二次根式单元复习（7大知识点+ 12大分层题型+易错重难点+巩固练习）原卷版-2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

二次根式单元复习

(7大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习)

【题型1】二次根式有意义的条件判断与求解

【题型2】利用二次根式的双重非负性求值

基础必考题型

【题型3】最简二次根式的判断与化简

【题型4】同类二次根式的识别与简单合并

第

【题型5】结合数轴化筒二次根式

19章

【题型6】二次模式的混合运算

二

次培优高频题型【题型7】分母有理化的灵活应用

根

【题型8】二次根式的化简求值

式J

【题型9】利用二次根式的运算解决实际问题

【迎0］二次上的小

压轴素养题型【题型11】二次根式的规律探究题

【题型12】二次模式的新定义运算双

知识点总结

知识点1:二次根式的概念

1.定义：形如再(a>0)的式子叫做二次根式，为二次根号，a为被开方数。

2.有意义的条件：被开方数F为非负数：若二次根式在分母上，还需满足被开方数大于0。

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知识点2：二次根式的双重非负性

L被开方数非负：a>0；

2.二次根式本身非负：Va>0(a>0)0

3.常见非负性结合形式：若|m|+而+p?=0,则m=n=p=0。

知识点3：二次根式的性质

性质表达式适用条件结论说明

(Va)2=aa>0非负数的算术平方根的平方等于本身

r-7..fa(a>0)

,序二|a|=J伯vo)a为任意实数任意实数平方的算术平方根等于其绝对值

Vab=Va-Vba>0,b>0积的算术平方根等于算术平方根的积

faVa

£=无a>0,b>0商的算术平方根等于算术平方根的商

知识点4：最简二次根式

1.定义：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式为最简

二次根式。

2.化简步骤：①去分母(分母有理化)：②开尽方内的因数/因式；③整理成最简形式。

知识点5：同类二次根式

L定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

2.核心特征：最简后被开方数一致，与根号外的系数无关。

知识点6：二次根式的运算

(1)加减法

1.步骤：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式(系数相加减，被开方数不变)：

2.注意：非同类二次根式不能合并。

(2)乘除法

乘法：Va-Vb=Vab(a>0,b>0),系数相乘作为积的系数；

除法：/I<a>0,b>0),系数相除作为商的系数。

Vb

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（3）混合运算

1.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的：

2.运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律均适用；

3.乘法公式：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2、完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b?对二次根式同样

适用。

知识点7：分母有理化

1.定义：通过分子、分母同乘一个式子，化去分母中根号的过程叫做分母有理化；

2.常见有理化因式：石的有理化因式为内：返士伤的有理化因式为石下后。

【基础必考题型】

【题型1】二次根式有意义的条件判断与求解

1.核心知识点：

二次根式的概念；分式有意义的条件；不等式（组）的求解

2.解题方法技巧：

单二次根式：直接列被开方数N0求解；

二次根式在分母：列被开方数>0求解；

多个条件结合：列不等式组，取各解集的公共部分。

【例题1】.（25-26八年级上•湖南长沙•期末）若二次根式疡7有意义，则》的取值范围是（）

A.x>0B.x>6C.0<x<6D.“为一切实数

【变式题1-11（25-26八年级上•安徽合肥・期末）若VI』在实数范围内有意义，则x的取值范围是

【变式题1-2】•（25-26八年级上湖北黄冈•期末）若式子弟在实数范围内有意义，则工的取值范围

x-2

是.

【变式题1-3].（25-26八年级上湖南湘潭•期末）代数式焉有意义，则实数x的取值范围是（）

A.x>5B.x>5C.x>—5D.x>—5

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【题型2】利用二次根式的双重非负性求值

1.核心知识点：

二次根式的双重非负性；绝对值、平方的非负性；非负数和为o的性质

2.解题方法技巧：

识别题目中的非负式（百、|叫、p2等）：

根据“非位数的和为0,则每个非负数均为0”列方程（组）求解字母值：

将字母值代入代数式计算最终结果。

【例题2].（25-26八年级上•四川成都・期末）若m为实数，且满足=0,则血的值为.

【变式题2-1].（25-26七年级上•北京・期末）若|a+l|+Vb—2027=0,则a+b的值为.

【变式题2-2].（25-26八年级上•四川达州•期末）已知实数Q,匕满足（Q+与^一2025互为用反数,则次

的值为.

【变式题2-3].（2025九年级下贵州•专题练习）若|a-l|IVT=II（c—3）2=0,求abc的值.

