初中数学专题《阿波罗尼斯圆》含答案

初中专题11阿波罗尼斯圆（简称阿氏圆）小题例练定义：平面内两定点A,B，所有满足k(k为定值)的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”例1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP＋BP的最小值为（）． B．6C．2 D．4【答案】A解析：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，，∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，∴AP+BP的最小值为．故选A．【练习】2．如图，在中，，，，以点为圆心，4为半径的圆上有一个动点，连接、、，则的最小值是_____．3．如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是_________．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，则AP＋BP的最小值=_______________.5．如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为圆心，4为半径作圆．点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值为__________．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.7．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为

____________．8．如图，平面直角坐标系中，在轴、轴上分别有点，，动点在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，求的最小值．9．（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值10．问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．

初中专题11阿波罗尼斯圆（简称阿氏圆）小题例练定义：平面内两定点A,B，所有满足k(k为定值)的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”例1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP＋BP的最小值为（）．A． B．6 C．2 D．4【答案】A【解析】试题解析：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，，∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，∴AP+BP的最小值为．故选A．【方法点睛】首先连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，则有；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△PCD∽△BCP，即可推得，AP+BP=AP+PD，再应用勾股定理，求出AP+BP的最小值为多少即可．2．如图，在中，，，，以点为圆心，4为半径的圆上有一个动点，连接、、，则的最小值是_____．【答案】【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接CD，AF．由△FCD∽△DCB，推出，推出DF＝BD，推出BD＋AD＝DF＋AD，根据DF＋AD≥AF即可解决问题；【详解】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接CD，AF．∴CD＝4，CF＝2，CB＝8，∴CD2＝CF•CB，∴，∵∠FCD＝∠DCB，∴△FCD∽△DCB，∴，∴DF＝BD，∴BD＋AD＝DF＋AD，∵DF＋AD≥AF，AF＝∴BD＋AD的最小值是,故答案为.【点睛】本题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．3．如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是_________．【答案】【分析】在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM．利用相似三角形的性质证明DM=AD，推出AD+BD=DM+BD≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．【详解】解：在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM．∵CD=6，CM=4，CA=9，∴，∴，∵∠DCM=∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴，∴DM=AD，∴AD+BD=DM+BD，∵DM+BD≥BM，在Rt△CBM中，∵∠CMB=90°，CM=4，BC=12，∴BM=，∴AD+BD≥，∴AD+BD的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，则AP＋BP的最小值=_______________.【答案】【解析】【分析】首先连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，连结AD，则有；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△PCD∽△BCP，即可推得，AP＋BP＝AP＋PD，再应用勾股定理，求出AD为多少即可．【详解】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，连结AD，∴，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋BP的值最小，在Rt△ACD中，∵CD＝1，CA＝6，∴AD＝，∴AP＋BP的最小值为，故答案为：.【点睛】此题主要考查了最短路线问题，相似三角形的应用，以及勾股定理的应用，确定点A，P，D共线是解题关键．5．如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为圆心，4为半径作圆．点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值为__________．【答案】【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF=2，连接FD，AF.由△FCD∽△DCB，推出，推出DF=BD，推出BD+AD=DF+AD，，根据DF+AD⩾AF即可解决问题.【详解】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴,∴△ABC为Rt△,在CB上取一点F，使得CF=2，连接FD，AF,如图，

∴CD=4，CF=2，CB=8，

∴，

∵∠FCD=∠DCB，

∴△FCD∽△DCB，

∴，

∴DF=BD，

∴BD+AD=DF+AD，

∵DF+AD⩾AF，AF==，

∴BD+AD的最小值是，

故答案为．【点睛】此题主要考查了最值问题，相似三角形的性质与判定及勾股定理，正确的添加辅助线是解决问题的关键.6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.【答案】【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4∵AC=9，CD=6，CE=4∴∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED=在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB∴在Rt△ECB中，EB=∴∴2AD+3DB=故答案为：．【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为

____________．【答案】5【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得，推出PK=PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+PA=PB+PK的最小值为BK的长，计算即可．【详解】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．

∵OP=2，OA=4，OK=1，

∴，∵∠POK=∠AOP，

∴△POK∽△AOP，

∴，

∴PK=PA，

∴PB+PA=PB+PK，

在△PBK中，PB+PK≥BK，

∴PB+PA=PB+PK的最小值为BK的长，

∵B（4，4），K（1，0），

∴BK==5．

故答案为5．【点睛】此题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题.8．如图，平面直角坐标系中，在轴、轴上分别有点，，动点在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，求的最小值．【答案】【分析】要求的最小值，可构造出一条线段等于，为此可在轴上取一点，连接，，．可得，再由，证得，根据相似三角形的性质可得，因此将求的最小值的问题转化为了求的最小值，根据两点之间线段最短即可得出最小时E点的位置，再由勾股定理即可得出答案.【详解】解：如解图，在轴上取一点，连接，，．则，，，∴．又∵，∴．∴，即．∴，当点，，三点共线时，的值最小，为的长．∵．∴当为与圆的交点时，有最小值为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，线段的性质，勾股定理，根据题意，巧妙的添加辅助线，利用相似三角形构造出是解决此题的关键.9．（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值【答案】见详解【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把转化为4（），这样只需求出的最小值，问题即可解决。（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）；

（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．

∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5．当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5．如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EF⊥BC∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD，∴当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC，由图可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=，∴最小值为FC===∴的最小值为：．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．

∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==．当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=．（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．

∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG．在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，

∴DF=CD•sin60°=，CF=2，

在Rt△GDF中，DG==PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．10．问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）13．【分析】（1）根据题意可知最小值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度．（2）连接CP，在CA上取一点D，使，即可证明∽，得到，即，