高考物理 竖直面内圆周运动之绳模型和“杆”模型及其临界问题（原卷版）

第19讲竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问

题

I真题示例

1.（2022•江苏）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略.空间站上操控货

物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L.如图1所示，机械臂一端固定

在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物.在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为

2L、角速度为3的匀速圆周运动，运动到A点停下.然后在机械臂操控下，货物从A点由静止

开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。

（I）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小Fna

（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率Pc

（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上.货物与空间

站同步做匀速圆周运动.已知空间站轨道半径为r,货物与空间站中心的距离为d,忽略空间站对

货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比Fi：F2。

一.竖直面内的圆周运动一“绳”模型和“杆”模型

1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类:

一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；

二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。

2.绳、杆模型涉及的临界问题

绳模型杆模型

常见i^lr\(、

\j呼啰

类型

均是没有支撑的小球均是有支撑的小球

受力除重力外，物体受到的弹力除重力外，物体受到的弹力向下、等于零

特征向下或等于零或向上

受力・•・・决、・・・•［，..

mgmgmgmgmg

示意图

o1。000

过最高

点的临由阳=而得v^yfgr由小球恰能做圆周运动得/临=0

界条件

(1)当。=0时，R=mg,K为支持力，沿半

(1)过最高点时，R径背离圆心

2

V_V2

+如=丘，绳、圆轨道对球产(2)当0<区〈)时，侬一“=而，K背离圆

讨论

生弹力人心，随/的增大而减小

分析

不能过最高点时，v<y[gr

(2)f(3)当时，K=0

2

在到达最高点前小球已经脱V

(4)当小/^时,K+侬=不,人指向圆心，

离了圆轨道

并随『的增大而增大

3.竖直面内圆周运动问题的解题思路

/定模型J判断是轻地模型还是轻杆模型

对轻绳模型来说能否通过最高点的

业界速度是“="，而对轻杆模型

来说过数高点的।缶界速度为零

通常情况下翌直平面内的圆周运动只

/研究*态4—涉及最高点和敖氏点的运动情况

对物体在好高点或暴低点时进行受力

/受力分析卜分析，根据牛梃第二定律列出方程

F*=F.

/过程分析卜I应用功能定理或机械能守恒定律将

1初、末两个状杰联系起来列方程

二.例题精析

题型一、杆球模型

例I.一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端。为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周

运动，如图所示，则下列说法正确的是（）

A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B.小球过最高点的最小速度是质

C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而噌大

D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

题型二、绳球模型

例2.如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内

做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v,测得相应的轻绳弹力大小F,得到F-\2图象

如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为（0,-b）,斜率为k。不计空气阻力，重力加

速度为g，则下列说法正确的是（）

A.该小球的质量为bg

B.小球运动的轨道半径为二

kg

C.图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零

D.当丫2=2时，小球的向心加速度为g

三、举一反三，巩固提高

1.如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，小球沿圆轨道在侵直平面

内做圆周运动，铁块始终保持静止，重力加速度为g。则下列说法正确的是()

A.小球在圆轨道A点时，地面受到的压力等于铁块和小球的总重力

B.小球在圆轨道B点时;地面受到的摩擦力方向水平向左

C.小球在圆轨道C点时，地面受到的压力一定不为0

D.小球在圆轨道D点时，其加速度方向水平向左

2.如图所示，氏为L的悬线固定在0点，在0点正下方g处有一钉子C.把悬线另一端的小球m

拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的

()

♦•

A.线速度突然增大为原来的2倍

B.线速度突然减小为原来的一半

C.向心加速度突然增大为原来的2倍

D.悬线拉力突然增大为原来的2倍

3.如图所示，粗糙程度处处相同、倾角为6的倾斜圆盘上，有一长为L的轻质细绳，一端可绕垂

直于倾斜圆盘的光滑轴上的。点转动，另一端与质量为m的小滑块相连，小滑块从最高点A以

垂直细绳的速度vo开始运动，恰好能完成一个完整的圆周运动，则运动过程中滑块受到的摩擦

力大小为（）

m(VQ-gLsin0)m诏

B.

47rL2nL

TH(诏-gL)

D.

47rL4nL

4.如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运

动，小球到达最高点时受到杆的弹力F与速度平方v2的关系如乙图所示，则（）

A.小球到达最高点的速度不可能为0

R

B.当地的重力加速度大小为丁

b

C.v2Vb时，小球受到的弹力方向竖直向下

D.v2=c时，小球受到的舛力方向竖直向下

5.如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子P,小球

从左侧一定高度摆下（整个过程无能量损失）。下列说法中正确的是（）

A.在摆动过程中，小球所受重力和绳子拉力的合力始终等于向心力

B.小球经过最低点时，加速度不变

C.小球经过最低点时，速度不变

D.钉子位置离O点越近，绳就越容易断

6.如图所示，竖直杆OP光滑，水平杆0Q粗糙，质量均为m的两个小球穿在两杆上，并通过轻

弹簧相连，在图示位置AB连线与竖直方向成6角时恰好平衡，现在让系统绕0P杆所在竖直

线为轴以从零开始逐渐增大的角速度3转动，下列说法正确的是（）

A.小球A与OQ杆的弹力随3的增大而增大

B.弹簧的长度随3的增大而增长

C.小球A与杆的摩擦力随3的增大而增大

D.开始的一段时间内，B小球与杆的弹力随3的增大而可能不变

7.（多选）如图甲所示，一长为R的轻绳，一端穿在过0点的水平转轴上，另一端固定一质量未

知的小球，整个装置绕0点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度

平方v2的关系如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a,下列判断正确的是（）

A.利用该装置可以得出重力加速度，且g=5

B.绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大

C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大

D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线a点的位置不变

8.如图所示，有一长为L的细绳，一端悬挂在A点，另一端拴一质量为m、电量为q的带有负电

荷的小球：悬点A处放■正电荷，电量也为q。如果要使小球能在竖直平面内作完整的圆周运

动，如图所示。若已知重力加速度为g,则（）

D

A.小球到达最高点D点速度的最小值为历

B.小球到达与A点等高的C点受到绳子拉力的最小值为2mg

C.小球到达最低点B点速度的最小值为J鬻+4gL

D.小球到达最低点B点受到绳子拉力的最小值为6mg

9.如图所示，带有支架总质量为M的小车静止在水平面上，质量为m的小球通过轻质细绳静止悬

挂在支架上的O点，绳长为L。现给小球一水平初速度，/。让小球在竖直平面内以O点为圆心做

圆周运动，小球恰能通过最高点A,其中A、C为圆周运动的最高点和最低点，B、D与圆心O

等高。小球运动过程中，小车始终保持静止，不计空气阻力，重力加速度为g.则（）

A.小球通过最低点C的速率为%=J4gL

B.小球通过最低点C时，地面对小车支持力大小为Mg+6mg

C.小球通过B点时，小车受地面向左的摩擦力大小为2mg

D.小球通过D点时，其重力功率为零

10.如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点0在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度

大小为v,此时绳子拉力大小为Fr,拉力Fi与速度的平方V?的关系如图乙所示，图像中的数

据a和b以及重力加速度g都为己知量，不计空气阻力，以下说法正确的是（）