高考数学考前复习模拟专练（六）

专练（六）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.[2019・贵州遵义模拟]若集合4={x|lWxvl5},B=同一IvlgxWl},则（）

A.Anb=[I,15]B.AU6=（*,15）

C.AGB=。D.AUB=R

答案：B

解析：A={A|KX<15},4={川一l<lgxWl}=X,

••・AnB={NlWxWlO},4U^=|x|]^<.r<15.故选B.

2+3i

2.[2019•辽宁鞍山一中模拟]在复平面内，复数手牙-所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：B

解析：设z=-^~,则z=—装+表i,所以复数-在复平面内所对应的点应位

3—412a2D3—41

于第二象限.故选B.

3.[2019•沏北黄冈调硝已知函数y（2x+l）的定义域为（-2,0）,则/（戈）的定义域为（）

A.（-2,0）B.（-4,0）

C.（一3,1）D.（一；,1）

答案：C

解析：:兀比+1）的定义域为（一2,0）,即一20（0,,.・-3v2x+lvl.・\/（x）的定义域为（一

3,l）.故选C.

4.[2019•河南濮阳检附若“〃?>/'是“函数/（X）=G>+〃L；的图象不过第三象限”的

必要不充分条件，则实数。能取的最大整数为（）

A.-2B.-1

C.0D.1

答案：B

297

解析：因为人0）=加十余且函数9的图象不过第三象限，所以加+含0,即〃?2一东

所以是',62的必要不充2分条件，所以。<一宗则实数。能取的最大整数为一

1.故选B.

5.[2019・贵州贵阳监测]如果在等差数列伍”}中，〃3+勿+。5=12,那么见+以+…+S

=（）

A.14B.21

C.28D.35

答案：C

解析：由题意得3oj=12,则。4=4,所以2T----卜47=（。1+的）+（。2+%）+（。3+的）

+〃4=7。4=28.故选C.

6.[2019•天津第一中学月考]如图,在梯形ABCD中,NABC=90°,AB=巾,BC=2,

点石为A8的中点，若丽在证上的投影为一则无・由）=（）

A.-2B.一；

C.0D.^2

答案：A

解析：通解•・•日）在正上的投影为一；，・••⑦在西上的投影为宗

a1-

VBC=2,••*及=2.又点£为48的中点，ACE=BE-BC=^BA-BC,

又丽=函+病=就+（正，N4BC=90。，

■,»—►I■»_3—►,»3—►_

・•・CEBD=WBA2—QBABC一加2=一2.故选A.

Zo4

优解以点8为坐标原点，5C所在直线为x轴，/弘所在直线为y轴建立平面直角坐标

系，则B(0,0),C(2,0),E(0,停)，，诙=（一2,孚）又而在反?上的投影为一；,・・・，1，同,

•••丽=g,啦），,无•丽=-2.故选A.

7.[2019•河北衡水七调]要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，示意如图所示，在

塔的同一侧选择C，。两个观测点，且在C,。两点测得塔顶4的仰角分别为45。，30。.在

水平面上测得N3C£）=120。，C,。两地相距600m,则铁塔A8的高度是（）

A.12MmB.480m

C.24（历mD.600m

答案：D

解析：设A8=xm,则BC=xm,BD=®m,在△BCO中，由余弦定理可知cos120。

I।

="=一解得，故铁塔八的高度为，故选・

2XDCXCD乙5,x=600B600mD

［开始）

/输出s/

［结束］

8.［2019・湖南师大附中模拟］庄子说：“一尺之桎，日取其半，万世不竭.”这句话描

述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数〃后，输出的

给,则输入的〃的值为（）

A.7

B.6

C.5

D.4

答案：C

解析：框图中首先给累加变量S赋值0,给循环变量左赋值1,

输入〃的值后，执行循环体，S=1,々=1+1=2.

若2>〃不成立，执行循环体，S=w，A=2+l=3.

若3>〃不成立，执行循环体，S=［,攵=3+1=4.

