高考数学复习：不等式及性质（原卷版）

第03讲不等式及性质

【基础知识网络图】

【基础知识全通关】

知识点01：两个重要不等式及几何意义

1.重要不等式：

如果那么〃+b222ab（当且仅当。=〃时取等号J“）.

2.基本不等式：

如果〃是正数，那么空石（当且仅当时取等号.

2

【要点诠释】

a2+h2>2ab^竺之而两者的异同：

2

（1）成立的条件是不同的：前者只要求〃都是实数，而后者要求。力都是正数;

(2)取等号“=”的条色在形式上是相同的，都是“当且仅当。=。时取等号”。

(3)/+从22(活可以变形为：ab<a+b,竺2而可以变形为：《(空2了.

222

3.如图，A3是圆的直径，点C是A3上的一点，AC=a,BC=b,过点C作。CJ./W

交圆于点D,连接A。、BD.

易证RtMCD~Rt^DCB,那么即。。二皿.

这个圆的半径为丝2,它大于或等于C。，即汉心之1茄，其中当且仅当点C与圆心重

22

合.即〃=〃时.等号成立.

【要点诠释】

1.在数学中，我们称为。力的算术平均数，称而为火。的几何平均数.因此基本

2

不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.如果把竺看作是正数出〃的等差中项，J益看作是正数的等比中项，那么基本

2

不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

知识点02：用基本不等式疝工空2求最大(小)值

2

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等“

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

知识点03：几个常见的不等式

1)a2+b2>2ab当且仅当a%时取“二”号。

2)与22向当且仅当时取号。

3)-+->2/>0)：特别地：a+->2(a>0)；

baa

4)等之而2黑(加月)

6)ay+Z?3+c3>3abc(a.b.ce/?*)；

7)a+b+c>3Vabe(a,b,cwR)

知识点04：绝对值不等式的性质

1.\a\-\b\<\a+b\<\a\+\b\；

2.\a-b\<\a-c\+\c-b\；

知识点05：柯西不等式

1.二维形式的树四不等式：

(1)向量形式：

设Z,分是两个向量，则•方区隆川历，当且仅当斤是零向量或存在实数k,使2=南

时，等号成立。

(2)代数形式：

①若a、b、c、d都是实数，则(/+/?2)(。2+v/2)2(〃c+/?d)2,当且仅当ac=bd时，等

号成立；

②若a、b^c、d都是正实数，则\!a2+b2-\lc2+d2>ac-\-bd,当且仅当ac二bd时，等号

成立；

③若a、b、c、d都是实数，则J/+/才ac+〃d|,当且仅当ac=bd时，等号

成立；

【要点诠释】

柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；

(3)三角形式:

设内，々，凹，为£尺，则J为:+)'：+JR；+y；NJ(七一々)2+(y一。

2.三维形式的柯西不等式(代数形式):

+a2

若41M2M3，仇也也都是实数，则（〃：2+〃；）（〃：+bl）>（aibl+a2b2+a3b3）1

当且仅当々=0,（i=l,2,3）或存在实数k,使得q=A4"=1,2,3）时，等号成立。

3.一般形式的柯西不等式（代数形式）：

若4，々，。3,…，。”，仇也也，…也，都是实数，则

（a：+蜡---->_%）（6；+b~H----1纥）>（〃自+a2b2+…+。也）：

当且仅当々=0,（i=l,2,…或存在实数k,使得生=纳（/.=1,2,…时，等号成立。

【拓展】

1.两个实数比较大小的方法

fa—b>O<=>a>b

（1）作差法，a—b=O=a=b（a,bWR）

,a—b<O<=>a<b

->1<=>a>b

（2）作商法<；=loa=b（a£R,b>0）

b-

"<1<=>a<b

2.不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>b<=>b<a=

传递性a>b,b>c=>a>c=>

可加性a>b<=>a+c>b+c=

a>b

=ac>bc

c>0

可乘性注意C的符号

a>b

=ac〈bc

c<0

a>b

同向可加性=>a+c>b+d=>

c>d

a>b>0

同向同正可乘性>nac>bd=>

c>d>0.

可乘方性a>b>O=>aW(n£N,n'l)a,b同为正数

可开方性a>b>0=*>m(n£N,n>2)a,b同为正数

【微思考

1.两个正数a,b,如果a>b,则m与世的大小关系如何？

提示如果a>b>0,则备>乐.

2.非零实数a,b,如果a>b,则［与1的大小关系如何？

ab

提示如果ab>()且a>b,则

ab

如果a>O>b,则:>；.

【考点研习一点通】

考点01：基本不等式《竺2求最值问题

2

1.设则/+」_+_!_的最小值是

aba(a-b)

A.1B.2C.3D.4

【变式1］已知x>y>0,且口=3,求厂十厂-2的最小值及相应的x,y值.

x-y

【变式2】求下列函数的最大(或最小)值,

(1)y=x+—^—(x>0)；

x+1

、5

(2)(2)y=2x2+~,(x>0)；

X

,5

(3)y=x(5-2x)~,(O<x<—)

(4)y=x+,,(x>-)；

Av-12

(5)y=2xVl00-x2,(0<x<10)

19

【变式3］已知x>0,y>0,且一+—=1,求x+y的最小值.

xV

考点02：利用基本不等式证明不等式

2.已知0<c<l,求证：(l-r/)Z?,(1一勿。，(l-c)〃中至少有一

个小于等于’.

