盈亏问题 -五年级奥数培优讲义（原卷版）

五年级奥数培优讲义：第11讲盈亏问题

i知识点梳理|

一、核心概念与公式

1.基本概念

盈亏问题是研究“分配物品时，按不同标准分配产生盈余或亏损”的问题。

关键量：

分配对象数量（如人数、组数等，记为％）;

被分配物品总数（如糖果、树苗等，记为y）；

分配标准（每人/每组分得的物品数量，记为。，两次分配标准可不同，记为由、a2）；

盈数（分配后多余的物品数量，记为zn）；

亏数（分配后缺少的物品数量，记为几）。

2.核心公式

（注：“两次分配差”指两次分配标准的差，即I%-&I，假设%＞。2）

类型公式（分配对象数量尤）物品总数y（以巴为例）

X

一盈一亏=（盈数4-亏数）y=QlXX—盈数（或0X%+亏数）

・两次分配差

X

两盈（大盈、小盈）=（大盈—小盈）y=aAxx-大盈（或的xx-小盈）

・两次分配差

X

两亏（大亏、小亏）=（大亏一小亏）y=QiX%+人5（或gx3+小万）

+两次分配差

单盈（一次正好，一次y=ttiXx-盈数（或a?x%，做为正好

X=盈数+两次分配差

盈）分配的标准）

单亏（一次正好，一次％=亏数+两次分配差y=%XX+亏数（或02XX，a2为正好

类型公式（分配对象数量X）物品总数y（以即为例）

亏）分配的标准）

二、核心题型与技巧

题型1：基础型（一盈一亏）

技巧：直接套用“％=（盈+亏）+两次分配差”，再求物品总数。

例：每人分为个多租个（盈），每人分@2个少九个（亏），则人数%=（?n+几）+（&-Qi）（假

设Q2>a］），物品总数y=axx+m。

题型2：两盈型

技巧：两次分配均有盈余，用“x=（大盈-小盈）+两次分配差”。

例：每人分％个多？Hi个（小盈），每人分&个多小2个（大盈，巾1>租2），则人数

X=（7nl-机2）+（。2-。1），物品总数丫=+机1。

题型3：两亏型

技巧：两次分配均有亏损，用”》=（大亏-小亏）+两次分配差”。

例：每人分％个少几1个（小亏），每人分g个少九2个（大亏，的>%），则人数%=（n2-nJ+

（a2-«i）（a2>cii）,物品总数了=一叫。

题型4：单蒲或单亏型（一次正好）

技巧：一次分配正好分完，一次盈余或亏损，用“％=盈（或亏）数+两次分配差”。

例：每人分4个多771个（盈），每人分电个正好分完，则人数X=7九一（g一。1），

物品总数y=a2Xo

题型5：分配对象数量变化型

技巧：当分配对象数量增加或减少（如“增加2人”“减少1组”）,需先统一分配对象数量，

转化为标准盈亏问题。

例：原计划每人分Q个，若增加3人则每人分b个正好，此时可将“增加3人”转化为“原人

数每人分b个，多助个“（即盈3匕），再用单盈公式。

题型6：含多余条件型

技巧：从题目数据中筛选有效条件（分配对象、两次分配标准、盈/亏数），忽略无关数据（如

物品颜色、单价、形状等）。

2

题型7：综合应用型（结合实际场景）

技巧：将实际问题（如分房间、租船、植树、发工资等）转化为盈亏问题，明确“分配对象”