【题型3】最简二次根式的判断与化简

1,核心知识点：

最简二次根式的定义：二次根式的性质

2.解题方法技巧：

判断：紧扣“无分母、无开得尽方的因数/因式”两个条件；

化简：①被开方数有分母，利用商的性质去分母；

②被开方数有开得尽方的因数，利用积的性质拆分开方。

【例题3】,（25-26八年级上•广东惠州•期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.B.V5C.V12D.V25

【变式题3-1].（25-26八年级上•浙江杭州•期末）将仞化简，止确的结果是（）

A.3V3B.±3V3C.3炳D.±3V9

【变式题3-2】.（25-26八年级上浙江•假期作业）化简:

（1）\^72

（砾

⑶年

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唯

⑸标位（其中7九>0,71<0）

（6）底（其中Q>0,O0）

【变式题3・3】.（25-26八年级下全国•课后作业）若n是正整数，标是最简二次根式，则九可以是

（写出一种情况即可）.

【题型4】同类二次根式的识别与简单合并

1.核心知识点：

同类二次根式的定义：二次根式的加减法法则

2.解题方法技巧：

识别：先将所有二次根式化为最简，再比较被开方数是否相同；

合并：同类二次根式合并时，根号部分不变，系数相加减，结果化为最简。

【例题4].（25-26九年级上•福建泉州•期末）下列各式中，与V2是同类二次根式的是（）

A.V6B.V27C.V8D.V4

【变式题4-1].（25-26八年级上福建厦门•期末）下列二次根式，能与迎合并的是（）

A."B.V6C.x/8D.V20

【变式题4-21.（25-26九年级上•四川资阳•期末）若最简二次根式后二I与乃是同类二次根式，则m=—.

【变式题4-3].（25-26九年级上•重庆♦期末）已知最简二次根式Jx+y+1与J6—无+2y是同类二次根式,

最简二次根式J6%—y—7与—3y+1是同类二次根式,则的值为.

【培优高频题型】

【题型5】结合数轴化简二次根式

1.核心知识点：

V?=|a|；数轴上数的大小关系；绝对值的化简

2.解题方法技巧：

根据数轴确定字母的正负及字母间的大小关系：

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判断根号内平方式的底数的正负，将二次根式转化为绝对值：

按绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项化简。

【例题5】.（25-26九年级上•福建泉州•期末）实数a力,c在数轴上的位置如图所示，化简J（c一」）2—|a+c|

的结果为—.

—t61------L

【变式题5-1】・（25-26九年级上•河南新乡•期末）实数〃，〃在数轴上的位置如图所示，则向+J（a+b）2

—1----1-------------------1—►

a0厂

【变式题5-2】,（25-26八年级上河北张家口期末）实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化

简阳+J（b—a）2的结果是.

■・----•----->

b0a

【变式题5-3].（25-26八年级下全国•单元测试）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示.化简：必一

a

---1・▲▲1-----1—>

-2-1012

【题型6】二次根式的混合运算

1.核心知识点：

二次根式的四则运算；运算顺序；乘法公式的应用

2.解题方法技巧：

严格遵循“先乘方开方，再乘除，最后加减”的运算顺序；

遇到乘法公式结构（如平方差、完全平方），优先用公式简化计算；

每一步运算后，及时将结果亿为最简，方便后续计算。

【例题6】,（2025九年级下•辽宁・专题练习）712+（-1）-1-|>-3）°+|73-3|;

【变式题6・1】.（25-26八年级上广东河源•期末）计算：

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(lh^8+V12-3V2

(2)(V5-V3)(V5+V3)+^

【变式题6-2】,(25-26八年级上广东梅州•期末)计算:

(1)V3x76-(_1产24_|i_V2|

⑵(百+2)2+(V3+2)(73-2)-4

【变式题6-3].(25-26九年级上四川资阳•期末)计算:

(1)V12-V20-+V02

(2)V24-V3-V18+(V2-1)2

【题型71分母有理化的灵活应用

1.核心知识点：

分母有理化的定义：有理化因式的确定；分式的基本性质

2.解题方法技巧：

单根号分母：分子分母同乘该根号，消去分母根号；

含和/差的根号分母：分子分母同乘其有理化因式，利用平方差公式消去分母根号；

化简后注意约分，保证结果最简。

【例题7].（25-26八年级上•上海・周测）计算：（1一遍V—卷+（看）°.