4

【变式1】已知。、b、c都是正数，求证：(a+b)(b4-c)(c4-a)>Sabc

【变式2】已知工、y都是正数，求证：-^+->2o

考点03：利用绝对值不等式求最值

3.不等式|x—4|—|x+2|N。对XE/?恒成立，则实数。的取值范围是

【变式1】求|x—4|—|x+2|的最值

【变式2］不等式|1-2x|+|2x+l|va对xwR恒成立，则常数。的取值范围

是；

考点04：利用柯西不等式求最值

4.设2x+3y+5z=29,求函数y=+J5ZT6的最大值.

【变式1】求函数y=5/』+J10-2x的最大值.

【考点易错】

易错题型01比较两个数(式)的大小

1(1)(2022♦首都师范大学附属中学月考)设M=2a(a—2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N

的大小关系是()

A.M>NB.M>N

C.M<ND.MWN

小、什In3,In4In5.

(2)才7a=-7-,b=~~~,c=~-，贝mU()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

(3)en-/与e：n”的大小关系为.

【变式】

2

x，4xy

已知x>0,y>(),「，N=———,则M和N的大小关系为()

M=Fx-b/y5

A.M>NB.M<N

C.M=ND.以上都有可能

2。』i+1

(2)己知M=2<)i'iN=：gi，则M,N的大小关系为.

c十1e十1

易错题型02不等式的基本性质

2(1)(2022•新乡模拟)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是()

A.若a<b,c<d,则ac<bd

cd

B.若ab>0,be—ad>0,则—~<0

ab

C.若a>b,c>d,则a—d>b—c

ab

【）.若a>b,c>d>0,贝归”

dc

（2）（多选）/*。，则下列不等式正确的是（）

"a+bab

B.|a|+b>0

c1.1

C.a-->b—r

ab

D.Ina2>lnb~

【变式】（1）若2">2\则下列结论一定成立的是（）

?\.~>~B.m|m|>n|n|

mn

C.In（m-n）X）I）.Jin-n<]

（2）（多选）设b>a>0,cWR,则下列不等式中正确的是（）

A.d1<B.，>:

a+2、a

C.---D.ac\bc3

b+2b

易错题型03不等式性质的综合应用

3（1）已知一l<x<4,2<y<3,则x—y的取值范围是,3x+2y的取值范围是—

（2）己知3<a<8,4〈b<9,则2的取值范围是_______.

【变式】（1）已知a>b>c,2a+b+c=0,则2的取值范围是（）

a

A.-3<-<-l

a

cc

C.-2<-<-lD.

aa2

⑵已知0<P<a则a—B的取值范围是______

【巩固提升】

1、（2022届山东省泰安市高三上期末）已知。，仇c,d均为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,c>d,贝

cd

B.若ab>O,bc-ad>0,则----->0

ab

C.若a>b,c>d,则a—d>b—c

I）.若。>〃,。>">0,则3>2

dc

2、若给出下列不等式：0-33~<-7；②|a|+b>0：③©Ina:>ln

aba-rbabab

b?.其中正确的不等式是（）

A.0@B.②③C.①③D.②④

3.已知a1£（0,1）,a2e（0,1）,记M=a田/，N=a,4-a2-l,则M与N的大小关系是（）

A.M<NB.M>N

C.M=ND.不确定

4、（2022•邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（）

A.若aVbVO,则a2>b2B.若ab=4,则a+b24

...…、bb+m

C.右a>b,则ac7->bc-?D.若a>b>0,m>0,则一<-----

aa+m

5.（多选）已知c〈b〈a,且ac<O,那么下列不等式中，一定成立的是（）

A.ab>acB.c（b—a）>0

C.cb'<ab'D.ac（a—c）<0

6.（多选）有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a,b,c,d,c,f,己知

a+b+c=d+e+f,a+b+e>c+d+f,a+b+f<c+d+e,a+e<b.则下列判断正确的有

（）

A.b>c>fB.b>e>f

C.c>e>fD.b>e>c

7、（2021届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设6W0,则下

列不等式中恒成立的是（）

1111

222

-<-->->a>人

A.bB.8C.D.

。

。

8、（2022江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（）.

A.若a>b,则一>一

ba

B.若a>b>U,cvdvQ,则二<2

dc

C.若a>b>0,且cvO,则-7>—y

a-b-

D.若a>b,且,>,,RiJab<0

ab

9、设f（x）=a/+bx,若lWf（—DW2,2Wf⑴W4,则f（一2）的取值范围是

10、设ae（0,马,//0,-1,那么2a-2的取值范围是____________.

22」3

11、（2022•天津模拟）若a,B满足一一■，则2a一日的取值范围是（）

乙乙

A.—n<2a—{3<0B.—n<2a—3<n

3Jin

C.---<2a-3<-yD.0<2a-3<n

12.已知M=x2+y?+z2,N=2x+2y+2z-五，则MN_（填或“="）

13.已知非零实数a,b满足a>b,则下列结论正确的是______（填序号）.

0i<p②上反；③2"烟：@lna2>lnb2.

14.近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分

别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋,

家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优

忠).(在横线上填甲或乙即可)

15.(2021•浙江宁海中学月考)已知等比数列｛a”a2,a3,aj满足a金(0,1),a2e(l,2),

a3e(2,3),则a,的取值范围是________.

16.已知a+b>(),试比较5+与与'+J的大小.