特殊平行四边形的动态图形变换问题（同步练习）-2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

专题四特殊平行四边形的动态图形变换问题

类型一翻折问题

1.如图将一个长为20cm，宽为16cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得

矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图1）,再打开，得到如图2所示的小菱形的面积为（）

A

A.20cmB.40cm2

C.60cw2D.80cm2

2.如图，菱形OABC的顶点A在x轴上CDJ_AB于点D,将菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点为B1

若NAOC=45、点B，的横坐标为4,则点B的坐标为（）

A.(4V2+4-4)

B.(8,4)

C.(4V2+4.2V2)

D.(8,2V2

3.（2024.东营期末）如图,在边长为8的正方形纸片ABCD中,E是边BC上的一点BE=6,连接AE,将正方形

纸片折叠，使点D落在线段AE上的点G处.折痕为AF,则DF的长为.

4.矩形折叠探究

在柜形纸片ABCD中,AB=8,BC=32,点M是边BC上的一点.

图1图2

（1）如图1,王欢在边CD上取一点N,将纸片沿直线MN折叠，使点C落在边AD上,记为点P,若DP=4,

求CN的长;

（2）如图2,张乐在边AD上取一点N,将纸片沿直线MN折叠，当点C与点A重合时，求MN的长.

类型二旋转问题

5.如图，以正方形ABCD对角线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，其中A(0,1),OD=1,菱形ABEF

的边BE在x轴上,将菱形ABEF绕点O逆时针旋转,每次旋转45。.则第2024次旋转结束时、点F2024的

坐标为)

A.(-bV2)B.(⑸)

C.(-V2-1)D.(-V2>1)

6」教材P27习题6.8T4变式］如图.有两个边长为4cm的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中

心上，究着中心旋转其中一个正方形，那么图中阴影部分的面积是()

A.无法确定B.8cw2

C.16c加2D.4cm2

7.如图在矩形ABCD中,AC是对角线.将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90。到矩形GBEF位置.H是E

G的中点.若AB=6,BC=8,则线段CH的长为.

8.在菱形ABCD中.NADC=60)E为平面内任意一点，连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转60。得到D

G,连接EC.AG.

⑴如图I,当点E在菱形ABCD内部时,判断AG与CE的数量关系，并写出证明；

(2)如图2,当点B,D,G在同一条直线上时，若AD=3,DG=2VI求CE的长.

B

图1图2

9.已知.如图1,四边形ABCD是正方形,E,F分别在边BCCD上，且NEAF=45。我们把这种模型称为畔角模型，

在解决，半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.

(1注图1中，连接EF,为了证明结论、'EF=BE+DF”,小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90。后解答了这个问

题，请按小亮的思路写出证明过程；

(2)如图2.当NEAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF,BE之间有怎样的数量关系?

E

图2

类型三平移问题

10如图在菱形ABCD中,NA=602AD=4,F是AB的中点.过点F作FE_LAD,垂足为E.

将^AEF沿点A到点B的方向平移得到4AEF.设P,P分别是EF,EF的中点，当点A1

与点B重合时，四边形PPCD的面积为()

A.6V3B.7V3D.--8

C.芋4

11如图，已知△ABC和^DEF是两个边长都为8cm的等边三角形、且点B,E,C,F在同一直线上,连接AE,

DC.

⑴求证：四边形AEDC是平行四边形；

⑵若^ABC沿着BF的方向匀速运动,△DEF不动，当△ABC运动到点B与点F重合时，四边形AEDC

是什么特殊的四边形？说明理由.

E

D

类型四动点问题

12如图，在菱形ABCD中，AB=5cm,NADC=120。，点E,F同时由A,C两点出发，分别沿AB,CB方向,

向点B匀速移动侄IJ点B为止),点E的速度为1cnVs，点F的速度为2cm/s，经过tDEF为等边三角形，

则t的值为)

3435

氏C

-一--

A.4323

13已知：如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标分别为A(10,0),

C(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为

7ADAX

14如图，在矩形ABCD中，点M是边AD的中点，点P是边BC上的动点，PE1MC,PF1BM,垂足为点

E,F.

