初三数学相似三角形核心知识点复习

相似三角形知识点总结

知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形，

如ZkABC与△AbC相似,记作：AABC^AAW<>

相似三角形的比叫相似比

相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：(1)相似比是有顺序的。

(2)对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这

样写比较容易找到相似三角形的电应角和对应边。

(3)顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABCS/\ABC,

相似比为k,则△△BC与AABC的相似比是!

k

知识点2、相似三角形与全等三角形的关系

(1)两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

(2)两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

(3)二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理

1.比例线段的有关概念：

在比例式3=£(〃：h=c：d)中，a、d叫外项，b、C叫内项，«、c叫前项,

ba

b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c,那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC,使Ad=AB・BC,叫做把线段AB黄金分割，C叫做线

段AB的黄金分割点。

2.比例性质:

a±bc±d

①基本性质：—ad=be②合比性质：—=—=>

bdbdbd

③等比性质：…=生（­……+机，

bdnb+d+…+nb

3.平行线分线段成比例定理

（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

已知\\//\2//\3,

ABOE-ABDE-BCEF-BCEF-ABBC

---=---双---=---双---=---或---=---以---=--

可得BCELACOF"ABDF'AC。尸-DEEF等.

（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线

段成比例.

BC

AD__—A_E_—pByD____E_C_—口AVD___AE___

由DE〃BC可得：DB-EC"A。-&TA3-AC.此推论较原定理应用

更加广泛,条件是平行.

（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对

应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线.

（4）定理:平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三

边与原三角形三边对应成比例.

知识点4：相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等

②相似二角形的对应边成比例

③相似三角形对■应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等「相似比

④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

知识点5：相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直舛边

对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原

三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角

形相似。

点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。

注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含

的相等的角，我们应注意公共角的运用。

两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两

个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”

三边对应成比例的两个三角形相似。

知识点六：摄影定理

AD2=BD・CDAB2=BD・BCAC2=CD・BC

特殊图形(双垂直模型)

VZBAC=90°ADA.BC

AD2=BD・CDAB2=BD・BCAC2=CD・BC

知识点七：相似三角形的周长和面积

(1)相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。

(3)相似三角形的周长比等于相似比；

(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方

补充：相似三角形的识别方法

(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构

成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)

(3)三边对应成比例的两个三角形相似。

(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

(5)两角对应相等的两个三角形相似。

(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。

（7）被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

相似三角形的基本图形：

判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角

或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对

应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。

相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。

经典习题

考点一：平行线分线段成比例

1、（2013广东肇庆）如图，已知直线a〃方〃c,直线加、n与a、b、c分别交于点4、C.E、

B、D、F,“=4,CE=6,必=3,则跖=（）

A.7E.7.5C..8D.8.5

2、（2013•福州）如图，已知△ABC,AB=AC=1,ZA=36°,/ABC的平分线BD交AC

于点D,则AD的长是,cosA的值是.（结果保留根号）

in

D

3、（2011湖南怀化）如图所示：/XABC中，DE//BC,4。=5,80=10,AE=3,则。石

的值为（）

A.9B.6C.3D.4

4.（2011山东泰安）如图，点F^oABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E,

则下列结论错误的是（)

EDDFDEEFBCBFBFBC

A.=B.=c----=-----D.-

EAAB~BC~FBDEBEBEAE

5.（2012•孝感）如图,ffiAABC中,AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC交AC于点D,

若AC=2,则AD的长是（)

>/5-lV5+1

A.-----B.----C-.5/5—ID.\/5+1

22

AB

考点二：相似三角形的性质

1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A,B重合），对

角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线，分别交AC,BD于点E,F,

交AD,BC于点M,N.下列结论：

@0APE00AME；@PM+PN=AC；®PE2+PF2=PO2：④团POFW1BNF；⑤当回PMN00AMp

时，点P是AB的中点.

其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质

分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断田APM和mBPN以及国APE、E1BPF

都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断.

解答：解:国四边形ABCD是正方形，

00BAC=0DAC=45°.

回在团APE和团AME中，

（ZBAC=ZDAC

（AE二AE,

IZAEP=ZAEM

团团APE团团AME,故①正确:

（3PE=EM=2PM,

2

同理，FP=FN=1NP.

