浙江省衢州市2025-2026学年高二年级上册教学质量检测数学试题

浙江省衢州市2025-2026学年高二上学期教学质量检测数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线y=Gx+3的倾斜角为()

5n

A.£B.巴C.史D.—

6336

2.已知数列&｝为等差数列，%+%=15,&=6,则生=()

A.3B.6C.9D.12

3.函数/(x)=e"在点(Le)处的切线方程为()

A.y=eB.y=x-\+c

C.y=ex-2eD.N=ex

4.已知向量满足M=a\\b,万万=4《，则|可=()

A.72B.2C.2x/2D.4

5.在平面直角坐标系中，耳，人为》轴上关于原点O对称的两点，且忻用上4,动点尸满

足|尸"|+|尸用=4,当代_Lx轴时，|尸四=1,则动点尸的轨迹方程为()

A.—+^-=1B.—+^-=1C.—+/=1D.—+^-=1

42244-168

6.已知奇函数/(X)的定义域为R,当x>()时，矿(x)-/(x)>0,则()

A./(1)>/(2)B./⑴>2/(2)

C./(2)>-2/(-1)D./(-2)>-2/(1)

7.已知数列'+1是首项为2,公比为2的等比数列，S”为数列｛q｝的前〃项和，对

>2026,“wN”,则()

A.B.a“之焉C.\>2D.S/2

ZUZo

试卷第1页，共4页

8.已知双曲线C：1(〃>0,6>0)的左右焦点分别为月，F2,。为双曲线右

(Th~

支上一点，当/耳空=60°时，鸟的内切圆半径为。，则双曲线C的离心率6为()

A.3B.V2C.炯5D.8+亚

363

二、多选题

9.过抛物线C：炉=4%焦点/的直线/与。交于力，8两点，力在工轴上方，则

A.抛物线C的准线方程为x=-1B.当/的愤斜角为三时，|力用=4

11

C.当/垂直于x轴时，弦长|力同最小D，由+函一

10.若函数/(X)=(X-1)2(4-X),则()

A./(x)只有一个零点B.x=3为/(力的极大值点

C.当xK4时，/(x"0D.当0<x<l时，/(4)>/，)

H.已知数列MJ,也｝满足勺%=屋…*S,,为数列｛%｝的前〃

项和(〃eN.),则()

A.4=5B.数列也+1｝为等比数列

50

C.al00=3-2-lD.S2，T=9・2"T-3〃-5

三、填空题

12.已知数列｛q｝满足，。,+]+4“=1("WN,)，%=1,则,026=.

13.已知椭圆「：立+匕=1的左右焦点分别为大，玛，过月的直线与该椭圆交于P,。两

43

点，若|P£|=2,则|P0|=.

14.已知关于x的不等式3之21no+21nx-2x+l恒成立，则实数。的取值范围为.

e

四、解答题

试卷第2页，共4页

15.已知直线/：kx+y-2k-2=0,圆C：x2+-6x-=0.

(1)求证：直线/过定点；

(2)若直线/与圆。交于/,8两点，求弦长|力用的取值范围，并求|力以取到最值时对应£的

值.

16.如图，在三棱锥产一/18。中，PA=PB=PC=2五AB=BC=2,ZABC=~.

2

(1)证明：ACA.BP；

(2)求直线PA与平面P8C所成角的正弦值.

17.已知数列｛〃“｝的前〃项和为邑(〃wN*).

⑴若二24-1,

(i)求数列｛%｝的通项公式；

(ii)数列也｝满足A=2,be--”,求数列｛4｝的通项公式：

(2)若数列上｝是首项为1,公差为d(tZ>0)的等差数列，且q=l,求证:

Cn+2

18.设函数/(x)=A2-2.rlnA+(2-26T).¥.

(I)当。=1时，求/("的单调区间；

(2)己知/(x)的导函数为g(x),若g(x)有两个零点,求实数。的取值范围：

⑶若/(x)+3«0有解.，求实数。的取值范围.

19.已知抛物线C：<=4x,过点尸(1,4)的直线/交。于4(%,必)，8(再,乃)(必工必)两

点，点彳在线段形上.

试卷第3页，共4页

•Q

or

(1)求证:(乂一4)(必一4)二12；

⑵若点。(3,2)不在直线/上，斜率为去的直线4分别交直线1，QP,QB于M,T,N三

点，

(i)求证：点7为线段MN的中点；

(ii)当直线4经过点力时，记△。取的面积为S，APB。的面积为反，求兴的最大值.