⑴当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论;

(2)如果四边形PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？证明你的猜想.

15.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°,AB=12,BC=20,AD=16动点P从点B出发，沿

射线BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的

速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动•设运动的时间为t秒.

⑴设△DPQ的面积为S,用含t的式子表示S；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？

⑶当t为何值时，PQ=PD?

微专题四特殊平行四边形的动态图形变换问题

LB解析：由题意可得：题图1中所得矩形的长为10cm,宽为8cm,

•・•虚线的端点为该矩形两邻边的中点，

AC=8cm,BD=10cm,

，题图2所示的菱形的面积为；x8xio=4O（（7/r）.

故选B.

2.A解析:如图，令OA与B'C的交点为E.

,:四边形OABC是菱形,NA0045。，

・•・OC=BC,BC//OA,ZB=ZAOC=45°.

•.，CD_LAB,菱形沿CD所在直线折叠.点B的对应点为B,

匚□》=匚4=45口，

匚□BCB'=90，即BC_LB'C,

A0A1BC.

•・•点B的横坐标为4,・・・OE=4.

•:△CEO是等腰直角三角形，

AOE=CE=4,

[OC=>JOE2+CE2=4y/2,

[4c=4近，

・••点B的坐标为((4役+4,4).

故选A.

3.4解析:,・,四边形ABCD是边长为8的正方形纸片.BE=6,

,AB=BC=CD=DA=8,ZB=ZD=ZC=90°,

[AE=>]AB2+BE2=10,CE=BC-BE=S-6=

由翻折可知DF=FG.AG=AD=8,NAGF=ND=90。，

AEG=AE-AG=IO-8=2.

VFC=DC-DF=8-DF,

在RsFGE和RsFCE中，FG^GE^FC^+E^,

EZ)^+22=(8-DF)2+22,

解得DF=4.

4解:⑴•・•四边形ABCD是矩形,

JAB=DC=8.AD=BC=32,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°.

设CN=xJMDN=CD-CN=8-x,

由折叠可得PN二CN二x,

在RtAPDN中，DI^+D/=P城,

即42+(8-X)2=X2,

解得x=5,

即CN=5.

⑵当点C与点A重合时，

设DN=y,贝!]AN=AD-DN=32-y,

由折音可得BN=DN=y4C)=CD=8,lADN=nCZ)J=90.

在RtAAD'N中.AD'，BW=AW、

即82+^=(32-7)2,

解得y=15,

即DN=15.

如图，过点IVH^MHLAD.

D'

•・•西边形ABCD是矩形

，四边形ABMH,DCMH是矩形则设HN=a.

AAH=BM=32-i5-a=l7-a,HD=MC=AM=15+a.

在RtAABM中，AM2=AB2+MB1

(15+a)2=82+(l7-a)2,解得a=2.

在RlAHNM中，A/7^=HM2+//A^2=82+22=68,[MN=而=2g.

5.B

6.D解析:如图,•四边形ABCD为正方形，

/.OD=CC,ZODA=ZOCD=45°,ZDOC=90°,

而NPOM=90°,

即ZDOF+ZCOF=90°,ZDOE+ZDOF=90°t

.\ZDOE=ZCOFe

在AODE和^OCF中，

二DOEECOF、

{OD=OC、

ODE=UOCF,

AAODE^AOCF(ASA),

ASAODE=SAOCF,

；•SB也给EOFD=SADOC=4"s网才学4BCD=X4?=4(cm").

44

故选D.

7.何

8.解:(1)AG=CE.

证明:由题意,可得/GDE=6()o,GD=DE.

,/ZADC=60°,.\ZADG=ZCDE.

西边形ABCD是菱形,JAD=CD,

，AADG^ACDE(SAS),AG=CE.

