沈建大材料力学课件第9章 应力状态

第九章应力状态沈阳建筑大学侯祥林刘杰民

第九章应力状态§9–1应力状态的概念

§9–2平面应力状态分析的解析法§9–3平面应力状态分析的图解法§9–4梁的主应力及主应力迹线§9–5空间应力状态简介

§9–6广义虎克定律§9–7复杂应力状态下的体积应变、比能§9–8平面应力状态下的应变分析

PPmmnnPnnkmmPk一、一点的应力状态§9–1应力状态的概念

过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的应力状态。二、单元体xyz

xy

xz

x

y

z

yx

yz

zx

zy围绕构件内一点截取一无限小正六面体称为单元体。单元体相对两面上的应力大小相等，方向相反。若所取单元体各面上只有正应力，而无剪应力，此单元体称为主单元体。三、主平面和主应力

1

2

3只有正应力，而无剪应力的截面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。一点的应力状态有三个主应力，按其代数值排列：PP

⒈若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。

⒉若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。ABP

x

x

x

x

x

x

⒊若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向应力状态是最复杂的应力状态。§9–2平面应力状态分析的解析法一、斜截面上的应力

x

x

x

y

ynt

x

x

y

y

y

y

x

x

y同理，由得：任意斜截面的正应力和剪应力为二、主平面的方位设主平面的方位角为

0，有三、主应力将主平面的方位角为

0代入斜截面正应力公式，得四、最大剪应力※解题注意事项：

⒈上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已知条件。⑴

x、

y以拉为正，以压为负；⑵

x沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负；⑶

为斜截面的外法线与x轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。

⒉求得主应力

ˊ、

〞与0排序，确定

1、

2、

3的值。

⒊

0为主应力

ˊ所在截面的外法线与x轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。在主值区间，2

0有两个解，与此对应的

0也有两个解，其中落在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。[例9－1]求图示单元体a－b斜截面上的正应力和剪应力。ab解：已知xn

n

[练习1]求图示单元体a－b斜截面上的正应力和剪应力。解：已知[例9－2]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知此解在第一象限，为本题解；此解在第二象限，不是本题解，舍掉。

1

1

3

3

0=11.98°[练习2]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知此解在第二、四象限，为本题解。此解在第一象限，不是本题解，舍掉；

3

3

1

1

0=－67.5°[练习3]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知此解在第一象限，为本题解；此解在第二象限，不是本题解，舍掉。

1

1

3

3

0=18.43°§9–3平面应力状态分析的图解法由解析法知，任意斜截面的应力为将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加得：取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则上式为一圆方程。

x

x

x

y

ynt

yr圆心坐标为半径为

x

x

x

y

ynt

y圆上各点与单元体各斜截面一一对应，各点的横坐标与纵坐标与各斜截面的正应力与剪应力一一对应。因此，该圆称为应力圆。圆上D1点代表x截面；D1

x

x

y-xD2D2点代表y截面；EE点代表方位为

角的斜截面；

A1、A2

点代表两个主平面。

1

2A1A2

x

x

x

y

y

yD1

x

x

y-xD2B1B2应力圆的画法步骤:⒈作横轴为

轴，纵轴为

轴；⒉在横轴上取OB1=

x，过B1引垂线B1D1=

x；⒊在横轴上取OB2=

y，过B2引垂线B2D2=-

x；

⒋

连接D1D2交横轴于C，

⒌以C为圆心，CD1为半径作圆，此圆即为应力圆。

x

x

x

y

y

yD1

x

x

y-xD2B1B2证明:[例9－3]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知50303030取:连接D1D2交横轴于C，以C为圆心，CD1为半径作圆。50303030

1

1

3

3

0=18.43°[例9－4]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知取:连接D1D2交横轴于C，以C为圆心，CD1为半径作圆。2020

2020

0=45°20

1

1

3

3[练习4]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知取:连接D1D2交横轴于C，以C为圆心，CD1为半径作圆。

COB1D1D2B21005050

COB1D1D2B21005050A1A220

1

1

3

3

0=22.5°[例9－5]已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图解法求

角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的方位。95MPa45MPa

2

oaabbC954595MPa45MPa

2

oaabbC9545A1A2

1

22

a2

b

a

b§9–4梁的主应力及主应力迹线124512345mm153

1

1

1

1

3

3

3

3234梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应力

1和压主应力

3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的主应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个主应力的方向。x11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd主应力迹线的画法：拉力压力

1

3

1

3图示为悬臂梁的主应力迹线实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。q

1

3

3

1图示混凝土梁自重下的主应力迹线。混凝土属脆性材料，抗压不抗拉。沿拉主应力迹线方向铺设钢筋，可增强混凝土梁的抗拉强度。§9–5空间应力状态简介

s1s2xyzs31、空间应力状态2、三向应力圆

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

max

min3、最大剪应力

1

2

3最大剪应力所在的截面与

2平行，与第一、第三主平面成45°角。§9–6广义虎克定律PP

′=+

1′

2″

2′

1″一、平面应力状态的广义虎克定律正应变只跟正应力有关，与剪应力无关；剪应变只跟剪应力有关，与正应力无关；二、三向应力状态的广义虎克定律

1

2

3xyz

xy

xz

x

y

z

yx

yz

zx

zy[例9－6]边长为a的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E、泊桑比为

，顶面受铅直压力P作用，求钢块的应力

x、

y

、

z

和应变

x、

y、

z。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：Pxyz

x

y

z[例9－7]已知E=10GPa、

=0.2，求图示梁n－n截面上

k点沿30°方向的线应变

30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°nnk1m1m2mAB2001507575k30°nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°[例9－8]薄壁筒内压容器(t/D≤1/20)，筒的平均直径为D，壁厚为t，材料的E、

已知。已测得筒壁上

k点沿45°方向的线应变

45°，求筒内压强p。

kptD

x

x

y

y解：筒壁一点的轴向应力：筒壁一点的环向应力：

kptD

x

x

y

y

45°

-45°45°-45°[练习5]受扭圆轴如图所示，已知m、d、E、

，求圆轴外表面沿ab

方向的应变

ab。ABm

m

dab45°

解：ABm

m

dab45°

45°

-45°§9–7复杂应力状态下的体积应变、比能一、体积应变dxdydzdx+△dxdy+△dydz+△dz略去高阶微量，得单元体的体积应变代入式得：

纯剪应力状态：可见剪应力并不引起体积应变，对于非主应力单元体，其体积应变可改写为体积应变只与三个主应力（正应力）之和有关，而与其比例无关。令

m称为平均正应力，K称为体积弹性模量。二、比能单位体积的变形能称为变形能密度，简称比能。⒈单向拉压比能dxdzdy

d(△l)dxdzdy

⒉纯剪切比能dxdydz

⒊复杂应力状态的比能⒋体积改变比能与形状改变比能

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf状态1受平均正应力

m作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能uV。状态2的体积应变：状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形状改变比能uf。

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf[例9－9]边长为a的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E、泊桑比为

，顶面受铅直压力P作用，求钢块的体积应变

V和形状改变比能uf

。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：

x

y

z[例9－10]证明弹性模量E、泊桑比

、剪切弹性模量G之间的关系为