一次函数与面积（培优练习）-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第27讲一次函数与面积

板块一面积(一)割补法

典例精讲

【例】如图，直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,C为第一象限内一点，且点C的横坐标为2.若

SAABC=7,求直线0C的解析式.

实战演练

1.如图.直线AB与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,OA=OB=2,C(m,-2m)为第四象限内一点.若

SABC=^彳0小求直线BC的解析式*

2.如图，直线.AB.y--；人-2与x油交丁点A,与y轴交丁点B,点C(l,m)在第一象限.若StABC-I1,求m的

值.

板块二面积(二)铅垂法

【例】如图,直线片-;"2与x轴交于点A,与y轴交于点B,C为直线y=x-l上的一动点,若S&ABC=3,求点

C的坐标.

实战演练

如图,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,P为直线y=-x+2上的一动点.若SAPAB=5.求点P的坐

标.

板块三面积（三）至引法

【例】如图，直线尸-)+2与x轴交于点A,与y轴交于点B.已知点C(l,-2)点P在x轴上，且SAPAB=S

△ABC.求点P的坐标.

实战演练

1.如图，点A(-2,0),B(0,4),C(5,3),在y轴的负半轴上是否存在点P使PAB=SAABC喏存在，求点P的坐标；若

不存在,说明理由.

2.如图.在平面直角坐标系中，点A(-2,0),B(l,4).

⑴求直线AB的解析式；

(2)已知点C(m2m)在直线AB的下方.△ABC的面积为10.求皿的值.

板块四面积(四)面积转化

题型①面积比T底的比

［例1］如图点A(-4,0),B(2,6),Pi2m-1,m),PQ//OB交AB于点Q.若S080=2SaOPQ,求点P的坐标.

题型②面积比一高的比

【例2】如图，直线.y=x+6与x轴交于点A.与y轴交于点B,点C(2,0),P为直线BC上一点.若S尸龄求

点P的坐标.

实战演练

题型③等积转化

1.如图.直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C(5,3),直线BD:y=-4x+b与x轴交于点D,点P在直

线BD上且位于第四象限.若SAPAB=SAABC，求点P的坐标.

题型④和差转化

2.如图，直线y=-x+4与x轴交于点A.与y轴交于点B.点C(6.0),过点C的直线与线段AB交于点P,与y轴交

3.如图,直线厂9+4交x轴于点A,交y轴于点B,直线y=kx-2k交x轴于点C,交y轴正半轴于点D,交

直线AB于点E.

(1球AC的长;

(2)若SDOC=^l求点E的坐标；

⑶直线产交直线CD于点F,当SACF=S"O时，求k的值

板块一面积(一)割补法

典例精讲

【例】解:在y=2x+4中，令x=0,得y=4,令得2x+4=0,解得x=-2，，点A(-2,0),B(0,4).设点C(2,m).VSAABC

=SAAOB+S\COB-Sjod,

匚gx2x4+£2x4-gx2xm=7,解得m=l,・••点C(2.l).设直线OC:y=kx,将点C(2,l)代入，得2Q1,匚Q；,

・•・直线OC的解析式为尸打

实战演练

1.解:连接OC「.，OA=OB=2,

匚SAOR=\OAOB

=£2乂2=2,

二S/sc=gsAOB=\X2=5.

匚SABC=S「AOB+Sdx+S[8OC=5,点C(m,-2m),

2+；x2x2m+；x2x〃?=5,解得m=l,

・••点C(l,・2).又・・・B(0,2),

，直线BC的解析式为y=4x+2.

2.解:过点B作EFJ_y轴过点A,C分别作EF的垂线，垂足为E,F.

由y=~\x-2,

可得A(-4,0),B(0,-2),

S/48C=S四边形4炉c—Sc»8E-S「8Cr

=：(2+,〃+2)x5-；x

2*4-；(〃?+2)=11,

解得m=3.

板块二面积(二)铅垂法

典例精讲

【例】解:过点C作CD〃y轴.交直线AB于点D.设点C(m,m-1),

则点D

ECD=Z/n-l-(-^W+2)n

=匚/-3.