若4”不成立，执行循环体，S=1|,2=4+1=5.

若5>〃不成立，执行循环体，S=特31，A=5+l=6.

若6>〃不成立，执行循环体，S=震，-6+1=7.

由于输出的得，震），可得当S=11,々=6时，应该满足条件6>〃，所以5W〃<6,

故输入的正整数〃的值为5.故选C.

9.［2019-广东六校联考］在区间［一兀，兀］上随机取两个实数a,b,记向量〃2=（a,Ab）,

n=（4a,b）,则几?的概率为（）

A.I—1B.1-J

C.TD--

答案：B

解析：在区间［—兀，兀］上随机取两个实数a,b,则/m，））在如图所示的正方形上及其

内部.因为〃［•〃=4＜尸+4〃24兀2,所以/+匕22兀,满足条件的点（a,〃）在以原点为圆心，n

为半径的圆的外部（含边界），且在正方形内（含边界），如图中阴影部分所示，所以切〃247

的概率尸=写==1—去故选B.

4714

10.［2019•四川绵阳诊断］2018年9月24日，英国数学家M.F阿蒂亚爵士在“海德堡论

坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求

和,记S=l+东+*+•••+,+•••,则（）

A.1<S《43

3

C»<S<2D.S>2

答案：C

解析：因为〃（〃-1）＜〃：＜〃（〃+I）（/?^2且〃£N"）,所以所以+7^"?

・

+27X^3^------H〃—(〃-1)—=1+125+25-3QH------Fn—1r--n=2-nS>1+2ZXT73T+3TXT-4-----F

1i\=]+/_]+，％-----^"；一—^7=9一—当〃"*+8且时，7-*0,

〃(“+1)2334n〃十121〃十1八

3

所以卷＜S＜2.故选C.

11.［2019•河北六校联考］如图所示，以垂直于。。所在的平面，A8是。。的直径，PA

=A8=2,C是。。上的一点，E,“分别是点A在PC上的射影，当三棱锥尸一AE”

的体积最大时，PC与底面48c所成角的余弦值是（）

A坐B半

C芈D.；

答案：D

解析：因为以_L平面/WC,4CU平面/WC,所以出_L8C,

又ACLBC,4cAAP=A,故BC_L平面见C.

又A/u平面附C,故ARLBC,XAFIPC,BCnPC=C,故AFJ_平面P8C,

所以A/_LP8,AFYEF,又AE_LP8,所以尸8_L平面AEE

设//MC=6,则AC=2cos仇8c=2sin仇PC=y/4+4cos的,

PAXAC4cos。2cos0

在RtaBAC中，AF=

PC―d4+4cos2。—M1+cos2。'

AE=PE="EF=、AE^-AF:

=*XA/-(AF2-1)24-1W里,

当A尸=1时，取得最大值*,此时"=7.；：%=1,

解得cos夕=坐(负值舍去)，PC与底面48。所成的角为NPCA,

,__.AC2cos01,,_

cosZPCA=^=^—故选D.

22

12.[2019•天津市七校联考]已知直线2，1L)，+4A/5=O,经过椭圆，+方=的

左焦点Q,且与椭圆在第二象限的交点为M,与1y轴的交点为N,3是椭圆的右焦点，\MN\

=|MB|，则椭圆的方程为()

T2v2r2

A.可+『1B,j+?=1

。右+丁=1D：9+i=1

答案：D

解析：由题意知，直线26工一)，+4姬=0与x轴的交点为(-2,0),

又直线2，lt—y+4g=0过椭圆，+方=l(a»>0)的左焦点F),

所以尸】(一2,0),即c=2,直线24工一)，+4啦=0与椭圆在第二象限的交点为M,与

y轴的交点为M0,4^2),且|MN|=|MBI,

所以|MFI|+\MF2\=\F\N\=2。，

即4=叱知=:4(—2—())2+(0—4”产=3,又〃=/—02=9—4=5,

所以所求的椭圆的方程为5+5=1,故选D.

