河南大学《高等数学》课件-空间解析几何

一、内容小结

二、实例分析空间解析几何河南大学

平面与各坐标平面的夹角，实际上是与各坐标轴的夹角.实际上是的法向量的三个方向角.

设

则一、内容小结

空间平面一般式点法式截距式1.空间直线与平面的方程为直线的方向向量.空间直线一般式对称式参数式为直线上一点;★面与面的关系平面平面2.线面之间的相互关系(3)夹角公式:直线★线与线的关系直线(3)夹角公式:平面:★面与线间的关系直线:(1)L⊥

(2)L//

(3)夹角公式：3.相关的几个问题(1)过直线的平面束方程为：以上方程不包括平面(1)点的距离为到平面

：Ax+By+Cz+D=0

dd3.相关的几个问题到直线的距离为(2)

点★常用的二次曲面及其方程

球面

旋转抛物面oyzxxyozxyoz

圆柱面

圆锥面的方程★空间曲线三元方程组或参数方程★求投影曲线(如,圆柱螺线)设空间曲线C的一般方程为消去

z

得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz

面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程如:所围的立体在xoy

面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.消去

z

得投影柱面★常用的公式方向余弦的性质:的方向角的余弦称为其方向余弦.

一、判断题4.以为邻边的平行四边形的面积.…….()2.………()1.任二向量若则………()3.设是向量则()的方向角，5.若为单位向量,则…….()仍为单位向量6.若其中则一定有…….()

1.设则2.旋转曲面被平面所截得的截线方程为___________________.二、填空题3.球面的球心坐标为_______.4.通过点(4,-1,3)且平行于直线的直线方程是____________________.(1,0,0)5.直线与平面的位置关系为____.6.直线与z轴夹角余弦是________.7.直线在平面上,则k=____.8.球面的球心坐标为_______.9.曲线绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为_______.垂直111.yoz坐标面上的曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面方程是_________________.12.已知两点则13.通过点且垂直于向量的平面方程为________________________.则14.若向量且三、选择题1.直线与平面A.平行；B.重合；C.垂直；D.斜交.的位置关系是()2.直线的方向向量是()A.B.C.D.DA3.若一直线的方向向量为则此直线与z轴的夹角为()A.0;B.C.D.4.与向量垂直的单位向量是()A.(-1,0,1)；B.(1,0,1)；C.D.5.方程y+z=0的图形是()的平面.B.平行于y轴；A.平行于坐标面yoz；C.过x轴;D平行于z轴.6.平面与平面的位置关系是()A.平行；B.垂直；C.重合；D.斜交.BCCB7.方程表示的二次曲面是()B.圆锥面；A.旋转抛物面；C.圆柱面；D.椭球面.8.过点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)的平面方程为()A.B.C.D.9.若为共线的单位向量，则它们的数量积A.1；B.-1；C.0；D.10.直线与直线的夹角为().A.1;B.C.D.AADC11.平面x+y=0的位置特点是().A过z轴；B.过y轴；C.过x轴；D.平行于xoy面.12直线与平面的位置关系()B.直线在平面上；A.平行,但直线不在平面上；C.垂直相交；D.相交但不垂直.13.直线L:A.直线L与平面与平面的位置关系是()平行但不共面;B.直线L与平面垂直;C.直线L在平面上;D.直线L与平面斜交.AAB四、计算题1.一平面过原点且与平面及平面垂直，求此平面方程.2.求过点的平面方程.且平行于向量3.求过点(1,2,1)且与直线和都平行的平面方程.4.与两直线及都平行，且过原点的平面方程为___________.二、填空题1.2.3.4.(1,0,0)5.6.垂直7.8.19.10.11.12.13.14.一、判断题1.

2.

3.

4.

8.

7.

6.

5.

三、选择题1.D；2.A；3.B；4.C；5.C；6.B；7.A；8.A；9.D；10.C11.A；12.A；13.B.四、计算题1.2.3.4.一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线

多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数引例:已知空间曲线

的参数方程:

的向量方程此方程确定映射,称此映射为一元向量

值函数.定义:给定数集D

R,称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限：连续：导数：因此下面仅以n

=3的情形为代表向量值函数的导数运算法则:设是可导向量值函数,是可导函数,则C

是常向量,c

是任一常数,向量值函数导数的几何意义:在R3中,设的终端曲线为

,表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t的增长方向一致.,则设切线的方向向量:称为曲线的切向量.向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有

例1.

设速度向量：加速度向量：解：例2.设空间曲线

的向量方程为

求曲线

上对应于解:的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与t

的增长方向一致另一与t

的增长方向相反的单位切向量为=6例3.一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺求旋式上升,其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻

t

的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻

t

的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解:(1)(3)由即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.二、空间曲线的切线与法平面过点M

与切线位置.空间光滑曲线在点M

处的切线为此点处割线的极限1.空间曲线的切线与法平面的定义空间光滑曲线在点M

处的法平面为垂直的平面2.空间曲线的切线与法平面的求法切线方程由向量值函数导数的几何意义，此处要求存在且不全为0,法平面方程为

即切线的方向向量:曲线在点M的切向量，定理1设空间曲线的参数方程为对应的参数为，如果曲线在处有切线，且该切线的一个切向量为：曲线在M处的切线方程曲线在M处的法平面方程：，因此得例1.求曲线在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解：点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为因此所求切线方程为法平面方程为即推论1.空间曲线方程为如果曲线在处有切线，且该切线的一个切向量为：证明：只需把x看成参数,则切线方程为法平面方程为例2解切向量为：所求切线方程为：法平面为：求曲线上对应于的点处的切线与法平面方程.推论2.设光滑曲线导在处存在且连续（在M的邻域内），且二阶行列式

在处都存在且不全为零曲线在处有切线，且该切线的一个切向量为：当曲线上一点

且由隐函数的导数可知：

可表示为处的切向量为证明：时,或结论：由已知的曲线方程和切点坐标就可以写出切向量，进而就可以写出曲线的切线方程与法平面方程.例3.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.解法1

令则切向量切线方程即法平面方程即二、曲面的切平面与法线

设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则

在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为

在该点的切平面.

上过点

M

的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:在上,得令由于曲线

的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在且曲面

在点的法向量为定理2设有光滑曲面曲面

在点M的法向量为：曲面

在点M的切平面方程曲面

在点M的法线方程如果函数在点有连续偏导数,且不全为零曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,

当光滑曲面

的方程为显式

在点有连续偏导数时,切平面方程法向量切平面上点的竖坐标的增量在点的全微分函数因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面上的点的竖坐标的增量.的全微分的几何意义表示曲面在点在点的全微分，说明：1.在点的可微:曲面在M点有不平行于z轴的切平面法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,切点2.例4.