试卷第4页，共4页

《浙江省衢州市2025-2026学年高二上学期教学质量检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BCDCACDDABCBC

题号11

答案ABD

1.B

【分析】由斜率与倾斜角的关系求解.

【详解】因为直线方程为），=省工+3,所以直线的斜率上=6，

设倾斜角为a，则tana=G，又。£[0,兀），所以a=：,

故选：B.

2.C

【分析】利用等差数列下标和的性质求解.

【详解】因为｛可｝是等差数列，4+7=6+5,所以%+%=4+%，

所以为=15-6=9,

故选：C.

3.D

【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式可得结果.

【详解】/'（》）=炉，所以后=//l）=e：e,

则切线方程为》-e=e（x-l）,整理得V=cx.

故选：D.

4.C

【分析】由共线向量可设5=2万=卜,人血），再由数量积运算即可求解.

【详解】由。=（1,1,正），可演，得6=必二b,九©1）.

由鼠5=4夜得，A+A+22=4V2＞得2=正，则月=（及，陵,2）,

得W=J（夜丫+（旬工—6,

故选：C

5.A

答案第1页，共14页

【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆,由|「用+归用=4求得%由|P用=1求得凡即

可得到椭圆方程.

【详解】由题意得，归用+|P£|=4>闺闻,

则点P的轨迹为以K，鸟为焦点的椭圆，所以2〃=4,即。=2.

因为松区为x轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在x轴上，

设其方程为工+E=l(2M>0)，£(-C⑼,8(C,0)(C>0),则从+/=4,

4b"

将x=w代入方程得F=、(4—一)=£,

’44

因为|尸制二1，所以尤=1,解得从=2,故椭圆方程为《+《=1.

242

故诜：A.

6.C

【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断.

【详解】令g(x)=§,因为当」>0时,^(X)-/(A)>0,

所以=.vf(A)-./(1-)〉0,所以g(x)在(0,内)单调递增，

g(x)定义域为(YO,0)5°，+8)，X'iVX€(-OO,0)U(0,+<X)),-XG(-X,0)U(0,+OO),

且g(T)=£lz"=乜£=££=gk),所以g(x)是偶函数，

一X-XX

对于A、B：因为g⑴<g(2),即平<等1,所以2/⑴</⑵，A、B错误;

对于C：因为g(—l)=g(l)<g(2),即止型,所以/(2)>-2〃-1),C正确;

—12

对于D：因为g⑴<g(2)=g(-2),即四〈生生所以/(一2)〈一2/⑴，D错误.

1—2

故选：C.

7.D

【分析】先由等比数列通项公式求出(，再根据其单调性判断。”的范围，利用放缩法求出E,

范围，作出相应判断.

【详解】因为数列,+11是首项为2,公比为2的等比数列，

4

答案第2页，共14页

所以：+1=2X2"7=2"，整理得牝=晶.

对于A、B：由指数函数性质可知，因为见=4,所以｛%｝单调递减,

当”>2026时，q,<。2026=-1<4，A、B错误；

对于C、D：因为当〃22时，2"-1>2”|，所以

2—12

””,111,111—2-?2,

所以S“=1+——+———+…+----<1+-rH-「…+—T

“22-123-12-12222"112"「

1--

2

C错误，D正确;

故选：D.

8.D

【分析】设忸制=切,|叫卜〃，由双曲线的定义得到|必||即|=，〃，?=2*利用余弦定理

得到|£周2=|百『+陷〉2灯讣肥,解得〃皿=牝2-4/,利用

(ni+n)2=(m-n)2+4nin计算出〃?+〃，利用△平巴的周长为|历|+|帆|+忻用=〃?+〃+2c

即三角形的面积公式得到g(m+〃+2t»=旨即，代入加+〃，〃?〃，〃的值，经过整理

(Ue?-3/+c)a=6(廿-,通过计算求出双曲线0的离心率e的值.

【详解】•••双曲线C：4-4=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为6，E,

a~h~

。为双曲线右支上一点，

设耳|=m]PF2\=n,|P胤一归闾=m-n=2a,

•••4F\PF»=60°,

2

二.比图2=\PF^\PF^-l\PF^\PF^cosAF.PF2=nr+n-lmn-

4c2=m2+n2-mn,4c2=(m+2mn-mn,

4c2=4a2+mn,mn=4c'-4a2.

