2024-2025学年广东深圳深圳高级中学九年级下学期一模数学试题含答案

初中初中广东省深圳市深圳高级中学集团2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形中的对称轴．【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了科学记数法，把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法，据此解答即可求解，掌握科学记数法的定义是解题的关键．【详解】解：，故选：．3．下列式子运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；B、，故原选项计算正确，符合题意；C、，故原选项计算错误，不符合题意；D、，故原选项计算错误，不符合题意；故选：B．4．如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．【详解】解：假设不规则图案面积为，由已知得：长方形面积为，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，综上有：，解得．故选：A．【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．5．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质求角度、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质结合等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故选：D．6．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（

）（结果精确到，参考数据：，，）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于，地面于，依题意可得，，，求出的长即可得解．【详解】解：如图，作于，地面于，

依题意可得：，，，∴，∴坐垫离地面高度约为，故选：A．7．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了列一元二次方程，设每件商品降价元，则每件的利润为元，根据总利润每件的利润件数即可得解．【详解】解：设每件商品降价元，由题意可得：，故选：B．8．如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（

）A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒【答案】C【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算，正确读取图中的信息是解题的关键．先得出当时，则，，再解读当时，且与的差为，且此时停止运动了，说明点P与点C重合，则，运用，得，设故，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可作答．【详解】解：∵过点作，垂足为，∴，当时，则，∴此时，由图2得时，，∵与的差为，∴，∴，当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合，∵，∴说明点P与点Q重合，则，即，则，由图2得，在点M时，则，即，在中，，设则，故，∴，解得，∴，∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，∴（秒），由图2得，在点N时，则，即，此时点P是的中点，∴，则（秒），∴（秒），故选：C．二、填空题9．因式分解：【答案】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：．故答案为：．10．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是．（只需写出一个即可）【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意可得，计算即可得解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，∴，解得：，∴的值可能是，故答案为：．11．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是．【答案】【分析】本题考查了画树状图法求概率,画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为画出树状图如下：一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，（两人恰好选中同一种）．故答案为：．12．如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为．【答案】8【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数的性质，设，，则，结合反比例函数的性质求出，即可得出，从而可得，，即可得解．【详解】解：设，∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，∴，∴，∴，∴，∴，，∴矩形的面积为，故答案为：．13．在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为．【答案】【分析】先根据菱形的性质以及解直角三角形分别求出，，，再结合勾股定理得，因为折叠，得，，，，运用勾股定理得出，，，，再证明，运用两个相似三角形的高的比等于相似比列式化简，即可作答．【详解】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：∵四边形是菱形，∴，，，∵∴，设，∴在中，，即，∴，∵，的延长线，的延长线，∴，∵，∴∴在中，，，即，，∴，，在中，，则，∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，∴，，，，∴，即，∴，解得，∴∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，则，∴，∴，∵，∴，∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的性质，勾股定理，难度大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．三、解答题14．计算：．【答案】【分析】本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可作答．【详解】解：．15．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．【答案】，【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解．【详解】解：原式因为，，所以，，所以只能为0，当时，原式．16．小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．甲、乙两种品牌吉他得分表序号123456789甲（分）818283889090909295乙（分）747585888990919797甲、乙两种吉他得分统计表品牌平均数中位数众数甲87.990乙87.397(1)________，________；(2)从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；(3)你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．【答案】(1)，(2)甲(3)建议购买甲品牌，理由见解析【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由中位数和众数的定义求解即可；（2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可得解；（3）根据平均数的定义解答即可．【详解】（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；（2）解：，故，∴甲吉他的得分较稳定；（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．17．根据以下素材，探索完成任务．学校如何购买保洁物品问题背景自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．素材1为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．素材2商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．素材3商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．问题解决任务1确定物品单价请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．任务2探究购买方案如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？【答案】任务1：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元；任务2：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键．任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解．【详解】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意得：解得答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）方案一：，解得，由题意得，∴，∴方案二：，解得，∴方案二不符题意，舍去．答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．18．在矩形中，连接．(1)如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）(2)如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）作的垂直平分线交于，点即为所求；（2）设，则，由勾股定理可得，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解．【详解】（1）解：如图，即为所作；，由作图可得：，∴；（2）解：如图，，∵，又，∴，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，设，∴，∴，解得，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，又，∴．19．综合与实践【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？【分析问题】（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；【解决问题】（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．（1）根据二次函数的性质求解即可；（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可；（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解．【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和，∴此抛物线的对称轴为直线；（2）∵二次函数经过和，∴，将代入可得：，∴，∴，∵的图象均经过和，∴，∵由图象可得：的顶点在的下方，∴，解得：；（3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．由题意得，，，∴，；设新拱门抛物线解析式为∴抛物线顶点坐标为∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，∴，解得，（不符题意，舍去），∴新拱门抛物线解析式为将代入得，，解得

∴，∵原拱门拱顶距地面为4米，∴将代入得，，解得，∴将代入得，，解得∴∴综上所述，的取值范围是或．20．综合与探究在正方形中，，点是边上的动点，连接．(1)【探索发现】如图1，过点作，求证：；(2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；(3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交