概率（九大考点）-2026中考数学总复习考点突破（解析版）

专题02概率（九大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习-考点强化讲与练

（1）必然事件•：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.

（2）不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.

（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.

（二）概率的概念及其公式

（1）概率的概念及公式

①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数.公式：P（A）=与（〃?表示试验中事件A出现的次数，

〃表示所有等可能出现的结果的次数）.

②用频率可以估计概率：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率器会稳定在某个常数附近，那么事件A发生

的概率P（A）=M

③事件的类型及其概率

事件类型概率

确定性事件（必然、不可能）1或。

必然事件1

不可能事件0

随机事件（不确定事件）0VPV1

（2）随机事件的概率计算：①列举法；②列表法；③树状图

典例1：

第1页

1.诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富.请指出所给诗词描述的事

件属于随机事件的足(〉

A.锄禾日当午，汗滴禾下士B.春眠不觉晓，处处闻啼鸟

C.白日依山尽，黄河入海流D.离离原上草，一岁一枯荣

【答案】B

【变式1】

2.下列事件中、属于不可能事件的是(

A.打开电视机、正在直接足球比赛

B.在只装有2个玻璃球球的袋中摸出一个球是黑球

C.掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7

D.当室外温度低于0。(：时，一碗清水在室外会结冰

【答案】C

【变式2】

3.将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上.

①守株待兔；②水中捞月：③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝匕④任意画一个三角形，其内角

和为180。；⑤若|x|=3,则x=3：⑥从1,3,5中任选一个数，这个数是奇数.

(1)其中是必然事件的有;

(2)其中是随机事件的有;

(3)其中是确定事件的有.

【答案】(1)④⑥

(2)①③⑤

<3)②④⑥

【变式3】

4.将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上.

①守株待兔；

②水中捞月；

③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；

④任意画一个三角形，其内角和为180°；

⑤若|为|=3,则x=3；

⑥从1,3,5中任选一个数，这个数是奇数.

(1)其中是必然事件的有;

(2)其中是随机事件的有;

第2页

（3）其中是确定事件的有

【答案】（1）④⑥

⑵①③⑤

（3）②④⑥

叫健柱大小

典例2：

5.下列事件中的百分率可能大于100%的是（）

A.油菜籽的出油率B.某校学生的近视率

C.某公司的销售额增长率D.一批产品的合格率

【答案】C

【变式1】

6.从写有1〜20的20张卡片中任意抽一张，抽到（）的可能性最大.

A.质数B.合数C.奇数D.偶数

【答案】B

【变式2】

7.一人正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝

上的次数一样多，可能有个面涂了黄色.

【答案】4

【变式3】

8.用一副扑克牌中的10张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以工三个条件；

⑴翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同;

⑵翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小;

⑶翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小；

解：我设计的方案如下：

"红桃”_________张，“黑桃”________张，“方块”_________张，“梅花”_________张

【答案】5；2；1；2

等磔瞪亭件

典例3：

9.一人家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（）

A.（男，女）（男，男）（女，女）

B.（男，女）（女，男）

C.（男，男）（男，女）（女，男）（女，女）

第3页

D.（男，男）（女，女）

【答案】C

【变式1】

10.三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3,从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（）

A.12种B.6种C.4种D.3种

【答案】D

【变式2】

11.甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名

次.甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名对乙说：“你不是第4名.”从这两

个回答分析♦，4个人的名次排列可能有种不同情况，其中甲是第4名有种可能情况.

【答案】8；4

【变式3】

12.下列事件中，是等可能事件的是.（填序号）

①抛掷一枚均匀的正方体骰子一次，朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数；

②袋子中装有红、黄两种颜色的球，一次抽到红球与黄球；

③随意掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上与反面朝上；

④掷一枚图钉一次，钉尖着地与钉尖朝上.

【答案】①③

典例4：

13.9月24日结束的2024年全国射击锦标赛男子50米步枪三姿决赛中，巴黎奥运会双冠王盛李豪击败对手

夺冠.某次训练过程中，通过大量重复的射击练习，统计出盛李豪射出10环以上的频率为0.9.下列说法正

确的是（）

A.盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上

B.盛李豪射击1次，一定能射出10环以上

C.盛李豪射击10次，一定有9次射出10环以上

D.盛李豪射击9次，至少有1次射出10环以上

【答案】A

【变式1】

14.如图是某天气预报软件的显示屏，下列对降水信息的说法中正确的是（）

淮安市涟水县天气22~33汽

日出453日落19:18

第4页

体感温度28久

降水概率85%

降水量1.0mm

空气质量优

A.涟水县明天将有85%的时间下雨

B.涟水县明天将有85%的地区下雨

C.涟水县明天下雨的可能性较大

D.涟水县明天卜.雨的可能性较小

【答案】C

【变式2】

15.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都,事件A包含其中

的m种结果，那么事件4发生的概率P(4)=.特别地，当力为必然事件时，P(A)=1；当4为不可能

事件时，P(A)=0.