（如房间数、船数、人数）、“被分配物品”（如人数、人数、树的棵数）、“盈/亏数”（如

多几人、少几间等），再套用公式。

i例题讲解i

一、基础型（一盈一亏）

例题1：小朋友分糖果，每人分5颗，还多10颗；每人分7颗，还差4颗。求有多少个小朋

友？糖果有多少颗？

跟踪练习1：同学们去植树，每人植3棵，剩20棵；每人植5棵，少10棵。求人数和树的棵

数。

二、两盈型

例题2：学校给学生发练习本，每人发8本，还多50本；每人发10本，还多10本。求学生

人数和练习本总数。

跟踪练习2：老师分钢笔给优秀学生，每人分3支多15支，每人分4支多6支。求优秀学生

人数和钢笔总数。

3

三、两亏型

例题3：小朋友分苹果，每人分4个，少6个；每人分6个，少22个。求小朋友人数和苹果

总数。

跟踪练习3：同学们排队做操，每排站8人，少12个位置；每排站10人，少32个位置。求

有多少排？一共有多少名同学？

四、单盈或单亏型（一次正好）

例题4：把一些笔记本分给学生，如果每人分3本，正好分完；如果每人分2本，还多5本。

求有多少名学生？笔记本有多少本？

跟踪练习4：老师给班级分书，每人分4本，少8本；每人分5本，正好分完。求班级人数和

书的总数。

五、分配对象数量变化型

例题5：原计划把一些糖果分给若干个小朋友，每人分5颗正好分完。如果增加3个小朋友,

每人分4颗也正好分完。求原来有多少个小朋友？糖果有多少颗？

4

跟踪练习5：同学们去划船，原计划每条船坐6人，正好坐满；如果减少1条船，每条船坐8

人，也正好坐满。求原计划有多少条船？一共有多少名同学？

六、含多余条件型

例题6：幼儿园老师分饼干给小朋友，已知饼干有奶油味和巧克力味两种，共80块。如果每

人分5块，多15块；每人分7块，少5块。求有多少个小朋友？（奶油味饼干30块，巧克力

味50块）

跟踪练习6：学校组织学生参加夏令营，带了矿泉水和果汁共120瓶，其中矿泉水65瓶，果

汁55瓶。如果每人分4瓶，多20瓶；每人分5瓶，少10瓶。求参加夏令营的学生人数。

七、综合应用型（结合实际场景）

例题7：用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余1米；把绳子四折来量，井外余0.2米。求

井深多少米？绳子长多少米？

跟踪练习7：某学校安排学生住宿，若每间住4人，则有18人没地方住；若每间住6人，则

有2间空房。求有多少间宿舍？学生有多少人？

|提升练习!

*________________________J

1.有一堆螺丝和螺母。如果一个螺丝配两个螺母，则多10个螺母；如果一个螺丝配三个螺母,

则少6个螺母，螺丝、螺母各多少个？

2.实验小学进行团体操表演c如果每行排8人，则多出7人；如果每行排14人，则有一排少

5人。问排成多少排？有多少学生？

3.老师将一批练习本发给班上的学生。如果每人发6本，则少94本；如果每人发4本，则少

2本。问有多少个学生？有多少练习本。

4.某商店从深圳运来一批水果，运费花了1000元，水果报损了100千克，若按2元1千克卖

出，则要亏损300元；若按3元1千克买出，则可盈利500元。问原来进货多少千克？水果进

货的金额是多少元？

5.同学们到阶梯教室听科技报告，如每张长椅坐8人，则剩下50人没有座位；如果每张长椅

坐12人，则空出10个座位。如果每张长椅上坐7人，还剩下多少学生无座位？

6

6.“烛光”读书活动小组在学校图书馆借来的科技书是故事书的2倍，平均每人看6本科技

书，则余12本；每人看故事书4本，则差3本，读书活动小组有儿人？借来的科技书和故事

书各多少本？

7.动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个：如果其中10只小猴分

4人，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴山有猴多少只？共买来多少个桃？

8.人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游，如果每车坐45人，有10人不能坐车;

如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？

9.幼儿园老师给小朋友分糖果，每个小朋友分5个糖果，就多出22个糖果；每个小朋友分7

个糖果，就少18个糖果，求小朋友的个数和糖果的数量是多少？

10.四年级学生搬病，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬5块，这样最后余下148块;

如果有30人每人各搬8块，有8人每人搬9块，其余的每人搬10块，这样分配最后余下20

块。学生共有多少人？共有砖多少块？

7

11.少先队员在校园里栽的苹果树苗是梨树苗的2倍。如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵，如

果每人栽7棵梨树苗，少6棵。问有多少少先队员？准备栽多少棵苹果树和梨树苗？

12.小华从家到学校，他先用每分钟50米的速度走了2分钟。如果这样走下去，他就要迟到

8分钟，后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟。求小华家到学校的路。

13.上级规定上午9点应把传令售从军营交到指挥部。一通讯兵如果每分钟走到ICO米可提早

10分钟到达，如果每分钟走80米，可提早6分钟到达。求这个通讯兵在路上应用多长时间？

他几点从军营出发刚好9点到达？军营离指挥部有多远？

14.六一儿童节，老师给班上的同学发糖果，如果每人发10粒糖果，则还差32粒糖果，如果

每人发6粒糖果，则糖果刚好分完。那么班上一共有多少名同学？老师一共有多少粒糖果？

15.班级有一些明信片要分发给班里的同学，如果每人分3张，还剩5张，如果每人4张,

就缺10张，请问：有多少个同学？一共有多少张明信片？

8

16.李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8