2

国正方形ABCD中AC0BD,

又团PE团AC,PF0BD,

团团PEO=®EOF=团PF0=9（）°,且团APE1fAE=PE

回四边形PEOF是矩形.

0PF=OE,

0PE+PF=OA,

又回PE=EM=1PM,FP=FN=1NP,OA=』AC,

222

团PM+PN=AC,故②正确：

（3四边形PEOF是矩形，

团PE=OF,

在直角0OPF中，OF2+PF2=PO2,

0PE2+PF2=PO2,故③正确.

团G3BNF是等腰直角一：角形，而（3POF不一定是，故④错误；

豳AMP是等腰直角三角形，当团PMN酿AMP时，（3PMN是等腰直角三角形.

0PM=PN,

又国AMP和国BPN都是等腰直角三角形，

回AP=BP,即P时AB的中点.故⑤正确.

故选B.

点评：本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识团APM和mBPN以及（2APE、

团BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键.

2、（2013•新疆）如图，R10ABC中，0ACB=9O°,0ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,

若动点E以Icm/s的速度从A点出发，沿着A3B玲A的方向运动，设E点的运动时间为t

秒（0<t<6）,连接DE,当I3BDE是直角三角形时，I的值为（）

A

A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5

考点：相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.

专题：动点型.

分析：由R10ABC中，0ACB=9O°,0ABC=6O%BC=2cm,可求得AB的长，由D为BC的中点,

可求得BD的长，然后分别从若回DBE=90。与若13EDB=90。时，去分析求解即可求得答案.

解答：解：0ABe中，0ACB=9O\0ABC=6(r,BC=2cin,

0AB=2BC=4(cm),

0BC=2cm,D为BC的中点，动点E以Icm/s的速度从A点出发，

0BD=BC=1(cm),BE=AB-AE=4-t(cm),

若用DBE=90。，

当A1B时，00ABC=6O0,

(3团BDE=30°,

0BE=BD=(cm),

0t=3.5,

当B->A时,t=4+0.5=4.5.

若由EDB=90°时，

当AfB时，00ABC=6O0,

(3glBED=30°,

0BE=2BD=2(cm).

用1=4-2=2,

当B9A时，t=4+2=6（舍去）.

综上可得：t的值为2或3.5或4.5.

故选D.

点评：此题考查了含30。角的直角三角形的性质.此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类

讨论思想与数形结合思想的应用.

3、（2013•内河）如图，在向ARCD中,E为CD卜一点,连接AE、RD.且AF,、RD交干点

F,SRDEF：S[?IABF=4：25,则DE：EC=（）

A.2：5B.2：3C.3：5D.3：2

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出团DE用团BAF,再根据SRDEF：

S3ABK=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：EC的值，由

AB=CD即可得出结论.

解答：解：团四边形ABCD是平行四边形，

13ABmCD,

00EAB=0DEF,0AFB=0DFE,

00DEF00BAF,

□SEIDEF：SBABF=4：25,

0DE：AB=2：5,

0AB=CD,

（3DE：EC=2：3.

故选B.

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等

于相似比，面积的二匕等于相似比的平方是解答此题的关键.

4、（2013•宁夏）0ABC中,D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4,下面四个结论：①DE=2；

@0ADEE0ABC；③团ADE的面积与团ABC的面积之比为1：4；④团ADE的周长与13ABe

的周长之比为1：4；其中正确的有①②⑶.（只填序号）

考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

分析：根据题意做出图形.点D、E分别是AB、AC的中点，可得DESBC,DE」BC=2,则可

2

证得团ADES团ABC,由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得团ADE的面积与团ABC的

面积之比为1：4,然后由三角形的周长比等于相似比，证得回ADE的周长与回ABC的周长

之比为1：2,选出正确的结论即可.

解答：解：团在回ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

0DE0BC,DE=1BC=2,

2

00ADE00ABC,r

故①②正确；

00ADE00ABC,迈=工，

BC2

如ADE的面积与团ABC的面积之比为I：4,

（3ADE的周氏与团ABC的周长之比为1：2,

故③正确，④错误.

故答案为：①②③.

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形

结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比

的平方.

5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=9,mBAD的平分线交BC于

E,交DC的延长线于F,BG0AE于G,BG=&々，则OEFC的周长为（）

A.11B.10C.9D.8

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质.