【答案】相等；黑

【变式3】

16.如果事件A发生的概率是忐，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是.

(填符合条件的序号)

①说明做100次这种试验，事件小必发生1次；

②说明做1UU次这种试验，事件A可能发生1次；

③说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件4才发生；

④说明事件/发生的频率是焉.

【答案】②

考点5%・法求熊本

典例5：

17.在如图所示的电路图中，随机闭合开关Si，S2,S3中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡5

发光的概率.

第5页

【答案】能让灯泡Li发光的概率为今

【变式1】

18.某班开展“讲数学家故事”的活动.下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A,B,C,D,卡片

除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上

数学家的故事.

隼9股条能督

D

（I）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果;

（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.

【答案】（1）解：所有可能出现的结果共6种：AB,AC,AD,BC,BD,CD.

（2）解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M,M包含的结果有3种，即AC,BC,

CD,且6种可能的结果出现的可能性相等,

=l3=r1

【变式2】

19.不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1,2,3,各球除所标的数外其他均相同.从箱子里任意摸出

两个球，并记下数.

（1）用适当的方法列举出所有的可能结果;

（2）求两个数的积是偶数的概率.

【答案】（1）见解析

(2)\

【变式3】

20.为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文学类、艺术类、

工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购.为此，学校随机抽取了部分学生进行调查（每名学生必选

且只选•类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图.

第6页

根据以上信息，解答下列问题：

（1）选文学类图书的学生有人，a=

（2）若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；

（3）某班计划从报名的甲、乙、丙三名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表或画树

状图的方法，求同时选中乙和丙的概率.

【答案】（1）70；108

<2）解:1800x端=180（人），

・•・估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人.

（3）解：列表如下：

甲乙丙T

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，T）

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）

丁（丁，甲）（T,乙）（丁，丙）

共有12种等可能的结果，其中同时选中乙和丙的结果有：（乙，丙），（丙，乙），共2种,

・•・同时选中乙和丙的概率为P=^=1.

考点6列央法、弼献图法求藏阜

典例6：

21.某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在

全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调杳（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图

（如图），根据图中的信息解答卜列问题：

第7页

度；

(2)若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“4：古诗词”的有多少人；

(3)若该校在4,B,C,。四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中

项目4和。的概率.

【答案】(1)200：90

(2)解:2000x(1-20%-15%-瑞)=800(A)，

・•・该校学生中最喜爱”4：古诗词”的有800人；

(3)解：画树状图如下:

开始

第一步BCD

*一小△4小

第一步BCDABC

由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好选中项目A和。的结果有2种.

・•・恰好选中项目力和。的概率为"=巳

1ZO

【变式1】

22.2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱

读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园一我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据

自己的爱好选择一类书籍(4政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类).学校数学兴趣

小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图(如图所

示).

第8页

人数/名

根据以上信息，解答下列问题：

（1）学校此次被调查的学生总人数为名，并根据题意补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，U科技类”所对应的圆心角度数是度；

（3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A,B,C三类书籍中隧机选择一种，乙同学从8,C,。三类书籍

中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率.

【答案】⑴解：100;

补全条形统计图如下：

人数/名

40

35

30

25

20

15

10

5

0

（2）144

（3）解：画树状图如下:

开始

BCDBCDBCD

共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，

・••甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为引

【变式2】

23.为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文学类、艺术类、

工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购.为此，学校随机抽取了部分学生进行调查（每名学生必选

且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图.

第9页

根据以上信息，解答下列问题：

（1）选文学类图书的学生有人,a=。；

（2）若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；

（3）某班计划从报名的甲、乙、丙、「四名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表或

画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率.

【答案】（1）70；108

（2）解:1800x^=180（人），

・•・估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人.

（3）解：列表如下：

甲乙丙T

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，T）

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）

丁（丁，甲）（T,乙）（丁，丙）

共有12种等可能的结果，其中同时选中乙和丙的结果有：（乙，丙），（丙，乙），共2种，

・•・同时选中乙和丙的概率为P=^=1.

【变式3】

24.在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3,-5,7的小球，它们的形状、大小、质地完全相

同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1

个小球，再记下小球上的数字.

