北师大版高中数学选择性必修第二册 函数的极值【作业原卷+答案】

02

6.2函数的极值

A级必备知识基础练

1.［探究点三］（多选题）设函数/U）=sin（2x+W）,则下列结论正确的是（）

A.），=/㈤的图象关于直线x空对称

Bj=/U）的图象关于点（4,0）中心对称

C©在区间（*,空）有两个极值点

D於）在区间（0噌）内单调递减

2」探究点二］若函数力（）=丁-3依+伏〃>0）的极大值为6.极小值为2,则_/U）的单调递减区间为（）

A.（-1,D

B.（-x,-l）

C.（l,+8）

口.（-8,-1）和（1,+8）

3.［探究点二］函数段）=/-加以+〃2在尸］处有极值10,则a,b的值为（）

A.a=3力=・3或67=-4,Z?=l1

B.a=-4,Z?=2或a=-4,h=\1

C.a=-4,b=\\

D.以上都不对

4.［探究点一（角度1）］（多选题）已知函数於）=2e'g的极值点为即,则（）

A.x0£（-2,-l）B.w£（0,2）

C.^o）G（-l,0）D.y（xo）e（l,1）

5.［探究点二］（多选题）已知函数儿0=/0¥2-/¥+3在jI处取得极大值，则。=（）

A.3B.lC.-3D.-1

6.［探究点一（角度1）］函数在其极值点处的切线方程为.

7.［探究点一（角度1）］设函数儿:尸sinx-cosx+x+1,0令<2兀,则函数./U）的极大值为，极小值

为.

8」探究点二］若函数/UAaDXf+c）在尸2处有极值，则函数.4）的图象在尸1处的切线的斜率

为•

9.［探究点一（角度2）］已知函数/U）=3+x+1,求函数於）的极值.

B级关键能力提升练

10.设函数«r）在R上可导，其导函数为八。且函数）=（1㈤/0）的图象如图所示,则下列结论中一定成

立的是（）

-2\^/】

A.函数/U）有极大值12）和极小值7（1）

B.函数7U）有极大值尺2）和极小值川）

C.函数力r）有极大值92）和极小值1-2）

D.函数次外有极大值1-2）和极小值火2）

11.若函数应。=/4+々111工有唯一的极值点，则实数a的取值范围为（）

A.（-cc,0）B.（-8,（））U{2}

C.（-oc,01D.（-oo,0］U{2}

12.（多选题）已知函数7U）=V5sinx-cosx,则下列说法正确的是］）

A：心）的图象关于点像,0）中心对称

B._/U）在区间上单调递减

C7U）在（0,2兀）内有且仅有2个极小值点

D：/U）的图象关于直线工=?对称

13.（多选题）函数/）的定义域为R,它的导函数产f（x）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是

（）

A加2)共1)

B.x=l是7U)的极小值点

c.函数於)在(-1,1)内有极大值

D.x=-3是_/u)的极大值点

14.(多选题)如图是函数y=ya)的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是()

AJU)在(-2,-1)内是单调递增函数

B：/U)在(2,4)内是单调递减函数

C.当x二・l时《幻取得极小值

D.当x=l时次x)取得极大值

15.(2024北京海淀校级月考1已知函数次-1

(1)当a=0时力冷的极值点个数为；

⑵若./U)恰有两个极值点，则a的取值范围是.

16.函数/U)=lnx+ar-(2«+1)x,其中〃>0.

(1)3。=1时,求函数段)的单调区间;

⑵求函数"T)的极值.

C级学科素养创新练

17.已知函数外）=工+4（2©）+2（。£R）.

⑴若函数危）在x=0处的切线与直线x+），-l=0平行,求实数a的值;

（2）若函数,人工）的极大值不小于3凡求实数a的取值范围.

参考答案

6.2函数的极值

1ABC对AJ借）=sin（2x工+力s樽=-l,A正确；

对B,q）=sin|2x（-]）+々卜sin0=0,B正确；

对C,当丑哈,明时,S+卓图争）,

由正弦函数产sint的性质和图象可知y=y（x）有2个极值点，

由2x+^=*解得工=白2丫+2=解得x丹,即入二段和x考为函数的极值点C正确；

对D,当回0用时，心+舞修，卓

由正弦函数的性质知当/£（对）时,y=sin/单调递增，当/年）时，.尸sin，单调递减,

所以闫U）在（0,招）上不单调,D错误.

故选ABC.

2.A令人1）二3/-3。=0,得产土VH,

令人幻＞0,得或x＜-y[a\

令/V）＜0,得

即凡1）在x=处取极大值，在x二伤处取极小值.

:函数/U）=P3ax+仇。＞0）的极大值为6,极小值为返）=2次-伞）=6,

即ayja-3ayja+b=2且-s/H+3WH+b=6,

得a=1力=4,.*./（X）=3X2-3.

由八幻＜0,得

则兀0的单调递减区间为（/1）.故选A.

3.C/（x）=3x2-2av-Z＞,

则f（l）=3-2a-〃=O,①

y（l）=l-a-/?+a2=10,②

由①②可得｛£：3产｛；：曲

经检验，当。=3/=-3时/（x）=3（x・l息0,无极值点，当。=・4力=11时，满足题意,・"=・4力=11.

4.AD对于A选项，由已知可得/（幻=2吗，

令/(x)=0,则xo=-ln4,

当1<-皿4时/(幻<0,所以人幻在(-00,-1|14)内单调递减，

当x>-ln4时/(x)>0,所以人力在(-In4,+00)内单调递增，

所以次幻在x=-\n4时，有极小值，且x0=-ln4仁(・2,-1),故A选项正确；

对于B选项，由A知xo=-ln4E(-2,-l),故B选项错误；

对于C选项，因为大项)=2/。一)0二女1/0),-2<项〈-1,所以1<-Xo<2,所以1<*m)<*即加o)£

(1[),故C选项错误；

对于D选项，由C知./(Xo)w(l,|),故D选项正确.