JJ

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在题中的横线上.)

13.[2019•山东烟台三中月考]已知方程.r2+3ar+3〃+I=0(〃>0)的两根分别为tana,tan

B，且a，夕£(冶，9，则a+£=.

答案：-华

解析：由已知得(ana+lan0=-3a,lanalan£=3a+I,/.tan(a+^)=1.

又a,.£(-5,3,lana+tan'=-3a<0,tanatan^=3a+1>0,

Alana<0,tan/?<0,:、a,蚱(一宗0),

.,・。+夕£(一兀，0),・，・a+/?=一苧.

3x+2y—6W0,

14.[2019•贵州遵义一中期中]已知实数x,y满足・I一3y-240,则z=|x-y+l|的

4x-y+3>0,

取值范围是.

答案：[0,3]

4.i-、+3=O

\I/-1=0

V

^rV

3r+2\W0

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x—.y+l=0,

因为z=氏一丁+11=啦X区■比则表示点（x，V）到直发x—y+1=0的距离的啦倍，所以

结合图象易知0WzW3.

15.［2019•湖南重点中学联考1《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为直角

三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知一个堑堵的底面积为6,其各面均与体

积为华的球相切，则该堑堵的表面枳为.

答案：36

解析：设球的半径为「，堑堵底面三角形的周长为,,由已知得r=1,・••堑堵的高为2.

贝加=6,1=12,J.表面枳5=12X2+6X2=36.

1也（一刀）1，工<0，

16.［2019•福建晋江四校期中］已知函数«x）=L/一、八若关于x的函数,，=

x*—6T+4,Q0,

/（工）一/a）+i有8个不同的零点，则实数b的取值范围是________.

答案：（2,手

|lg(—x)|,x<0,

解析：作出函数,”尸，的图象，如图所示.

/一6x+4,x20.

设凡v）=f,由图可知，，£（0,4］,人工）=，有4个根，，在（0,4］上，方程产一次+1=0

有2个不同的解，

Cb

0<^<4,

A=^2-4>0,解得2<力・¥

16—必+120,

<1>0,

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）［2019•安徽省示范高中联考］设数列｛m｝的前〃项和为Sn,且满足Sn=2-at„

n=\,2,3,….数列｛d｝满足bi=1,且仇+1=仇+小.

（1）求数列｛d｝的通项公式：

⑵设c“=〃（3一6），求数列｛&｝的前n项和Tn.

解析：（1）因为〃=1时，ai+Si=ai+m=2,所以0=1.

因为工=2一%，即知+5.=2,则4〃+I+S”+I=2,

两式相减，得知”一“〃+S”+i—S”=0,即斯+i—。〃+。”+1=0,所以2q〃+i=a〃.

易知所以7一N),

所以数列{斯}是首项为1,公比为;的等比数列，其通项公式为斯=(}＞「.

因为仇+1="〃+，“(〃=1,2,3,…)，所以瓦1+i—儿=(；＞一|,

由此得加一力1=1,孔一岳==仇一。3=(；＞,…，儿一儿1T=(；)”一2(〃=2,3,—).

将这(〃一1)个等式相加，得之一历=1+1+a2+…+@＞-2=岑=2-凯2

1-2

又为=1,所以儿=3一弓)[2(〃=2,3,•••)»

易知当n=1时也满足上式，

所以仇=3-e〉-2(〃wN).

(2)由(1)知，金=〃(3—儿)=2〃6＞r,则

〃臼⑤由乂⑤依乂⑤+…+(〃7)X

凯+〃啕叫①

L=2[O+2X&+3X®

+…+(〃-1)义

'+〃xQ}],②

①一②得，/=

楣继+加•+凯卜〃哦

=2x3f(分

1-2

■-前-2阳

=4-(4+2〃)&,

所以。=8—(8+4〃)住＞=8—(2+〃)(：＞-2.