••,(归用+俨闾)2=(|阿卜1尸用)2叫尸修明，

...(〃？+〃)'=(〃？一〃『+4mn,+=4a2+4(4c2-4a2),

I〃)=16c*12a",.・.〃？+〃=2>4(。一3a'»

答案第3页，共14页

•.•△尸耳玛的周长为|P£|+P闾+忻闾=m+〃+2c,

△百6的内切圆半径为1二。,

・7叱=3|历"+；|尸图・厂+；恒周八；（|尸制+|尸局+忻周）厂=；（，"+〃+2+,

P

又S、PF\F、~~|尸尸11,|PF2|sin"]P尸2=9〃sin60=»

—(m+n+2c)r=^-mn»

2V)4

『=。，mn=4c2-4a2,ni+n=2\14c2-3a2，

g(〃？+〃+2c)r=~~mfJ转化为:(2,4c。-3a」+2c

22

/.^4c-3a+c)Q=百七2—/),

aJ4c2-3/=框(c2-a-Yac，

/.4a2c2-3a4=3(/_/)+a2c2-2y/3ac^c2-/),

9a2c2-6a4-3c4+2x&c3-2^a3c=0,

.♦.G/-2e3-3>5?+2e+26=0，

即6(/-1)卜2-2)-2《/-1)=(e2--2e-2rA=(，

•.・双曲线C的离心率e>l,...八6十用

【分析】由抛物线方程可判断A,利用抛物线定义结合儿何图形运算可判断BCD.

【详解】由抛物线C：/=4x可得焦点少（1,0）,准线方程为x=-l,故A正确:

答案第4页，共14页

如图根据抛物线的定义可知：\^\=\AF\,\AE\=\AF\c^=^-\AF\,

J4

由|力。|=|。同+区/|=2+5力日=|力曰=>|/日=4,故BE确；

2

设N/Er=a,则2+cosaM可=|力尸=一二一，

2

同理可得：2-cosa忸尸|=忸尸|n忸尸卜用一,

所以“同+忸川=/二一+/匚=%=一~24,

1-cosa1+cosa1-cosasina

此时。二三取到最小值，故C正确：

2

11I-cosa1+cosa2,

由上可得：时+画=^+^-=5土故D错误；

故选：ABC

10.BC

【分析】解方程/(x)=0.可判断A选项；利用函数极值点与导数的关系可判断B选项；

利用不等式的基本性质可判断C选项；利用函数/(x)的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，由/(力=(n-1)2(4-x)=()可得，x=l或x=4,故函数/(x)有两个

零点，A错：

对于B选项，/,(-r)=2(x-1)(4-x)-(x-1)2=(x-l)(9-3.r)=-3(x-l)(x-3),

由r(x)>0可得1cx<3,由/'(x)<0可得x<l或x>3,

所以函数/(工)的减区间为(-8,1)、(3,+a>),增区间为(1,3),

故x=3为函数/(x)的极大值点，B对：

对于C选项，当xW4时，(x-1)2>0,4-x>0,则/(x)=(x-l)-(4-x)20,C对；

对于D选项，因为函数/")在上单调递减，且当xe(O,l)时，/<》，

答案第5页，共14页

即0<x2<x<],所以/(/)>/&),D错.

故选：BC.

il.ABD

【分析】应用分段数列计算判断A,分项数为奇数及偶数结合等比数列定义计算判断B,C,

应用分组求和及等比数列求和公式计算判断D.

【详解】因为数列｛叫，也｝满足％TH；^

所以q=l,4=%=%+1=2〃2+1=2(6+1)+1=5,A选项正确；

当项数为偶数时,%=。"+1=2生1+1,所以〃=2%+1,

所以％=22+1,

导十*D2,：：)=2,且々+1=%+1=("+1)+1=3,所以数列也+1｝是以3

n"/I

为首项，以2为公比的等比数列，B选项正确；

"+1=3x2"，所以％"=，=3X2"T-1,所以《00=3X249-1,C选项错误；

当项数为奇数时，牝m=2"2〃=3x2”-2,

S2”_|=(%十%十%十...十生“7)十(42十4十4十.一十々2吁2)

=3(20+2,+22+---+2,,-,)-2/?+3(20+2,+22+"-+2,,-2)-(/7-1)

[一2"1-2'-'

=3x-i—2x/z+3x——Gz-1)

1-21-2'7

=3X(2"-I)—2〃+3X(2"T-1)—(〃—1)

=9X2"T-3〃-5，D选项正确;

故选：ABD.

12.0

【分析】根据数列乩｝的周期性求解.

【详解】由。/i+q,=i可得%+2+%川=1，

两式相减得-%=0,即%.2=an

答案第6页，共14页

所以｛%｝是周期为2的周期数列.