【变式题7-1].（25-26八年级上河北承德•期末）（1）计算：后一道+2百

（2）分母有理化：系

V2-1

【变式题7-21.（25-26八年级上•上海・期末）。力为有理数，且诟为无理数,a+2诟的一个有理化因式是

【变式题7-3].（25-26九年级上福建厦门•期末）先化简,再求值：（1一3）+与誓，其中m=O

+3.

【题型8】二次根式的化简求值

1.核心知识点：

二次根式的化简与运算：乘法公式；整体思想

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2.解题方法技巧:

直接代入：先化简已知条件和所求代数式，再将字母值直接代入计算，结果化为最简：

整体代入：分析已知与所求的结构，构造a+b、a-b、ab等整体并求其值，将所求代数式变形为含整

体的形式，代入计算简化运算。

【例题8】.（25-26八年级上•云南昆明・期末）已知丫=7^=1+后九+2,则必=.

【变式题8-1].（2S-26八年级下全国•单元测试）已知x+y=-5,xy=4,求+臣的值.

【变式题8-2],（25-26八年级下全国•周测）已知y=7^石+遮=+4,求,d_2%y+y2+

^4x2—4xy4-y2的值.

【变式题8-3].（25-26八年级上江苏扬州•月考）已知对％+y=—6,xy=4,求J|+的值.

【题型9】利用二次根式的运算解决实际问题

1.核心知识点：

二次根式的运算；长方形、正方形的周长/面积公式

2.解题方法技巧：

根据几何图形的公式列出含二次根式的算式；

按照二次根式的运算规则计算；

结果结合实际问题保留合适的形式（如最简二次根式）。

【例题9】.（25-26八年级上•河北张家口•期中）如图（单位：cm）,三张大小不同的正方形纸片叠放在一

起，中间正方形纸片的面积为40cm2,设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为〃，山

⑴直接写出m岳

（2）求。2一块

【变式题9-1】•（25-26八年级上•辽宁沈阳•月考）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为18cm2和12cm2

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的两个小正方形木料.

□

18cm2

12cm2

⑴裁去的两块正方形木料的边长分别为cm和cm；

⑵求剩余木料的面积；

⑶如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为4cm,宽为1cm的长方形木条，最多可以裁出块这样的

木条.

【变式题9・2】,（25-26八年级上广西来宾•期中）如图，用三张边长不同的正方形纸片甲、乙、丙和一张

面积为2鱼的长方形纸片丁紧密拼接形成一个大长方形，已知丙纸片的面积为2.

|丁I内

甲

⑴则甲纸片的边长为.

⑵求正方形乙的边长；

⑶求正方形甲的面积；

⑷求正方形甲的面积是长方形丁的面积的多少倍.

【变式题9-3】・（24-25七年级下湖北武汉•期中）如图1,长方形内两正方形A和心它们的面积分别为acm2

和6cm2.

（1）当。=81,b=30时.

①则长方形的宽为cm,长为cm,图中两块阴影部分的面积和为

cm2；

②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为3:2的长方形，其面积为60cm2,请问，能否裁出符合要求

的长方形？试说明理由：

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（2）先在长方形内分别裁剪出正方形力和从再按图2的方式把正方形力裁剪成四个相同的史角三角形，它们

恰好与正方形8拼接成一个大正方形，请直接写出a与b的数量关系.

【压轴素养题型】

【题型10]二次根式的比较大小

1.核心知识点：

二次根式的性质；实数的大小比较；倒数法、平方法

2.解题方法技巧：

平方法：对于正的二次根式，平方后比较有理数的大小，平方大的原数大；

倒数法：对于形如而TT-G的式子，先求倒数，倒数大的原数小：

作差法：两式相减，判断差的正负，差正则被减数大，差负则减数大。

【例题10].（25-26八年级上•广东梅州•期末）比较大小：7—2V3.（选填","或"V"）

【变式题10-1].（2025八年级上•全国・专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用"平方法”会

取得很好的效果.例如:比较a=2b和b=3&的大小，我们可以把谢b分别平方,因为小=12力2=18,

2

所以Q2<bt所以a<b.

请利用“平方法”解决下面问题：

⑴比较大小：472277（填“或.

⑵猜想m=2V5+V6,n=2百+m之间的大小，并说明你的猜想.

【变式题10-2].（24-25八年级下•青海海东•月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个

正数a,b,若a>b,则依>逐.随后讲解了一道例题：试比较28与3企的大小.

29

解：•••（2巡）=12,（3V2）=18,

而12<18,

•••2百<372.

参考上面例题的解法，回答下列问题：

⑴试比较一3面与-5国的大小；

⑵试比较遥+1与2+鱼的大小.