（1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；

（2）求两次取出的小球上数字的和是正数的概率；

（3）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3,-5,m的小球，它们的形状、大小、质地完全

第10页

相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出

1个小球，再记卜小球上的数字.若两次取出的小球上数字的和是止数概率大于会直接与出m的取值范

围.

［答案】⑴(3,3),(3,-5),(3,7),(—5,3)(—5,-5),(—5,7),(7,3),(7,-5),(7,7)；

(2)/

(3)m>5.

|用®［窣怙计镶察

典例7：

25.一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色,

然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：

实验次数几20030040050060070080010(10

摸到红球次数m151221289358429497571702

摸到红球频率与0.750.740.720.720.720.71ab

(1)表格中a=________,b=_________.(精确到0.01)

(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为________：(精确到

(3)如果袋子中有28个红球，4个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率?

【答案】(1)0.71：0.70

(2)0.7

(3)解：设袋子中有黄球4个,

根据题意得，

0.7(%+28+4)=28,

解得x=8,

・•・黄球有8个，

【变式1】

26.如图，两个转盘48都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同

时转动转盘4B两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上，当作指向上边

的扇形)

转盘总次数10203050100150180240330450

“和为7”出现的频27101630465981110150

第11页

数

“和为7”出现的频

0.200.350.330.320.300.310.330.340.330.33

率

(1)用列表法(或树形图)表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果；

(2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如表：如果实验继续进行

卜.去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；

(3)根据(2),若OVx<y,试求出％与y的值.

【答案】(1)解：列表为:

ABX23

y(3)(2,y)(3,y)

4(%,4)(2,4)(3,4)

5(%,5)(2,5)(3,5)

共有9种等可能的结果；

(2)解:由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近,出现“和为7”的概率为0.33；

(3)解：“和为7”的概率为0.33,表中共九种情况，和为7的情况有9x0.33。3种,由于2、5：3、4；之和

为7,所以工、5；%、4；x、y；2、y；3、y中有一组为7即可；

又•••0<x<y,

①x+5=7,则x=2,y=3,6,7,8,9-

②x+4=7,x=3,y=6,7,8,9•••

③x+y=7,%=1,y=6；

④2+y=7,y=5,x=4,1；

⑤3+y=7,y=4,%=1.

由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，只有③成立，

•••x=1,y=6.

第12页

【变式2】

27.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀

后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数九20484040100001200024000

摸到白球的次数m106120484979601912012

摸到白球的频率与0.5180.50690.49790.50160.5005

（1）请估计：当几很大时，摸到白球的频率将会接近：（精确到0.1）

（2）试估算口袋中白球有多少个？

（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的

球颜色相同的概率.

【答案】（1）0.5

（2）解：由（1）摸到白球的概率为0.5,

所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=4x0.5=2（个）；

（3）解:列表得:

第二次第一次白1门2黑1黑2

白1（白1,白1）（白1,白2）（白1,黑1）（白1,黑2）

白2（白2,白I）（白2,白2）（白2,黑1）（白2,黑2）

里1（黑I»白1）（黑1,白2）（黑1,黑1）（黑1,黑2）

黑2（黑2,白1）（黑2,白2）（黑2,黑1）（黑2,黑2）

由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能.

P（颜色相同）=具=1

162

【变式3】

28.某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘.商场规定：顾客购物100元

以上就能获得•次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪•区域就可以获得相应的奖品.下表是此次

活动中的一组统计数据：

转动转盘的次数〃1002004005008001000

落在“可乐”区域的次数相60122240295a604

落在“可乐”区域的频率与0.60.610.6b0.590.604

第13页

（1）完成上述表格，其中Q=,b=；

（2）请估计当九很大时，频率将会接近,假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约

是;（本小问结果全部精确到0.1）

（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是。；

（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付

方式中各选一种方式进行支付.请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概

率.

【答案】（1）472；0.59

（2）0,6；0.6

（3）144

（4）解：树状图如下：

开始

ABC

A\A\A\

ABCABCABC

共有9中等可能情况，其中甲、乙两人恰好都选择同一•种支付方式的情况有3种，

故甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为5=/

修军的康用

典例8：

29.游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉.小刚父亲和小刚

二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫叫」的任何一个，同时各说出

一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”.其它情况,则为

平局.例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说‘'公鸡"，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平

局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局.

（1）每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是:

（2）如果用4B,C,。分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用B[,Ci，5分

别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多

少？用列表法或画树状图法加以说明；

第14页

（3）你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？

【答案】（1）i

（2）解：列表如下：

小刚二叔

4BiCIOi

小刚父亲

A(M)(4BD(ACi)(4Di)

B(BQ(B,"

C(&4)(&公)(C,CD(&。1)

D。出）(D,BJ(DC)（。孙）

由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种，

・•・某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为a=i;

1O4

（3）解：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为叁=J,

164

..1_1

*4-4

・••两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的.