(2)如图.过点G作GH_LAD,交AD的延长线于H,连接BD.

丁四边形ABCD是菱形.DJDC=60,

□4)8=ROC=30：

AZGDH=ZADB=30°.

在RIADHG中，OG=2V5,

cGH《DG=6,

匚DH=JDG2.GH2=X(26)2-(冈=3,

AAH=AD+DH=6.

在RtAAHG中,

AG=JA/H0=JR+®f=两，由(1)知(CE=AG=旗.

9.(1)证明:由旋转可得GB=DF,AF=AG,ZBAG=ZDAF.

,/四边形ABCD为正方形,JZBAD=90°.

,/NEAF=45。,，ZBAE+ZDAF=45°,

匚匚BAG+CBAE=45D=DEAF.

AG=AF,

在AAGEAFE中.｛匚产力瓦

AE=AE,

/.△AGE^AAFE(SAS),AGE=EF.

'：GE=GB+BE=DF+BE,EF=BE+DF.

(2)解:EF=DF-BE,

理由：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90解以ADG,交CD于点G,

同⑴可证得△AEb^AAGF(SAS),

/.EF=GF且DG=BE,

・・・EF:DF-DG=DF-BE.

10B解析:如图.连接BD,DF,DF交PP于H.

由预意PP'=AA三AB=CD,PP〃AA，〃CD,

:.四边形PP'CD是平行四边形。

■:四边形ABCD是菱形,NA=6(),

••.△ABD是等边三角形.

VAF=FB=2,

/.DF±AB,DF±PP,DF=^AD2-AF="?=2百,

AZAFE=ZFPH=30°,

222

LAE=\AF=\y3EF=y/AF2-AE=yj2-1=V3.

VP是EF的中点,□?“=与,

匚HF=：PF=*,

24

DH=DF-HF=26--,

44

平行四边形PP'CD的面积为字4=7遍.

4

故选B

11(1)证明:'•△ABC与^DEF是边长为8cm的等边三角形,

/.DF^AC,/ACF.=ZDEC=60°.

,/ZACE=ZDEC,，DE//AC,

:.四边形AEDC是平行四边形.

⑵解：四边形AEDC是矩形，理由如下：

;点B与点F重合.此时A,D,F在同一直线上，

・•・EF=CF=8,AF=DF=8.AAD=CE=16.

由⑴可知四边形AEDC是平行四边形，

・•・西边形AEDC是矩形.

12.D解析:连接BD,

丁四边形ABCD是菱形.

AB=AD9JADB=\DADC=60\

.•.△ABD是等边三角形,

AAD=BD.

又•••△DEF是等边三角形，

二ZEDF=ZDEF=60°,DE=DF.

又•・•NADB=6()°,

AZADE=ZBDF.

DE=DF,

在AADE和^BDF中，｛CADENBDF,

AD=BD,

，Z\ADE且△BDF(SAS),

.\AE=BF.

•，AE=l,CF=2l,

ABF=BC-CF=5-2t,

匚片5-27,口片：.故选D.

13.(3,4)或(2,4)或(8,4)解析:VD是OA的中点。

[OD=AD=\OA=5.

2

⑴当0P=0D=5时.

VC0=4,

22

CCP=>JoP-OC=3y

；・P(3,4).

⑵如图，当OD=PD=5时，

过点D作DN1BC于点N,则四边形

OCND为矩形，c|学叮；8

DN=OC=4,DO=NC=5.JfDx

匚PN=4DA-DN2=3,

从而CP=CN-PN=5-3=2或(CP=CN+PN=5+3=8,

・・・P(2,4)或(8,4).

⑶当OP二PD时、pg”

此时腰长为¥5.故这种情况不合题意,舍去.

故点P的坐标为(3.4)或(2,4)或(8,4).

14®:(1)SAD=2AB时,四边形PEMF为矩形.

证明:•/四边形ABCD为矩形.J/A=ND=90。.