18.(12分)[2019•郑州高中毕业年级第一次质量预测]

已知四棱锥产一48cZ)中，底面48C。为菱形，ZABC=60°,%_L平面4BCO,E,M

分别是BC,PO上的中点，直线EM与平面以。所成角的正弦值为娈，点尸在PC上移动.

(I)证明：无论点「在〃C上如何移动，都有平面从£f_1_平面外〃：

（2）求点尸恰为PC的中点时，二面角C-A/^—E的余弦值.

解析：（1）证明：连接AC,

•・•底面A4CQ为菱形，/ABC=60。,

•••△ABC是正三角形，

YE是BC的中点，：,AELBC,

又AO〃8C,：,AE1AD.

J_平面A8CO,AEU平面A8C£）,

：.PAA.AE,

又网HAQ=A,，AEJ_平面网7）,

又AEU平面AE尸，

，无论点尸在PC上如何移动，都有平面平面PAD.

(2)由(1)得4E,AD,AP两两垂直，分别以AE,AD,4P所在直线为x轴、y轴、z轴

爱立如图所示的空间直角坐标系A-»z,连接人”，

•・・AEJ_平面PAD,

・•・NAME就是EM与平面外。所成的角，

在RtZ\AME中，sinNAME=雪，

则tan/4ME=*,即羔=乎，

设A8=2a,则AE=，"a,得AM=&a,

又AZ)=A8=2a,设南=2》，则M(0,a,b),

AM=yja2-]-b2=y/2a,解得b=a,.\PA=AD=2a,

则A(0,0,0),bga,-a,0),C电a,a,0),D(0,2〃，0),

尸(0,0,2a),E他a,0,0),宏，，

・•・』(小a,0,0),能=(挈右J,

彷=（一小a,3d,0）,

设〃=a，y,z）是平面AE77的法向量,

、Qax=0,

“•4E=0,

ay,

叫\f3ar,n

[n-AF=04-7+«z=0,

取z=a,得〃=(0,—2a,a).

又3D_L平面ACK

・••丽=（一小a,3a,0）是平面AC尸的一个法向量,

2

.(赤、n-Sb-6aV15

•*COS〈〃，I3D)=-==£c质=一丁，

\n[\BD\'5。33a5

由图可知二面角C-A/7—E的平面角为锐角,

・•・二面角C—4/一E的余弦值为华.

19.（12分）12019•安徽省合肥市高三第三次质量检测保种大型医疗检肯机器生产商，对

一次性购买2台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：

方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维

修费2000元；

方案二：交纳延保金I000()元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取

维修费1000元.

某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为

此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：

维修次数0123

台数5102015

以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机

器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.

(1)求乂的分布列；

(2)以所需延保金及维修费用的期望为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

解析：(1)X所有可能的取值为0,I,2,3,4,5,6.

I|1

P(X=0)=而><而=而，

P(X=1)=±xgx2==,

P(X=2)=|x|+|x^X2=^,

尸—3)=导32+9|><24,

22317

p(X=4)=5X?+^X5X2=25,

2(乂=5)=|><^乂2=今

339

「a=6)=球而=而，

所以X的分布列为

X0123456

11311769

ro

1002525502525100

(2)选择延保方案一，所需费用H(单位：元)的分布列为

Y\70009000110001300015000

1711769

P10050252510()

所以可=笈乂7001)+义义9000+4乂11000+?X13000+葛X15000=10720.

1UUDUZ3ZJ1UU

选择延保方案二，所需费用力(单位：元)的分布列为

100001100012000

Y2

6769

PToo25loo

所以EF2=^X100004-^X11000+焉X12000=10420.

因为EYi>EY2f

所以该医院选择延保方案二较合算.

20.(12分)[2019・湖北重点高中联考协作体期中]已知动圆C过定点尸2(1，0),并且内切

于定圆尸I：(X+1)2+，=12.

(I)求动圆圆心。的轨迹方程.