【变式题10-3】,（24-25八年级下•四川泸州•期中）按要求进行二次根式的有关计算：

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222

(1)阅读：(&-1)=(V2)-2xV2x1+I2=2-2^+1=3-272,反之，3—2五=(四一1)；

(V5+V7)2=(V5)2+2x遍x近+(V7)2=5+2735+7=12+2屈，反之，12+2V35=(V5+V7)2.

应用：，5-2e=.

/TX寺___6xV10_6\/10_3V10_____2(3+鱼)2(3+际6+2左

-2

(2)圆跌：.3_^-(3-72)(3+72)32-(V2)~

应用：方程2(%—2)=仃。一遍)的解是.

(3)阅读：己知％=企+仃，y=V3+V6,试比较X,y的大小；不好直接比较，可用如下方法：

X2=(V2+V7)2=94-2\/14»y2=(V3+V6)2=9+2>/18»因％2<y2,且工，y都是正数，故％<y.

应用：比较大小：V5+V6V3+V10,2+V73+V2.

【题型11]二次根式的新定义运算题

1.核心知识点：

新定义运算；二次根式的运算；阅读理解能力

2.解题方法技巧：

认真阅读新定义的运算规则，明确运算符号的含义：

将新定义运算转化为常规的二次根式运算；

严格按照新规则的条件和步骤计算，注意分类讨论（若有）。

【例题11】.（24-25八年级下•福建福州•月考）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，

两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.我们新定义一种三角形：两边的平

方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形.

⑴根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定（选填"是"或"不是〃）可爱三角形；

⑵若三角形的三边长分别是4,2石，4V2,请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形.

【交式题11・1】・（24-25八年级卜.•云南大理•期中）规定用符号印表示一个实数的整数部分，例如n=0,

[VW]=3,[1.23]=1,并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：

（1）[V14]=,g的小数部分为；

⑵已知小人分别是（2伤一2&）x6的整数部分和小数部分，求。，力的值.

【变式题11-2】•（24-25八年级下•黑龙江齐齐哈尔・期末）我们规定：对于任意的正数小、〃的运算"6〃为当

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时，m<Pn=2>/m+Vn；当mN八时，m<Pn=2Vrn—Vn,其他运算符号意义不变，按上述规定，计

算（362）—（8中12）的结果为（）

A.-572B.3&C.4V3-3V2D.S近,-4近

【变式题11-3］.（25-26八年级上•全国•单元测试）定义一种新的运算，取名为⑥运算，按这种运算进行运

算的算式举例如下：

①（+4）⑥（+2）=+6；②（_4）⑥（-3）=+7；③（_5）合（+3）=-8；（4）（+6）O（-4）=-10；⑤

（+8）00=+8；⑥0g（_9）=+9.

⑴【阅读归纳】请归纳③运算的运算法则：

两数进行③运算时，:特别地，。和任何数进行❷运算，或任何数和0进行③运算，都得

（2）【理解运用】计算：［（一四）（8»（+倔）］⑥［（一夜）㊈0］.

【题型12］二次根式的规律探究题

1.核心知识点:

二次根式的运算；规律探究；归纳推理

2.解题方法技巧:

计算前3~4个式子的结果，观察结果与序号的关系;

归纳出通用的规律表达式，并用序号验证规律的正确性;

根据规律求解后续式子的值或第n个式子的表达式。

【例题12］.（24-25八年级下•安效铜陵•期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过"由特殊到一般〃

的方法探究下面二次根式的运算规律.

下面是小石的探究过程，请补充完整:

⑴具体运算，发现规律.

特例1：

特例2：

特例3：

特例4：J”看=46

特例5：（填写运算结果）.

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（2）观察、归纳，得出猜想.

如果〃为正整数，用含〃的式子表示上述的运算规律为：.

⑶应用运算规律.

若=7g（a,b均为正整数），则a+b的值为.

【变式题12-1】・（24-25八年级下•安徽六安•月考）探索下列等式规律，并解决下列问题:

【规律发现】

第1个等式：%二表=鱼一1；

第2个等式：也==遍一岳

第3个等式：的=w3=2—75；

第4个等式：a4==V5-2；

【规律探索】

（1）第5个等式：:

（2）如果〃为正整数，用含〃的式子表示上述第〃个等式为：

【规律应用】

（3）计算.-^―+—-—+—^―工…+2+------------

“1+V2V2-t-V3V3+2V2023-»-v<2024VZOZ5+S/ZOZS,

【变式题12・2】.（2025•安徽合肥一：模）某同学根据学习"数与式〃积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方

法探究下面二次根式的运算规律.下面是他的探究过程，请补充完整：

⑴具体运算，发现规律.

