乘法公式（第2课时）教案-2024苏科版七年级数学下册

第八章整式乘法

8.4乘法公式

第2课时平方差公式

一、教材分析

本节课是苏科版初中数学七年级下册第八章第四节第二课时.从知识体系上看，本节内容属于

数与代数体系之下.上一课进行了完全平方公式的探索,提供乘法公式探索的经验和路径基础,而本

节课所学平方差公式在教材后续因式分解、分式运算及其它代数式的变形相关内容中都有着举足轻

重的地位,是构建学生代数知识结构，培养学生的化归的数学思想和换元的数学方法的重要载体,在

教材中起着承上启下的作用.

在本课时中，教材主要分为探究活动、讨论环节、平方差公式的基础运用及简便运算中的运用

四个部分，适合学生进行探究式学习，在探究及讨论中感受数形结合的思想，培养符号意识和运算

能力.在教学中鼓励学生积极参与教材中的活动，自主进行代数证明、概括等活动.在例题教学中补

充适量变式练习及小结概括.

二、学情分析

学生在学习本节课之前，已具备一定的知识基础和学习能力.学生已经掌握了单项式乘以单项

式、单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算法则，具备了一定的计算能力和数学思维能

力，并在《完全平方公式》中进行过类似的探索，已掌握通过探索图形及代数推理猜想、证明乘法公

式的能力.该年龄阶段学生个性活泼、思维活跃，已初步具有对熟悉问题进行合作探究的能刀.在思

维能力方面，能较好地利用数形结合的思想解决一些数方面具有一定抽象思维的问题.

但同时，局限于抽象思维的发展尚未成熟，学生在学习过程中可能会出现对公式结构恃征理解

不透彻，导致在应用时出现错误的情况.因此，在教学过程中，要注重让学生通过实例来感受公式

的合理性和实用性，加深对公式的理解和记忆.另外，对于公式的推导和应用，学生可能会存在一

定的困难，需要教师引导学生通过观察、比较、归纳等方法来理解和掌握。

三、教学目标

i.能推导平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并能利用平方差公式进行简单计算.

2.经历探索平方差公式的过程，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.

3.掌握公式的形式特征，会识别算式的结构，能灵活运用平方差公式解决较复杂的问题.

四、教学重难点

重点：能推导平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并能利用平方差公式进行简单计算.

难点：掌握平方差公式的形式特征，能灵活运用平方差公式解决较复杂的问题.

五、教学过程

■情境导入

从前有一个地主,他把一块长为。米的正方形的土地租给张大爷种植,有一天，他对张大爷说:

“我把这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你，你也没有吃亏,你看如何？”

问题：同学们，你们认为张大爷应该接受吗？

答：不应该，因为地主给张大爷地变少「

问题：谁能向张大爷解释清楚原因？

答：方法I：张大爷原来他的面积是标平方米，现在变成了3+5）仅一5）平方米，

3+5）3—5）二/-5a+5〃-25二/一25（平方米）.因为a2-25<a2,所以现在的地比张大爷原来的

地小.追问：还可以怎么解释呢？（课件出示演示动画）

H-°—H七—3年与

J

J

答：现在的地没有原来的大.

师生活动：教师展示情境，学生齐答，独立思考，举手回答.

设计意图：在实际背景中创设情境，激发学生的学生兴趣，培养学生的数学表达能力.出现平方

差公式的形式，引发学生思考，逆向使用新授中图形，帮助学生后续联想.

■探究新知

活动一：探究平方差公式

问题：如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为〃S<0的小正方形,计算剩余部分的

面积.

答：剩余部分的面积为万一户.

问题：如图，将剩余部分剪开拼成一个长方形，计算这个长方形的面积.

答：这个长方形的面积3+力3—〃).

问题：由上述操作，你能得到怎样的等式?

答:(4+〃)(〃—b)-u1—

问题：你还有其他方法计算剩余部分的面积吗?

答：如图，分成两个梯形,再进行拼合,

a

(2o4-2A)(fl-A),小,rA»f/>

---；---={a+b){a-b)=a--b~.

师生活动：学生独立思考，举手回答，教师板书.

设计意图：本环节通过等面积法得出平方差公式，并借助图形的直观，帮助学生感知、理解公

式，为后续通过代数证明推导公式提供认识基础.同时，在教学过程中渗透数形结合的思想，为学

生解决同类问题提供方法和路径.

活动二：证明平方差公式

问题：你能用代数的方式证明3+切3一切=,一序吗？

答：(a+b)(a~b)=cr-ab^ab—b2=a2~b2.

师追问：谁能用文字语言描述s+〃)m一8尸炉一〃呢？

答：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.

师总结：平方差公式：(。+加3-〃)=/一/

用语言叙述为：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.

