（〃-1）x2,:.Sn=2n-n.

当"22时，/=S〃-S〃_[=（2,2—〃）一2（〃-1）2—（〃-1）]=4〃-3,

,.,4=S[=1也适合上式，.,.%,=4〃-3.

当〃22时，..・27；=3-3〃』，①

.•.23=3-3",②

①-②：2b,=3bn-3bz，:也=3%,即如=*,

・••也｝的公比g=

令①式中〃=1得24=3-34，即2々=3-々，

/]\»T

：也=1，；也=5=-.

IJ/

【小问2详解】

由⑴唠=(4〃-3丁,

=lx3°+5x3i+9x32+…+（4〃一7）-3”-2+（4"—3）・3'"，③

③x3得：3M“=1x1+5x32+9x33+…+（4-7）-3"T+（4〜3）・3”，④

③一④得：-2M”=1+4（3+3?+…+3"T）-（4〃-3）-3"

3（1-3”叫

=]+4x\§_（4〃_3）3=_5+（5_4〃）.3”，

.•.%,=例二3"+』.

22

【小问3详解】

,---------1一L=--------1_Z_>1由1/1、”、4〃

由（氏+3）・“4〃，得义•（-1）>-^--5,

,〃一1

4/7

设C”5,

r组4〃+44/74—8/7八一

可得：C"|—C'二F--5-尸+5=下=<01fl恒成"，

，上“｝为递减数列，

当〃为偶数时，不等式几2c〃对所有偶数〃恒成立，

需兀大于等于｛qj偶数项中的最大值，

77

又因｛%｝单调递减，故最大值为。2=-§，因此

同理，当〃为奇数时，不等式一/LNg对所有奇数〃恒成立，

需-几大于等于｛，”｝奇数项中的最大值，

又因｛g｝单调递减，故最大值为q=-1,因此一4之一1,即/IV1,

-7-

综上，实数义的取值范围为一］1.

19.已知双曲线。:^一］=1（〃>°力〉0）过点（无一3卜且渐近线方程为）,=±而，直线

/:3=〃孽+〃（〃?〃/0）与。交于不同的两点/>、Q（异于双曲线的顶点）.

（1）求C的方程；

（2）力为双曲线的卜.顶点，若以也为直径的圆恒过点力,试判断直线/是否过定点？若过定点，求出该

定点的坐标：若不过定点，请说明理由：

（3）若「、。在双曲线的上支，且线段”?的垂直平分线过点M（4,0）,求NPA/。的取值范围.

2

【答案】（1）^--x2=｝

3

（2）直线/过定点，该定点坐标为（0,-26）.

⑶传）

【解析】

【分析】（1）由已知条件可得出关于/、〃的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线。的方程：

（2）将直线/的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得万•而=0,利用平面向量数量

积的坐标运算结合韦达定理可得出〃、/〃所满足的关系式，即可求出定点坐标；

（3）解法一：求出线段的垂百平分线方程,将点M的坐标代入此直线方程,可得出l-3/w2.由此

可得出线段尸。的中点E的坐标，求出力的取值范围，结合弦长公式可求出tan的取值范围，