2026年全国中学生数学奥林匹克联合竞赛(预赛)暨2026年全国高中（A卷） 模拟试题 2 解析版_第1页
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年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2026年全国高中数学联合竞赛模拟试题2(A卷)说明:本试卷共11题，满分120分。填空题每小题8分，共64分；解答题第9题16分，第10、11题各20分。一、填空题(本大题共8小题，每小题8分,共64分)1.设x,y为正整数，且x2+y2=2025答案:2解析:2025=452。解x2+y2=2.已知多项式fx满足对任意非零实数xf则f2026=答案:2026解析:令gx=fx-x,则gx+g1/x=0。若g是非常数多项式,则g1/x3.在空间直角坐标系中,A1,0,0,B(0,2,0),C0,0,3,点P在平面ABC内运动,则当PA2答案:1解析:对于平面上的点P,PA2+P坐标为1+0+03,0+2+04.已知实数x,y满足x2+y2=1答案:解析:设x=cosθ,y=sinθ,则x令t=cosθ+sinθ=2sinθ+又cosθsinθ=tx设ft=3t-ff-2比较得最大值1,最小值−1故取值范围为5.对任意正实数x,y,z,函数f的最大值为_________。答案:4解析:由均值不等式:x+y+z≥34所以fx,y,z≤43,等号当6.单位圆x2+y2=1与x轴交于A( -1,0),B1,0。过圆上一点P(异于A,B)作圆的切线，与过A,B的切线分别交于C,D，则梯形答案:（，）解析:设Pcosθ,sinθ,切线方程xcosθ+ ysinθ=1,得C1,1-cosθsinθ,D(-1,1+cosθsinθ)。对角线AC和BD7.已知严格递增的正实数列xn满足:x∈{xn答案:2475+25解析:由条件得:所有正整数k和所有形如k +5-12k≥0的数构成数列,且交错排列。前100项中，奇数项为0+ϕ,1+ϕ,…,和=k=049(故结果为2475+25 58.设数列an的通项为an=3n43n+1则S答案:解析:利用裂项3n43而Pn=k=1n3二、解答题(本大题共3小题,共56分)9.(16分)已知实数x,y满足x2+y解:(方法1)x4由x2+y等号当x2因此x最小值12,当x2=又x2x最大值1,当x2y2=0即x=0或(方法2)也可用三角换元:设x=cosθ,y=sinθ，则x4+因为sin22θ∈结论:最大值为1,最小值为1210.(20分)给定双曲线x2a2-y2b2=1a,b>0，M1证明:点G在一条定直线上。证明:以右焦点F为极点,极轴沿x轴正向建立极坐标系,双曲线方程为r=设Ar1考虑直线BM2与右准线x=a利用梅涅劳斯定理于△FAB和截线M2G故G1即为AM1与B因此G恒在右准线x=a211.(20分)已知数列ana0=1, an求a2026解:通过计算前几项并归纳可得:对任意k≥

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