分析：判断出团ADF是等腰三角形，I3ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在

RtlSBGE中求出GE,继而得到AE,求出团ABE的周长，根据相似三角形的周氏之比等于

相似比，可得出团EFC的周长.

解答：解：团在团ABCD中，AB=CD=6,AD=BC=9,（3BAD的平分线交BC于点E,

团团BAF=13DAF,

0AB0DF,AD0BC：

00BAF=0F=0DAF,（3BAE=0AEB,

0AB=BE=6,AD=DF=9»

00ADF是等腰三角形，团ABE是等腰三角形，

0AD0BC,

物EFC是等腰三角形，且FC=CE,

0EC=FC=9-6=3,

在用ABG中，BG0AE,AB=6,BG=4比，

0AG=7AB2-BG2=2，

0AE=2AG=4,

配1ABE的周长等于16,

XE0CEF130BEA,相似比为1：2

酿CEF的周长为8.

故选D.

点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周氏

之比等于相似比，此题难度较大.

6、(2013•宜昌)如图，点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),

以C,D,E为顶点的三角形与团ABC相似，则点E的坐标不可能是()

A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)

考点：相似三角形的性质：坐标与图形性质.

分析：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断.

解答：解：0ABe中,0ABC=9O°,AB=6,BC=3,AB：BC=2.

A、当点E的坐标为(6,())时，团CDE=90°,CD=2,DE=I,则AB：BC=CD：DE,0CDE00ABC,

故本选项不符合题意；

B、当点E的坐标为(6,3)时，0CDE=9O°,CD=2,DE=2,则AB：BC*CD：DE,0CDE

与(3ABC不相似，故本选项符合题意；

C、当点E的坐标为(6,5)时，HCDE=90°,CD=2,DE=4,则AB：BC=DE：CD,0EDC0SABC,

故本选项不符合题意；

D、当点E的坐标为(4,2)时，0ECD=9O%CD=2,CE=I,则AB：BC=CD：CE,0DCE00ABC,

故本选项不符合题意；

故选B.

点评：本题考查了相似三角形的判定，难度中等.牢记判定定理是解题的关键.

7、(2013•雅安)如图，DE是团ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE,连接CF,则SBCEF：

S四边形BCED的值为()

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

分析：先利用SAS证明13ADEEQCFE(SAS),得出SeiADE=S[aCFE,再由DE为中位线，判断

0ADE00ABC,且相似比为1：2,利用相似三角形的面积比等于相似比，得到SHADE：S3ABC=1：

4,则SpjADE：S四边形BCED=1:3,进而得出SpjCEF:S网边形BCED=1:3.

解答：解：团DE为团ABC的中位线，

0AE=CE.

在回ADE与团CFE中，

'AE=CE

<ZAED=ZCEF,

DE=FE

回回ADE回国CFE(SAS),

团S®ADE二SaCFE.

回DE为回ABC的中位线，

酿ADE励ABC,旦相似比为1：2,

团SHADE：SraABC=l：4,

回SEADE+S四边杉BCED二SBABC,

0SEADE：S四边形BCED=1：3,

（aS@CEF:S四边形BCED=1:3.

故选A.

点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理.关键是利用中位

线判断相似二角形及相似比.

8、（2013聊城）如图，D是回ABC的边BC上一点，已知AB=4,AD=2.0DAC=0B,若0ABD

的面积为a,则国ACD的面积为（）

A.aB.C.D.-^a

233

考点：相似三角形的判定与性质.

分析：首先证明（3ACD曲BCA,由相似三角形的性质可得：用ACD的面积：（3ABC的面积为

I：4,因为0ABD的面积为a,进而求出0ACD的面积.

解答：解：03DAC=0B,I3C=0C,

00ACD00BCA,

0AB=4,AD=2,

陇ACD的面积：13ABe的面积为1：4,

团［3ACD的面积：团ABD的面积=1：3,

00ABD的面积为a,

00ACD的面积为a,

故选C.

点评：本题考查了相似三帝形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中

考常见题型.

9、（2013荷泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分

别为Si,S2,则Si+S2的值为（）

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

专题：计算题.

分析：由图可得，Si的边长为3,由AC=d^BC,BC=CE=V2CD,可得AC=2CD,CD=2,

EC=2V2：然后，分别算出Si、S2的面积,即可解答.