由尸-3+2,可得点A(4,0),，OA=4,

csABC=\CDOA

-^Djw-3Dx4

=3,

解得m=3或1,；・m-1=2或0,

・••点C的坐标为(3⑵或(1,0).

实战演练

解过点P作PQ〃y轴,交直线AB于点Q.设点P(m,-m+2),则点Q(m,2m+4).由y=2x+4,可得点A(-2,0),点B

(0,4),.\OA=2.

匚S.B=gPQO/=5QPQ=5.

VPQ=|(2m+4)-(-m+2)|

=|3m+2|,

・・・|3m+2|=5,解得m=l或总

・••点P的坐标为(1,1)或(-??).

板块三面积(三库引法

典例精讲

【例】解:①当点P在点A的左侧时「「SaPAB=SAABC,・・・PC〃AB.设直线PC的解析式为片-9+b,则

-2=-；xi+〃,解得□产此时P(-3,0);

②当点P在点A的右侧时，由①，得S"48=SABC="POB=7,

・・・PA=7,此时P(ll,0),

・••点P的坐标为(30)或(110).

实战演练

1解：法一：由SAPAB=SAABC,可得PC〃AB易求AB的解析式为y=2x+4,设PC的解析式为y=2x+b.将

C(5,3)代入其中得b=-7,・・・P(0,-7).

法二:可先求出SAABC=I1,

/.BP=ll,r.OP=7,AP(0,-7).

2解:⑴设直线AB的解析式为严kx+b.・・・A(-2,0),B(l,4),

—2k+b=Q匚，4

'解得｛口L尸尸+.丁8

k+b=4,8

fb=3.

(2衽x轴上取点M(3,0),

VA(-2,0).B(l,4),

•••△ABM的面积为1().过点M作直线1〃AB,设/:》=%+〃,

/.4+n=0,

L/i=-4,/:y=-x-4.

:△ABC的面积为10,

.•・C(m,2-m)在直线1上,

板块四面积(四)面积转化

典例精讲

【例1】解:取OB的中点M(l,3),连接PM.

PQ〃OB.SAOBQ=2SAOPQ,

/.OB=2PQ..\BM=PQ.

又,.,BM〃PQ.

，四边形PQBM为平行四边形，

工PM〃AB.由点A(-4.0),B(2.

6).可得直线AB:y=x+4,

kpM=k/iB=l，

设直线PM:y=x+b,

将点\1(1.3)代入彳导5=2.

・•・直线PM:y=x+2,

将点P(2m-l,m)代入.

得2m-1+2=m.解得m=-l,

工点P(-3,-l).

【例2】解:・；y=x+6,

:.当x=0时,y=6,/.B(0,6).

又,1(2,0),

・••可得直线BC:y=-3x+6.

①当点P在x轴上方时，

S/，C=；SPAB>

SPAC=：SABCI

可得力三力三花二二

代入y=-3x+6,得Xp=g,

呜2)；

②当点P在X轴下方时，可得SPAC=S%=-6.止匕时点P(4,-6).综上所述点P的坐标为(，2)或(4,-

6).

实战演练

1.解:过点C作CP//AB.交直线BD于点P,则SAPAB=SAABC.

VCP//AB,/.kcp=kAB=2,设直线CP:y=2x+m,

将点C(5,3)代入，解得m=-7,

，CP:y=2x-7.由y=2x+4,可得点B(0,4).代入y=4x+h得b=4,，直线BD:y=-4x+4.联立匕支,可得点P

D

2解:由y=・x+4,可得A(4,0),B(0,4),A0A=0B=4.

■:SAPBD—SAPAC=2,

(SAPBD+5脸形OAPD)—(SAPAC+5四边形OAPD)=2,即SAAOB-SACOD=2,UX4X4-1X6X(7£>=2,

・•・0D=2,2D(0,2).又VC(6,0),

・二直线CL:尸一;x+2.

y=r+4,

联立｛尸.；/2,可得PG』'

3解:(1)AC=5;

(2)VSADOC=SABDE,

ASAACE=SAAOB=6,

介=6,解得