高考数学复习之平面向量的应用（原卷版）

第31讲平面向量的应用

【基础知识全通关】

一：法向量与点到直线的电离

1.对于直线41+外+。=0,1，=（匕,-。）是直线的方向向量，〃=（。］）是直线的法向量.

2.已知直线/:办+与，+。=0和定点,且M（x,y）£/,%为与/垂直的单位向

量，则P到直线/的距离所引叱〃0|」“:冷；。.

【微点拨】

（1）如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式；

（2）利用点到直线的距离公式，可以得到两平行直线

/i：A¥+8y+<=0,/2：&+8y+C，=0之间的距离>=,应用此公式时，要

\IA2+B2

预先把两直线中的的系数调整到分别相同才行.

二：向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：

（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向

量减法的意义.

（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共

线）的条件：allba=Ab（或xiy?—x2yi=0）.

（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直

等，常运用向量垂直的条件：a.Lh<^ah=O（或x'+ysW）.

（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos，=q-.

（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直

角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题.

【微点拨】

用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，

表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及

数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到

解决几何问题的目的了.

三：向量在解析几何中的应用

在平面直角坐标系中，有序实数对（X,y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量,

使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解

决.

常见解析几何问题及应对方法：

（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质.

（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于

点的坐标的方程.

（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件•.

（4）夹角问题：利用公式COS6=3-.

I〃ISI

四：向量在物理中的应用

（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学

问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物

理现象.

（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位

移的合成与分解就是向量的加减法；③动量•mv是数乘向最；④功即是力F与所产生位移s

的数量积.

（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化

为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论.

【考点研习一点通】

考点一：点到直线的距离公式

1.求经过P（-1,2）与直线x+），+l=O平行的直线的方程.

【变式1-1】已知直线4与4的方程分别为7x+8），+9=0,7x+8y-3=0,直线/平行于4,

直线/与4的距离为4,与/，的距离为乩，且乙二求直线/的方程.

d,2

考点二：向量在平面几何中的应用

2.用向量法证明：直径所对的圆周角是直角.

己知：如下图，AB是00的直径，点P是。O上仔一点（不与A、B重合）,求证：ZAPB

=90°.

【变式2-1】如下图，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、

CD交于点P.求证：BP一CD.

【变式2-2】如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明:

【变式2-3］在平面直角坐标系xOy中，己知点A(-l,-2),B(2,3),C(-2,-1).

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(AB-，OC)-OC=0,求t的值.

【变式2-4】四边形ABCD是正方形，BE〃AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于

点F.

求证：AF=AE.

考点三：向量在解析几何中的应用

3.已知平面上一定点。(2,0)和直线/：x=8,夕为该平面上一动点，作/垂足为0,

且（PC+；PQ）（尸

=0,求动点P的轨迹方程.

【变式3-1】已知圆C：（X-3）2+（y-3）2=4及定点A（1,1）,M为圆C上任意一点，点N

在线段MA上，且

M4=2AN,求动点N的轨迹方程.

【变式3-2］已知4ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(一6,2),点D、E、F

分别为边BC、CA、AB的中点.

（1）求直线DE、EF、FD的方程;

（2）求AB边上的高CH所在直线的方程.

考点四：向量在物理学中“功”的应用

4.如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50N,一个质量为8kg

的木块受力F的作用在动摩擦因数u=0.02的水平平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所

做的功分别为多少？(g=10m/s2)

考点五：向量在力学中的应用

5.如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G.两绳受到的拉力分别为B、

F2,夹角为6.

(1)求其中一根绳子受的拉力IBI与G的关系式，用数学观点分析R的大小与夹角。的关

系;

求B的最小值;

(3)如果每根绳子的最大承受拉力为IGI，求e的取值范围.

【考点易错】

1.如图，在△OAB中，OC=-OA，00=^08,AD与BC交于点M,设0A=。，=〃,

42

试以a,b为基底表示.

B

2.己知A、B、C是不共线的三点，O是AABC内一点，若04+03+00=0,证明O

是4ABC的重心.

3.设。4、OB、O尸是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线,

当且仅当存在实数m、n使m+n=l且OP=mOA=nOB.

【巩固提升】

I.等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为

4

A.B

5-4

43

c.D.

55

2.已知a=(2COSJC,2sinx)，函数/(x)=cos(a,Z>).

(I)求函数f(%)的零点;

(ID若锐角AABC的三个内角小B、C的对边分别是a、b、c,且/l(4)=1,求"巧的

a

取值范围.

3.在△ABC中，内角AB,C的对边分别为且向量

3

m=(cos(A-B),-sin(A-B)),n=(cosB,sinB),若a•〃=..

(1)求sinA的值；

(2)若。=4逐/=5,求区4在8c方向上的投影.

4.一质点受到平面上的三个力后、Fi.入(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知月、

尸2成60。角，且尸八尸2的大小分别为2和4,贝IJ尸3的大小为.

5.在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行,

则船自身航行的速度大小为knVh.

1^2

6.在平行四边形A8CD中，AB=a.AD=b,CE=-CB、CF=-CD.