因为q=I,q+%=1,所以%=0，因为2026为偶数，所以生026=%=。，

故答案为：0.

3T

【分析】由俨用=2,得|P曰=2,不妨设点P为上顶点，设直级球;的方程为：y=-氏x+百,

与椭圆方程联立，求出交点的横坐标，再由弦长公式求解.

【详解】依题意得，〃=2,6=6,得c=V7=7=1

则|「制+|尸鸟|=2“=4,而|尸用=2,得附|=2,

则点P为椭圆的短轴的一个端点，不妨设点尸为上顶点，即「倒,4),尼(1,0)

则直线根的方程为：7+^=1,

173

即y=-y/5x+\/3»

)'=-石4+百2

由/2,消去匕-2x=o,

二+乙=14

43

Q

得x=0或X=不

得|P0=J1+4石0-1=y,

故答案为：y

14.(0,e]

/-

【分析】令/=与，可得feo,-,原不等式可化为/22hn+l,令g(/)=-21n―中>0),

eIe_

要使g(/)之0对所有，/()上恒成立，需满足@7,进而求出。的取值范围.

keje

ax

【详解】由不等式可知a>(),%>(),令/=与，

e

当xe(0,l)时，f>0,f单调递增；当xe(l,+oo)时，/<0,1单调递减,

答案第7页，共14页

当X=1时，，取得极大值也是最大值一，

C

又Xf0♦时，/->0,Xf+oo时，/->0,所以ze(o!.

又In1=Ina+Inx-x,

所以原不等式可化为，N2ln/+l,

令g(/)=-21nI(/>0),则g«)=l_；,

当海(0,2)时,g'(f)<0,g(/)单调递减；当f«2,+oo)时,g'(Z)>0,g⑺单调递增.

又g⑴=。，所以要使g⑺20对任意，/0闵成立，则在区间(0，』内不能取得使g(/)<0

ejIe」

的值，

由函数性质可知，当>1时，g。)会出现负值，故须满足乌5,解得。《e,

C

Xa>0,所以0<aWc,即实数々的取值范围为(0,e],

故答案为：(0,可.

15.(1)证明见解析

(2)[4夜,2痴],A=7时弦长最小，％=1时弦长最大

【分析】(1)利用方程变形为〃(x-2)+y-2=0,即可得到直线过的定点为(2,2)；

(2)利用圆的几何性质，即可得到最长弦和最短弦，及对应的直线斜率.

【详解】(1)直线/：h+y-24—2=0可化为A(x-2)+y-2=0,

令x=2,求得y=2,.,.直线/过定点(2,2).

(2)圆C：x2+/-6x-2v=0=>(x-3)2+(y-l)2=10,

可知圆心为C(3,l),半径为J历.

直线/：依+y—2攵-2=0的斜率为一〃，

答案第8页，共14页

记定点(2,2)为归。|=拒＜丽，点。在国内，

当直线/过圆心。时，弦长|力回最长，

由脑=羽=-1，此时4=】，弦长|明的最大值为2所

当直线/JL/C时,弦长最短,

此时的8=1,k=7,弦长|力切最小值为2廊717?=第，

故弦长的取值范围为［4&,2、丽］,

A=1时弦长最大,后=-1时弦长最小.

16.(1)证明见解析

【分析】(1)取力C中点通过等腰三角形性侦证明垂直十平面内的两条相交

直线P”和从必，从而证得4CJ■平面尸,进而得到,4C_L8P；

(2)先通过已知条件计算线段长度，证明再以M为原点建立空间直角坐标系,

求出平面08c的法向量，最后利用向量夹角公式求出直线。力与平面08C所成角的正弦值.

【详解】(1)取力C中点M,连接PM,BM,

PA=PC,PM±AC,AB=BC,BM1AC.

又BMCPM=M,BM,PMu平面PBM

「•直线AC1平面PBM,BPu平面PBM,：.ACIBP.

(2)AB=BC=2,ZABC二三,

2

:.AC=2BM=2日且8A/_L4C,

又PA=PC=2^=AC，：.PM=瓜，

乂PB=26,APM2+B\f2=PB2>:.PM上BM,

如图建立空间直角坐标系，则40%),4(右,0,0),网0,正,0),C(-^,0,0),

答案第9页，共14页

9=(&(),-瓜),而=(后,(),#),C5=(x/2,V2,0),

设平面PBC的法向量n=(x,y,z),

ii-cp=o\[lx+\[bz=0

则J即《

n-CB=Ox/2x+-Jly=0

令x=G，解得平面PBC的一个法向量方=(V3,-x/3-1),

|尸月•万|=2m

直线PA与平面PBC所成角。的正弦值sin0=cos(P/1,而］而

网.网广2必/7

・••直线产力与平面PBC所成角的正弦值为叵.