(2)若曲线)?=以上存在M,N两点，(1)中曲线上有P,Q两点，并且M,N,B三点

共线，P,Q,B三点共线，PQtMN,求四边形尸MQN的面积的最小值.

解析：⑴设动圆的半径为「，则|CBI=r，|CQI=2小-r,

所以|CQ|十|CF2|=2A/3>|FIF2\,

由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以Q,尸2为焦点的椭圆，

且长半轴长〃=小，半焦距c=l,所以短半轴长〃=也，

所以动圆圆心C的轨迹方程是3+9=1.

(2)当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0,

易得|MN1=4,|PQ|=2/，四边形PMQN的面积S=45.

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为丁=&(4-1)伏W0),

y=k（x-I）,

联立方程得,消去y,得榜一（2&2+4比+d=0,

y=4x,

设M（X[,>'|）,M%2，.V2），则％1+工2=++2,X\X2=\,

+4+2）2_4=5+4.

|MN1Jc

因为PQJ_MN,所以直线尸Q的方程为)，=—7(%—1),

尸T（L1），

由,,得QR+BXr2—6x+3-6&2=（）.

3—6公

设P(X3,”)，。(必，为)，则X3+*4=，34=云干'IPQI=

3—6乒4板/+1）

-4X2^+3=2产+3,

（标+）（标+）

则四边形PMQN的面积S=1M/VHPQ=*G+4）451_8#12

''2F+3=S（2标+3）.

8s/8小8s

令F+l=f,r>l,则5=(I)⑵+厂+”令分

因为>1,所以0$<1，易知一(1十9+孤取值范围是(。，2),所以5>孥=44.

综上可得S24小，故S的最小值为4小.

x—1

21.(12分)[2019・银川一中高三第一次模拟考试]已知函数-21nx)+~^一,c£R.

⑴讨论7U)的单调性；

⑵若7U)有两个零点，求实数〃的取值范围.

解析：(1求X)的定义域为(0,+8),

f（x）=a（T2-x（x-2）（ar-l）

(1)当4・0时，加一1〈0恒成立，

xe(0,2)时,f(x)X),兀0在(0,2)上单调递增；

x£(2,+8)时，f(x)<0,危)在(2,+8)上单调递减;

(竹)当4>0时，由/(X)=0得，X|=2,工2=古，X3=一古(舍去)，

①当.11=12,即。=:时，/(x)2()恒成立，人外在(0,+8)上单调递增;

②当X|>X2，即时，xe(2,+8)时,

f(x)〉0恒成立，Ax),(2,+8)上单调递增;

，2)时，，(x)<0恒成立，7U)在念，2)上单调递臧;

©,+8)或xe(0,2)时，/(x)>0恒成立,7U)在(0,

③当.1]<A-2,即0<4<1时，

2),(古，+8)上单调递增；

,/a)〈o恒成立，yu)在(2,盅上单调递减;

综上，当时，人》的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+8)；

当。=〃时，凡v)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间：

当时，<x)的单调递增区间为(0,意，(2,+8),单调递减区间为©,2)；

当0<〃<1时，八x)的单调递增区间为(0,2),(古，+8),单调递减区间为(2,右].

(2)由(1)知，当。<0时，.人工)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+-)/

又因为J(l)=a〈O,

取=max一]，51，令/(x)=x_21nx,力(x)=；，

A*Ov•J人

则/'(力=1-1>。在(2,+8)上成立，

故/(x)=x-21nx单调递增，力(必)25—2小5=1+2(2—In5)>1,

以。尸抬。一2m向+?*+?亲-触

(注：此处若写“当厂>+8时，人©——8”也给分)

所以7U)有两个零点等价于式2)=4(2—21n2)+1>。，

得一段记

所以一昌

当。=0时，凡¥)=三人只有一个零点，不符合题意；

当。=(时，儿T)在(0,+8)上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意;

当a>0且aH；时，7(工)有两个极值，

fi2)=a(2-2\n2)+1>0,^^=2yfci+a\na-a,

记g(x)=2\[x-