讨论：平方差公式有什么特点？

相反项

&：+b)^a.—b)=cr—b'.

相同项

师小结：1.等号左边是两个二项式的积，且在两个二项式中有一项为相同项,另一项2与一

b)互为相反项；2.等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.

完全平方公式、平方差公式通常叫作乘法公式..

师生活动：学生独立思考，举手回答，教师归纳总结.

设计意图：本环节以问题为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识，让学生进一步

理解“探索发现一归纳验证一应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法.多鼓励学生用自己的语

言大胆表达自己的意见，培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用教学思维思考，用数学的语

言表达.

■应用新知

例1用平方差公式计算：

(1)(5x+y)(5%—y)；(2)(2n+m)(—in+In)；(3)(3y—x)(—x—3y).

答：(1)(5x+y)(5x—y)

=(5x)2—>2

=25X2-/；

(2)(2〃+"D(—〃?+2/?)

=(2〃+〃?)(2〃一加)

-(2〃)2一62

=4/一.

师提示：只要把5x看作平方差公式中的a,把〉，看作。，把(2)中的2〃看作平方差公式中的

G机看作b,就都可以用平方差公式进行计算.

(3)(3y-.r)(—X-3y)

=(-x+3.y)(-x-3y)

=(_x>_(3y)2

=^-9/；

师总结：1.公式中的〃与。可以是数也可以是单项式、多项式.

2.正确判断哪个数为哪个数为。(与位置、自身性质符号无关，两因式中的两对数是否

有一个数完全相同,而另一个数是相反数).(同平方一异平方)

师生活动：学生独立思考，然后指定学生板演示范.

设计意图：通过例题讲解，进一步观察式子两边的特点，帮助学生明确哪一个是公式中的“心，

哪一个是公式中的“6”，进一步体会平方差中4,人的含义，引导学生意识到应用公式的关键是找出

相等的“项”和符号相反的“项”，帮助学生灵活掌握的转变.

例2用平方差公式计算：301x299.

变式用简便方法计算：20^x1*.

答：例2301x299

=(300+1)x(300-1)

=3002-12

=90000-1

=89999,

变式20^x19^

=(20+椒20-3

=202-铲

=400-

师生活动：教师板演示范，学生模仿.

设计意图：让学生感受平方差公式对减少运算量的帮助，提升学生计算能力及灵活运用平方差

公式的能力，感受数学简洁之美.通过变式训练及讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思

考的习惯.

■课堂练习

1.卜面的计算是否正确？如有错误，请改正.

(l)(x+2)(x—2)=^r—2;

(2)(]+)，)()，一工)二/一)三

2.计算：

(1)(I+x)(l—x)；(2)(d+4/?)(a—4/7)；

(3)(3+a)(3—a)；(4)(夕一2y)(一夕一2y).

3.填空：

(I)。+一)(工一一)=A2-25;

(2)(〃?+___)(m一__)=〃?2—36〃2；

⑶(〃+2b)()=4Z>2—tr;

(4)()(1-x2)^4-I.

答：1.错，(x+2)(x-2)=r-4;错，a+y)0-x)=(y+x)(y-x)=)，2—d

2.(1)(l+x)(l—x)

=12-^

=1T；

(2)(。十4》)(。一4。)

=a2~(4b)2

=cr-16Z>2；

(3)(3+a)(3—〃)

=32—，

=9一/；

(4)(^x-2y)(—^x—2y)

=*)2-(2y)2

=广

3.5,5；6n,6/z：2b——1—.v2.

■限时训练

I.用简便方法计算：

(1)852-152；(2)20242-2023x2025.

2.若f一,，=8,y-x=4,求x+y.

3.计算：(2—1)x(2+1)x(2?+1)x(24+1)x(28+l)x...x(2,024+1).

答：1.(1)852-152

=(85+15)x(85-15)

=100x70

=70()0；

(2)20242-2023X2025

=20242-(2024-1)X(2024+1)

=20242-(20242-12)

=20242-20242+l

=1.

2.解：因为a+y)(x—y)=«一9,且x2-/=8,y-x=4,所以(x+y)x(-4)=8,x+y=-2.

3.解：(2-|)X(24-l)X(22+l)X(24+l)X(28+l)X…X(2,024+l)

=(22-l)X(22+l)X(24+l)X(28+l)X…X(2,024+l)

=(241)X(24I1)X(2'I1)X…X(21024I1)

=(2I024-1)X(2,024+1)

二(2叨Ay

=22048-l.

师生活动：学生独立完成，指定学生何答.

设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.

■归纳总结

“万可表示f故

3

(rr>6Xa-8尸a-也可表示一个整式.

公式

两15M与这两或差的积等于这两畋的平方差.

一项完全相同

平方差公式等号左边：两个二项式的枳

特征一项互为相反敏