故选AD.

5.AD因为凡¥)二『-加-44+3,

故.「(x)=3f-2〃x-/,

由函数正好三/辛小比什？在A=-1处取得极大值，可得八-l)=3+2〃-"=o,解得。=3或a=-l,

当a=3时/(x)=3f-6x-9=3(x-3)(x+l),

此时当x£(-8,-l)时/。)>0,当工£(-1,3)时/(1)<0,

则函数危)二.上加・小+3在A=-1处取得极大值，符合题意；

当a=-\时/a)=3f+2x-l=(3x-l)a+D,

此时当不£(-8,-1)时/(#>0,当时/(x)<0,

则函数段)=9-加-比叶3在A=-1处取得极大值，符合题意,s攵a=3或。=-1,故选AD.

6.)，=?令y-e'+xev=(1+x)e'=O,

得x=-l,.*.>'=-p

・•・在极值点处的切线方程为y=--.

7e

7.71+2期因为./U)=sinx-cosx+x+1,0<x<2兀，所以f(x)=1+V2sinQ+£),0<i<2兀，所以由/(x)=0,

4•

得sinQ+J=弓,且。<犬<2兀,所以x=n或手

7U)/(x)随x的变化情况如下表：

(兀岑)3兀(关2兀)

(O.n)K

~2

r(.v)+0-0+

极大值

心)/X极小位生/

兀+22

由上表知<x)的极大值为兀+2,极小值为»~.

8.5•••函数/(X)-(42)(一+C)，在x-2处有极值，且八刈一(/+C)+2¥(X-2),/./(2)-0,

，(c+4)+(2-2)x4=0,・・・c=-4,

f(x)=(f-4)+2x(x-2).

・•・函数7U)的图象在x=i处的切线的斜率为

/(l)=(l-4)+(l-2)x2=-5.

9.解危)吟+.计1的定义域为R/(x)=1-^-=g.

①当a<0时/(x)>(VW在R上为增函数,/U)无极值.

②当«>0时，令八1)=(),得cx=a^=\na.

当x£(-8,lna)时/(x)<0;

当x£(ln。,+8)时,(%)>0,

在(-8,ln4)内单调递减，在(In。,+8)内单调递增<x)在x=lna取得极小值，极小值为川n

a)=\na+2,无极大值.

综上所述，当a<0时,/(用无极值;当a>0时,/U)有极小值Ina+2,无极大值.

10.D由函数的图象可知了(⑵巾』⑵=。,并且当xV-2时/(©>();

当-2vx<l时〃x)<0;当1<工<2时/(x)vO;

当x>2时故函数人1)有极大值贡-2)和极小值人2).

ll.CJU)的定义域为(0,+oo)/(x)=2x-4+：=2/；”+。,若府)有唯一的极值点,则令g(x)=22

4x+a,g(x)图象的对称轴为x=l,「.g(O)WO,解得(£0.故选C.

12.ADy(x)=V3sinx-cosx=2sin(x-J

当不3时40=0,故ZU)的图象关于点管,0)中心对称,A正确；

当工斗与局时［-gW］则©=2sin(%f在・］用上不单调,B错误;

当x£(0,2兀)时时E(三詈)，则.")只有在x3=:处取得极小值，故在(0,2兀)内有且仅有I个极

小值点,C错误；

当时居0=2sin得-%2,所以危)的图象关于直线尸g对称,D正确.故选AD.

13.AD由尸可。，)的图象可知，当工(=(-8,-3)时/(入>0,所以函数/(工)单调递增；

当x£(・3「l)时/(x)<0,所以函数於)单调递减,因此有是段)的极大值点，所以选

项A,D正确；

当x£(-l,l)或工£(1,+8)时//)>0,所以函数危)单调递增，因此函数於)在(-1,1)内没有极大值，且

x=\不是人¥)的极小值点，所以选项B,C不正确，故选AD.

14.BC从导函数图象可以看出函数/U)在(-2,-1),(2,4)内为单调递减函数；

«r)在(-1,2),(4,5)内为单调递增函数，故A错误,B正确在x=-l处取得极小值次处在％=2处取

得极大值,C正确,D错误.故选BC.

15.(1)2(2)(-i,2)对于(l).a=OB寸，显然x=0是於)的极大值点，此时川)=0,而工>1

时,y=1>0,x=1是fix)的极小值点，故有两个极值点、.

对于(2),首先必须保证)=-『+以+1在处取到极值点，则满足卜1,即a<2,

此时段)在弓,1)内单调递减,需保证x=1是极小值点.

当”0时，只需3。+1>。,解得t<。<0;

当a=0时，由(1)知符合题意；

当a>0时，需3。+1汝，解得a>0.

综上，要使原函数有两个极值点，需「1I即/<〃<2,故二,2).

(CI>L\LJ

16.解⑴当4=1时4r)=lnx+f-3x,定义域为(0,+oo),则/(x)=^+243=生邛三2由/(1)>0,解得

0<r<1^.r>l,vb/(x)<0,解得上工<1,所以函数的单调递增区间为(03),(1,+00);单调递减区间

为(R

(2)函数/x)=lnx+ax1-(2a+1比定义域为(0,+oo),

则f(x)=^+2ax-(2a+])=(f-

令人x)=0,解得闲=1混当

户/取得极大值，为在x=l取得极小值，为川)=-a-l;

②当