解答：解：如图，设正方形S2的边长为X,

根据等腰直角三角形的性质知，AC=V2X,XW^CD,

0AC=2CD,CD==2,

0EC2=22+22,EPEC=2V2;

0S2的面积为EC2=272X272=8；

（3S1的边长为3,Si的面积为3x3=9,

0SI+S2=8+9=17.

点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力.

10、（2013安顺）在平行四边形ABCD中,E在DC上，若DE：EC=1：2,则BF：BE=

D

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

分析：由题可知团ABH33CEF,然后根据相似比求解.

解答：解：mF：F.C=I：2

团EC：CD=2：3HPEC：AB=2：3

团AB0CD,

回回ABFW：EF,

0BF：EF=AB：EC=3：2.

回BF：BE=3：5.

点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质.

11、（13年安徽省4分、13）如图,P为平行四边形ABCD边AD上一

点，E、F分别为PB、PC的中点，APEF、APDC.4PAB的面积分别

为S、Si、S20若S=2,则S"S2=

【答案】

【考点】平行四边形的性质，三刀形中位妓定理，相似三角形的判定和性质.

【分析】:三、F分刖为？3、？C7中点，3c..•.A?EFsq3c..•.s“3：=4k=8・

又■v”AB二，一、：・SO?：.+S-；A3=；S-7：

考点三：相似三角形的判定

1、（2013•益阳）如图，在团ABC中，AB=AC,BD=CD,CEaAB于E.求证：团ABEO3CBE.

A

考点：相似三角形的判定.

专题：证明题.

分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得ADE1BC,然后求出色ADB=0CEB=9O。，再根据两组角

对应相等的两个三角形相似证明.

解答：证明：在13ABC中，AB=AC,BD=CD,

0AD0BC,

0CE0AB,

00ADB=aCEB=9Oo.

X00B=0B,

回团ABDiaSCBE.

点评：本题考查了相似三侑形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定巴两组对应

相等的角是解题的关键.

2、（2013年河北）如图4,菱形A8CD中，点M,N在AC上，MEJLAD,

NFLAB.若NF=NM=2,ME=3,则4N=_

D

FB

答案：R图4

解析：由△AFNs/^EM,得：—ANNF,即AN:三2

AMMEAN+23

解得：AN=4,选B。

3、(2013•孝感)如图，在13ABe中，AB=AC=a,BC=b(a>b).在用ABC内依次作0CBD=®A,

0DCE=SCBD,0EDF=0DCE.则EF等于()

A.更B-3C.4D.4

aba

23

aab

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质.

分析：依次判定回ABC瓯BDC豳CDE瓯DFE,根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF

的长度.

解答：解：@AB=AC,

00ABC=QACB,

又配1CBD二团A,

回回ABC确BDC,

同理"J■得：团ABCBEBDC团国CDE团团DFE,

MAB_BCCD_DEEF_DE

BCCDBDCDDECE

234

解得：CD=k2,DE=Jk,EF=b

a2a

故选C.

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在「根据对

应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错.

4、（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、

C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上，且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边

AB于点P.则点P的坐标为一（2,4-2«）.

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质.

分析：根据正方形的对角线等于边长的6倍求出0B,再求出BQ,然后求出（3BPQ和团OCQ相似,

根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP,即可得到点P的坐标.

解答：解：团四边形OABC是边长为2的正方形，

S0A=0C=2,0B=2加，

0QO=OC,

@BQ=OB-0Q=2的-2,

团正方形OABC的边AB0OC,

（30BPQ00OCQ,

回”①，

OC0Q

即里笙二，

22

解得BP=2&-2,

@AP=AB-BP=2-（2^2-2）=4-2加，

0点P的坐标为（2,4・2亚）.

故答案为：（2,4-2^2）.

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的血倍的性质，以及坐标

与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键.

5、（2013•眉山）如图，（71BAC=0DAF=9O<,,AB=AC,AD=AF,点D、E为BC边上的两点,

且I3DAE=45°,连接EF、BF,则下列结论:

@0AEDE0AEF；（2）0ABE0SACD；③BE+DODE；（4）BE2+DC2=DE2,

其中正确的有()个.