【变式1】

30.为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动.活动方案有二：

方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占泰乙盘的臼色区域占,其余均为黑色

区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券.

两转盘颜色（甲，乙）（里，里）（黑，白）（白，黑）（白，白）

中奖券金额0元10元20元50元

方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券.

问题：

（1）方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？

（2）如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由.

【答案】（1）顾客获得1（）元和5（）元赠券的概率分别是11；

36

（2）方案一，见解析

【变式2】

31.有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5.把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放

回，洗匀后乙再抽取一张.

（1）用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性；

第15页

（2）现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案.

A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；

8方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜；

C方案：再拿一张红桃3,改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和

4,则甲胜，否则乙胜.

请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？

【答案】（1）解：列表如下:

红桃3红桃4黑桃5

红桃3红桃3,红桃3红桃4,红桃3黑桃5,红桃3

红桃4红桃3,红桃4红桃4,红桃4黑桃5,红桃4

黑桃5红桃3,黑桃5红桃4,黑桃5黑桃5,黑桃5

（2）解：由（1）可得:

4方案：甲获胜概率为常乙获胜概率为小

8方案：甲获胜概率为小乙获胜概率为东

C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）：

开始

C方案:甲获胜概率为七另，乙获胜概率为要=多

/N/1\/1\

345345335334

故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高.

【变式3】

32.渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课外读

物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每

人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他”类统计，图C）与图（2）是整理数据后绘制

的两幅不完整的统计图.

图⑴

第16页

(1)本次调查抽取的人数是人：在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为度.

(2)若该市农村小学共有25000名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有

人.

(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏，规则是：现

有4张卡片上分别写有1,2,3,4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一

张.若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的

倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？

【答案】(1)72

(2)7500

(3)解：列表如下:

两数之和1234

12345

23456

34567

45678

・•・共有16种等可能的结果，其中抽得的数字之和是5的倍数的有4种，是3的倍数的有5种,

・•・则书给小丽的概率是某二』，给小芳的概率是皂

104io

答：这种方法不公平.

修黎与筑计的爆告

典例9：

33.为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会责任感.某校

做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：儿很深入的了解，如果有后

续报道会持续关注；B.比较了解，掌握当下的情况；C.基本了解，当时看过之后就忘记了；D.不了解，

没有兴趣.

根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表.

对时事热点关注程度的统计表：

对时事热点关注程度百分比

人很深入的了解15%

比较了解m

第17页

C.基本了解35%

D.不了解n

对时事热点关注程度的扇形图统计图

（图1）（图2）

请结合统计图表，回答下列问题:

(1)本次参与调查的学生共有人，m=,n=；

(2)图2所示的扇形统计图中0部分扇形所对应的圆心角是度；

(3)请补全图1所示的条形统计图；

(4)根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中的小

明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分别标上数字

1,2,3,4,然后放到一个不透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球

中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5,则小丽去；否则小明去.这个游戏规则是否公

平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？

【答案】(1)400|25%；25%

(2)90

（图1）

(4)解：游戏公平，理由如下:

画出树状图如下：

第18页

开始

两数之积3426836124812

小丽去的概率为:4=%,小明去的概率为:A=

由于两人去的概率相等，则游戏公平.

【变式1】

34.为了加强学生的垃圾分类意识，某校进行了一次系统全面的垃圾分类宣传.为了解这次宣传的效果，从

全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：儿优秀；B.良好；C.及格；

/）.不及格.根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表：

垃圾分类知识测试成绩统计表

测试等级百分比人数

A.优秀5%20

B.良好60

C.及格45%m

D.不及格n

请结合统计表，回答下列问题:

（1）求相、几的值；

（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据

本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；

（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班

派一人参加.某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加.班长设计了如下游戏来确定人

选，具体规则：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1,2,3,4,然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，

两人同时从袋中各摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加.请用树状

图或列表法说明这个游戏规则是否公平.

【答案】（1）解：本次参与调查的学生人数为：20+5%=400（人），

m=400x45%=180,

v400-20-60-180=140,

第19页

...n=140400x100%=35%；

（2）解：5600x弓蓝。=1120（人）,

即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人;

（3）解:画树状图为:

345356；57567

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种,

P（小明参加）=4=|，

P（小亮参加）=1—5=i>

••.这个游戏规则不公平.

【变式2】

35.某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年

游客客流量X都在160万人以上.过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括

左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）.

以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据.

（1）求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；

（2）若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量Y的限制，并有如

下表关系:

第20页

160<X200<x