7

n',nl

17.(1)(i)an=2(ii)bn=2-+\

(2)证明见解析

【分析】(1)先利用S,与4的关系求出等比数列｛4｝的通项，再通过累加法或构造常

数列求出｛a｝的通项;

(2)对分式递推式，通过累乘法或构造常数列求出｛/｝的通项，再裂项相消求和并分析其

范围.

【详解】(1)(i)令〃=1.。］=24-1,4=1,

S=2a-\

当()..则=2。”一2。,一",，=2。,一，

数列％是首项为1,公比为2的等比数列，故%=2。

(ii)b.=(b”一0"+("I-b『2)+…+(生一bj+A

=。1+。”_2+-・+卬+4=S0-4+2=%+1=21+1，

另解:bn+i-b„=an=2^,则％-a=2"-21=0-2”=，-21,

答案第10页，共14页

则数列｛4-2"T｝是常数列，则“一2"一:4一1,故"=2』+1.

(2)由题意知见+1=2。=也=幺，

1+2412

/_”2%_年2

?”=4------=——,------=-------,

a

«12%TC3qc,I4lcnc^

c

(另解：凡s=—•凡=>4+C,2=a,£,=>=a,C“,£,，

C〃+2

则数列｛。/用1｝是常数列，所以《£+£=。［。2=1+"，%=----

C£+i

1+d\+dcn+.-c„\+d(\1'

an=-------=---------———-=--------------------,

3+1d“用d\cnc“+J

1+d。11

则S“=qi%।…।%=,1，

“IJ+"

因为%>。，故S”<1+，

18.(1)在(0,+8)上单调递增，无减区间

(3)。23—In3

【分析】(1)把。=1代入，利用导数求出函数/(幻的单调区间.

(2)求出导数得函数g。)，再利用导数探讨函数g(x)性质，进而求出范围.

(3)等价变形不等式并构造函数，再利用导数求出最大值，利用不等式有解列式求出范围.

【详解】(1)当〃=1时，/(x)=f—2xlnx,其定义域为(0,+°。，求导得/(x)=2x-2lnA-2,

令"r)=/'(x),求导得〃'(x)=2—W,由〃(x)v0,得0<x<l：由〃'(x)>0,得x>l,

x

函数”(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，则八%)=心)泊(1)=0,

所以/(X)在(。，+8)上单调递增，无减区间.

(2)依题意，g(x)=/'(x)=2x—21nx—2。，

由(1)得g(x)在(。/)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，g(-x)min=g(l)=2-2f?,

当x->0,XT"时，g(x)->+oo,则当g(x)有两个零点时，g(l)v0,解得a>l,

答案第11页，共14页

所以实数。的取值范围是。>1.

(3)不等式/(x)+340o/-2xlnx+(2-2q)x+3W0有解，

BP2-267<+2xlnX~3=-x+21nx--令/?(》)=_》+2垢1-3,

XXx

«日伯，"X,23工+2丫+3(x+l)(x-3)

求导得/7(x)=-l+-+r=----------=-——今——L，

xxxk

由/(幻>0,得0cx<3；由〃'(x)<o,得x>3

函数〃(x)在(0,3)上单调递增，在(3,y)上单调递减，则〃(x)a=M3)=-4+21n3,

因此2-2aW-4+21n3,解得〃N3-ln3,

所以实数。的取值范围是心3-In3.

19.(1)证明见解析

(2)(i)证明见解析(ii)；

【分析】(1)法一：设直线/的方程，联立，韦达定理，代入证明即可；法二：设4(/,2〃),

8(/,2b),由力，"，P三点共线，可证明；

2

(2)⑴设/>2a),B(b92b),分别计算直线［与直线Q4,QPt4的交点纵坐标,

利用(。-2)(6-2)=3,证明即可：(ii)利用点7为线段MN的中点，可得

£二2S“0r_2|。7A-iy.|外一乃|心、…_4口,加「

苦二—^二丁百3—=2I------I-------代入，运算，求最值即可.

$2s&B尸卜\yQ~yp\\p~yB\

【详解】(1)(1)法一:设直线/方程为、=，町+1-4〃?，

x=my+\-4ni,

联立,=>y~-4rnv+16ni-4=0,

y~-4x

则I1