第十一章　第60课时　专题强化：用“动态圆”思想分析临界问题(1)-2026版一轮复习

第60课时专题强化：用“动态圆”思想分析临界问题目标要求1.理解“平移圆”、“旋转圆”、“放缩圆”的适用条件。2.会用“平移圆”法、“旋转圆”法、“放缩圆”法分析临界问题。考点一“平移圆”适用条件粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝mv轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R＝mv0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“例1如图所示，三角形ABC内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB边长为L，∠A＝30°，∠B＝90°，D是AB边的中点。现在DB段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC边的同种粒子(不考虑粒子间的相互作用和粒子重力)，若从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，则AC边上有粒子射出的区域长度为()A.14L B.1C.3-12L D.考点二“旋转圆”适用条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝mv轨迹圆圆心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝mv界定方法将一半径为R＝mv0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“例2(多选)(2024·山东日照市模拟)如图所示，挡板MQ左侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，挡板中间空隙NP长度为L，纸面上O点到N、P的距离相等，均为L。O处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是()A.若粒子速率v＝qBLm，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为B.若粒子速率v＝qBLm，NPC.若粒子速率v＝qBL2m，粒子能从空隙NP“逃出”D.若粒子速率v＝qBL2m，拓展如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B，磁场内有一块足够大的平面挡板，板面与磁场方向平行，在距挡板的距离为L处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收，若粒子速率v＝qBLm，则挡板上被粒子打中区域的长度是(不计粒子的重力和粒子间的相互作用)我用夸克网盘分享了「与您分享-国家、地方、行业、团体标准」，点击链接即可保存。打开「夸克APP」，无需下载在线播放视频，畅享原画5倍速，支持电视投屏。链接：/s/45a9f612fe59提取码：t9EX联系qq:1328313560我的道客巴巴：/634cd7bd0a3f5a7311db139533c20794

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考点三“放缩圆”适用条件粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法例3(2024·山东泰安市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为()A.7πm6qB B.5πm4qB例4如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。1.临界问题的分析重点是临界状态临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。2.极值问题所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。

答案精析例1C[由题意可知，粒子均向上偏转，从D点射入和从B点射入的粒子的运动轨迹如图所示，设两个粒子在AC边上的出射点分别为E、F点，由于从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，所以A点为该粒子做圆周运动的圆心，则粒子做圆周运动的半径为R＝12L，则有AE＝12L，因为D点是AB的中点，所以D点是从B点射出的粒子做圆周运动的圆心，所以有AD＝DF，则根据几何知识有AF＝2×12L·cos30°＝3L2，所以有粒子射出的区域长度为EF＝AF－AE＝3-12L，故A]例2AB[若粒子速率为v＝qBLm则轨迹半径r＝mvqB＝粒子运动情况如图甲所示从P点飞出的粒子，轨迹的圆心在N点，该粒子从O点发射时的速度方向与ON垂直斜向右下，与水平方向成60°角。从N点飞出的粒子，轨迹的圆心在S点，该粒子从O点发射时的速度方向与OS垂直，水平向右，两粒子发射速度间的夹角θ＝60°，发射方向在这两个方向之间的粒子都可从空隙NP“逃出”，粒子“逃出”的概率为θ360°＝16，由图甲可知，NP线段上各处都可能有粒子通过，故A、B正确；若粒子速率为v＝qBL粒子运动情况如图乙所示，粒子轨迹与P点相交时，圆心为A，粒子轨迹与PN相切时，切点为D，圆心为C，两发射速度间的夹角θ＝∠AOC，由几何关系知θ>60°，则粒子“逃出”的概率为θ360°>由图乙可知OD<ON＝L则D在N点下方，故线段DN间不可能有粒子通过，故C、D错误。]拓展(3＋1)L解析若粒子速率为v＝qBLm，则轨迹半径R＝mvqB粒子运动情况如图所示根据几何关系可得AB＝L，AC＝3L所求长度为BC＝AB＋AC＝(3＋1)L。例3C[粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹交半圆ab于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示。圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与ab相切时，β最大，此时轨迹过ab中点，β＝30°，可得θ＝43π，则t＝θ2πT＝4πm]例4(1)143πm90qB(2)qBl4m解析(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，有qBv0＝mv02R，又解得T＝2π又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间t＝360°-74°360°T＝(2)