特例1：口1=再=口1=26

特例2：户^=呼=^^=3电，

特例3：小+台班,

特例4：.

⑵观察、归纳，得出猜想.

如果71为正整数，按此规律第几个式子可以表示为：.

⑶应用运算规律：

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①化简：2024+-^-xV4052=____________.

y2026

②若11Ji（a，b均为正整数），Ma+b=

【变式题12・3】.（25-26八年级下•全国•单元测试）观察下列各式：

成+专=1+"-3=玲

J1+专+专=1+:3=*；

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：

⑴J1+3+春=----

⑵请你按照上面每个等式反映的规律，写出用〃（n为正整数）表示的等式:并验讦该等式的正确

性.

⑶利用上述规律计算：悟W（仿照上式写出过程）.

复习总结

易错点

1.忽略二次根式有意义的条件，求解时未考虑被开方数非负，尤其忽略二次根式,在分母时被开方数需大于0

的情况。

2.误用必=2,未考虑a为负数的情况，忘记先将二次根式转化为绝对值再化简。

3.合并二次根式时，未先化为最优二次根式，直接将非同类二次根式合并，导致运算错误。

4.分母有理化时，选错有理化因式，或分了分母同乘后木利用乘法公式化简，运算步骤繁琐出错。

5.二次根式混合运算时，打乱运算顺序，或忽略乘法公式的应用，导致计算量增大且结果错误。

重点

1.二次根式有意义的条件求解，以及利用双重非负性解决非负数和为0的求值问题。

2.二次根式的核心性质（（6>=a、必=间、积和商的算术平方根）的灵活应用。

3.最简二次根式的判断与化简，同类二次根式的识别与合并，这是二次根式运算的基础。

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4.二次根式的混合运算，包括四则运算、乘法公式的应用，掌握正确的运算顺序和简便算法。

5.分母有理化的方法，能根据分母的形式选择合适的有理化因式，化去分母中的根号。

难点

L结合数轴化简含二次根式的代数式，需准确判断数轴上字母的取值范闱，完成二次根式到绝对值再到整式

的转化。

2.二次根式的化简求值之整体代入法，需要具备构造整体、变形代数式的能力，将复杂求值问即简化。

3.二次根式的规律探究和新定义运算，需要较强的阅读理解、归纳推理和知识迁移能力。

4.二次根式的比较大小，需根据式子的特征选择合适的方法（平方法、倒数法、作差法），灵活运用二次根

式的性质。

5.含分类讨论的二次根式综合题，需准确识别分类条件，做到分类不重不漏，逐一分析求解。

巩固练习

【对应练习题】

一、单选题

1.（2026•江苏苏州•模拟预测）下列运算正确的是（）

A.2a♦3a=6aB.（x—y）2=x2-y2

C.-（a2）3=a6D.（3V3）2=27

2.（25-26八年级上•河南驻马店•期末）在下列实数中，是无理数的是（）

3•*f—

A.-7B.一炳C.2.15D.y/8

3.（25-26八年级上•上海普陀・期末）下列二次根式中，与伍（Q>0）是同类二次根式的是（）

A.V4a：B.倔？：C.J|；D.旧.

4.（25-26八年级上•浙江绍兴•期末）下列式子化简正确的是（）

A.V4=±2B.乃=2疗C.炳=-3D.V12=273

5.（25-26九年级上•山西晋城•期末）要使代数式7^=1+万荔有意义，则》的取值范围是（）

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A.x>1B.x<1C.x=1D.全体实数

二、填空题

6.（2025九年级•全国•专题练习）计算：俘+J苧一q=.

7.（25.26八年级上•山东滨州•期末）若代数式，2026二工有意义,则"的取值范围是.

8.（25-26九年级上•四川眉山•期末）若y=V2%—1+V1—2L+4,贝ky=.

9.（25-26八年级上•广东惠州•期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是病cm,

宽是场cm,后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为cm.

10.（25-26八年级上•河北衡水・期末）计算：（4\月+7）2°2S（4b_7，°24=.

三、解答题

11.（25-26八年级上•广东惠州•期末）计算：

（l）（12a3-6a2+2a）-^（2a）；

⑵（28-遍）（2机十乃）

12.（25-26八年级上•山东济宁•期末）先化简,再求值:

（D（*一3，^^一百，其中％=

⑵（一”