A.IB.2C.3D.4

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

分析：根据团DAF=90°,0DAE=45%得出回FAE=45°,利用SAS证明(3AED00AEF,判定①正确；

如果团ABE羽ACD,那么用BAE=SCAD,由团ABE=0C=45°,则团AED=SADE,AD=AE,而由

已知不能得出此条件，判定②错误；

先由团BACR1DAF=9()。，得出团CAD=SBAF,再利用SAS证明团ACD况ABF,得出CD=BF,

又①知DE=EF,那么在I3BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF>EF,等量

代换后判定③正确；

先由国ACD013ABF,得出ECRABF=45。，进而得出团EBF=90°,然后在Rt团BEF中，运用勾

股定理得出RE2+RF2=F.F2,等量代换后判定④F确.

解答：解：®00DAF=9O°,0DAE=45°,

团团FAE=SDAF-团DAE=45°.

在(3AED与团AEF中，

'AD二AF

'NDAE=NFAE二45°，

AE=AE

00AED00AEF(SAS),①正确；

②雕）BAC=90。，AB=AC,

团团ABE=®C=45°.

回点D、E为BC边上的两点，0DAE=45°,

团AD与AE不一定相等，13AED与团ADE不一定相等,

00AED=45°+0BAE.0ADE=450+0CAD,

00BAE与团CAD不一定相等，

豳ABE与田ACD不一定相似，②错误；

(3)00BAC=0DAF=9OO,

00BAC-0BAD=0DAF-(3BAD,即由CAD二回BAF.

在团ACD与EIABF中，

'AC=AB

<ZCAD=ZBAF，

AD二AF

回(SACDaSABF(SAS),

(3CD=BF,

由①知团AED能)AEF,

0DE=EF.

在回BEF「fi,mBE+BF>EF,

0BE+DODE,③正确；

④由③知ZACDEEABF,

(30C=0ABF=45\

00ABE=45°,

(30EBF=0ABE+@ABF=9OO.

在RtElBEF中,由勾股定理，得BE2+BF2=EF2,

国BF=DC,EF=DE,

(3BE2+DC2=DE2,④正确.

所以正确的结论有①③④.

故选C.

点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三

边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有

一定难度.

6、（2013•天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,0ADE=6O°,则AE的长为

7.

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

分析：先根据边长为9,BD=3,求出CD的长度，然后根据团ADE=60。和等边三角形的性质，证明

团ABD酿DCE,进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长

度.

解答：解:比ABC是等边三角形，

00B=0C=6O°,AB=BC；

@CD=BC-BD=9-3=6：

00BAD+0ADB=12OO

能1ADE=6O°,

00ADB+0EDC=12O°,

(30DAB=0EDC,

X00B=0C=6O°,

00ABD03DCE,

则姻二区，

BDCE

即良9

3CE

解得：CE=2,

故AE=AC-CE=9-2=7.

故答案为：7.

点评：此题主要考查了相收三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质

证得（3ABD13团DCE是解答此题的关键.

7、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,E为OD

的中点，连接AE并延长交DC于点F,则DF：FC=（）

A.1：4B.1：3C.2：3D.1：2

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

分析：首先证明［3DFE03BAE,然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又

知AB=DC,即可得出DF：FC的值.

解答：解：在平行四边形ABCD中，AB0DC,

则团DFEE0BAE,

p-DE_DE

ABEB

0O为对角线的交点,

0DO=BO,

又向E为OD的中点,

团DE」DB,

4

贝UDE：EB=1：3,

回DF：AB=1：3,

0DC=AB,

团DF：DC=1：3,

0DF：FC=1：2.

故选D.

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答不题的关键

是根据平行证明团DFE酿BAE,然后根据对应边成比例求值.

8、（2013•牡丹江）如图，在团ABC中I3A=6O°,BMGIAC于点M,CNmAB于点N,P为BC

边的中点，连接PM,PN,则下列结论：①PM二PN；②案啜；③团PMN为等边三角形；

④当回ABC=45°时，BN=V2PC.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线.

分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；

先证明E1ABM酿ACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；

先根据直角三角形两锐角互余的性质求;I甩ABM=0ACN=3(T,再根据三角形的内角和定理

求出团BCN+(3CBM=60。，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出

0BPN+0CPM=12O%从而得到(3MPN=60。，又由①得PM=PN,根据有一个角是60。的等腰

三角形是等边三角形可判断③正确；

当13ABe=45°时，0BCN=45°,由P为BC边的中点，得出BN=&PB=&PC,判断④正确.

解答：解：①国BM团AC于点M,CNmAB于点N,P为BC边的中点，

团PM二」BC,PN=』BC,

22

0PM=PN,正确；

②在(3ABM与(3ACN中，

团团A二团A,团AMB=QANC=90°,

图3ABM图ACN,

回幽盘,正确;

ABAC

③团团A=60。，BMI3AC于点M,CN团AB于点N,

团回ABM=0ACN=3O°,

在团ABC中，团BCN+0cBM团1800-60°-30°x2=60\

13点P是BC的中点,BM0AC,CN0AB,

0PM=PN=PB=PC,

团回BPN=2朋CN,回CPM=2团CBM,

0(3BPN+0CPM=2(0BCN+SCBM)=2x60°=120°,

回E)MPN=60°,

酿PMN是等边三角形，正确;

④当(3ABC=45°时，(3CN(3AB于点N,

回用BNC=90°,0BCN=45°,

团BN=CN,

(3P为BC边的中点，

0PNELBC,OBPN为等腰直角三角形

(3BN=V2PB=V2PC,止确.

故选D.

点评：本题主要考查了宜侑三角形30。角所对的宜角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等

边三角形、等腰直用三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并

熟练掌握性质是解题的关键.

9、（2013•黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则逛的值是咚.

EC-3-

考点：相似三角形的判定与性质.

分析：由NBAC=NACD=90。，可得AB〃CD,即可证得△ABEs^DCE,然后由相似三角形的

对应边成比例，可得：或要，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD,即可求得

ECCE

答案.

解答：解：VZBAC=ZACD=90°,

；・AB〃CD,

AAABE^ADCE.

・BEAB

.•前方’

ViERtAACB中/B=45°,

・・.AB=AC,

•・•在RtACD中，ZD=30°,

JCD=—=V3AC,

tan30

•Bg_AC_V3

••瓦一aAC一后

故答案为：

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质.此题难度不大，注意掌握数形结

合思想的应用.

10、（2013台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为

梯形，乙为三角形.根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面枳大小，下列判断何者

正确？（）

A.甲〉乙，乙〉丙B.甲〉乙，乙〈丙C.甲〈乙，乙〉丙D.甲〈乙，乙〈丙

考点：相似三角形的判定与性质.

分析：首先过点B作BHHGF广点H,贝ljS乙=』AB・AC,易证得EIABCQ0DBE,EIGBHI3mBCA,

可求得GF,DB,DE,DF的长，继而求得答案.

解答：解：如图：过点B作BHI3GF于点H,

则Sz.=J：AB*AC,

2

PlACmE.

团团ABCG0DBE,

团星普出,

DE-DB-BE

0BC=7,CE=3,

团DE=〃AC,DB=1^AB,

77

0AD=BD-BA=-?AB,

7

回S内=』(AC+DE)•AD=-^1AB*AC,

298

团A团GF,BHEGF,AC0AB,

0BH0AC,

团四边形BDFH是矩形，

0BH=DF,FH=BD二与AB,

团团GBH酿BCA,

PJGH^BH^GE

AB=AC^BC

0GB=2,BC=7,

团GH=2AB,BHZAC,

77

团DF'AC,GF=GH+FH工AB,

(35甲=1(BD+GF)・DF=^AB・AC,

团甲V乙，乙〈丙.

故选D.

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及宜角三角形的性质.此题

难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

考点四：相似三角形的应用

1、（2013•白银）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）

20米的A处，则小明的即子AM长为米.

4

考点：相似三角形的应用.

分析：易得：团ABM回国OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.

解答：解：根据题意，易得（3MBA蜘MCO,

根据相似三角形的性质可知姻即里二3L

OC0A+AM820+AM

解得AM=5m.则小明的影长为5米.

点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.

2、（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上,

则球拍击球的高度h为一1.5米.

考点：相似三角形的应用.

分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE0BC可知，0ADE00ACB,根据其相似比即可

求解.

解答：解：0DE0BC,

团团ADEREACB,即空=毡，

DCAB

则—纥二

4+3.5h

□h=1.5m.

故答案为：L5米.

点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据

对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

3、（13年北京4分5）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定

一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB1BC,CD1

BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上。若测

得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB等于

n\

BEVTC,

A.60mB.40mX