初中数学专题《网格中的正切》含答案

初中专题13网格中的正切【小题热身】1．如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为（）B．C．D．22．如图，A，B，C是正方形网格的格点，连接，，则的值是（） B．C． D．3．如图，在边长为1的正方形网格中，以AB为直径的圆过C、D两点，则tan∠BCD的值为（）B．C．D．24．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A．2B．C．3D．5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（）．B．3C．D．26．在如图所示的网格中，小正方形的边长为，点都在格点上，与相交于点则的正切值是（）A．B．C． D．7．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝…，依此规律写出tan∠BA7C＝，则n＝（）A．40 B．41C．42 D．438．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙证明了勾股定理．图1是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连结，，，，得到一个“飞镖”图形，如图2，若阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，则的值为（） B．C． D．【磨刀霍霍】9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB＝___．10．如图，在由相同的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点称为格点，已知点都在格点上，连结交于点．则的值为________．11．由完全相同的正六边形拼成如图所示的蜂窝状图案，，是正六边形的顶点，则__________．12．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形的面积是正方形面积的倍，那么的余切值是_____．13．在如图所示的网格图中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是____．14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．15．如图，6个边长为1的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（）为，，，都在格点上，则的面积为_____；的值是______．16．在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(5，3)，C(1，5)．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：（1）直接写出ABC的形状；（2）作ABC的角平分线CE；（3）在边AB上找一个格点F，连接CF，使∠ACF＝∠AEC，直接写出F点坐标为；（4）根据上述作图，直接写出tan∠AEC的值为．17．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，回答下列问题：（1）在图1中，____________，_________；（2）在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段三等分点．（保留作图痕迹）18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，线段、的端点均为格点．（1）的长度为_____，的长度为_____．（2）若和所夹锐角为，求的值．初中专题13网格中的正切【小题热身】1．如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】由勾股定理求出AB、AC、BC的长度，得出Rt△ABC，通过三角函数即可求出．【详解】由题知：，，，∴∴三角形为Rt△ABCtan∠BAC==2故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．2．如图，A，B，C是正方形网格的格点，连接，，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，然后根据正方形的性质和勾股定理，可以得到和的长，然后即可计算出的值，从而可以得到的值．【详解】解：如图，作于，设小正方形边长为1，，，是等腰直角三角形，，，，在中，．的值是，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，计算出和的长度．3．如图，在边长为1的正方形网格中，以AB为直径的圆过C、D两点，则tan∠BCD的值为（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】连接AD、BD，然后根据圆周角的性质和锐角三角函数定义可以得解．【详解】解：如图，连接AD，BD．∵∠DAB和∠DCB所对的弧长都是弧，∴根据圆周角定理知，∠BAD＝∠DCB．在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，tan∠BAD＝tan∠DCB＝=，故选：A．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角的性质和锐角三角函数定义是解题关键．4．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【详解】解：如图：连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（）．A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD、AC的值，进而可得△ADC是等腰直角三角形，进而可得AD⊥CD，根据相似三角形的判定和性质可得PC＝2DP，根据等量代换和线段和差可得AD＝CD＝3DP，继而即可求解．【详解】解析设小正方形的边长为1，由图形可知，，是等腰直角三角形，．，，，，．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．6．在如图所示的网格中，小正方形的边长为，点都在格点上，与相交于点则的正切值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK∥CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．【详解】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK∥CD，∴∠AED=∠ABK，∴tan∠AED=tan∠ABK=，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．7．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝…，依此规律写出tan∠BA7C＝，则n＝（）A．40 B．41 C．42 D．43【答案】D【分析】如图，作CH⊥BA4于H，利用勾股定理可求出BA4=，A4C＝BA3=，根据正方形的性质可得BC=A3A4，即可证明四边形BCA4A3是平行四边形，根据平行四边形的性质可求出△BA4C的面积，即可求出CH的长，利用勾股定理求出A4H的长，根据正切的定义可得出tan∠BA4C＝，进而可得tan∠BAnC＝，根据tan∠BA7C＝求出n值即可得答案．【详解】作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝BA3==，∵把n个边长为1的正方形拼接成一排，∴BC=A3A4，∴四边形BCA4A3是平行四边形，∴△BA4C的面积＝×（1×1）=，∴×CH＝，解得：CH＝，∴A4H＝＝，∴tan∠BA4C＝＝，∵1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，13=42-4+1，……∴tan∠BAnC＝，∴tan∠BA7C＝=，∴n＝43．故选：D．【点睛】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质，熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．8．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙证明了勾股定理．图1是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连结，，，，得到一个“飞镖”图形，如图2，若阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求得空白部分面积和阴影部分，根据题意列方程组，解方程组即可求得，进而可知的值．【详解】，又，，空白，阴影，阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，，，，解得：或者（舍），．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解一元二次方程，正切的定义，掌握以上知识是解题的关键．【磨刀霍霍】9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB＝___．【答案】2或1【分析】先根据题意作出示意图，然后分别求解对应的正切值即可．【详解】如图所示，两圆弧相交产生两种情况：①若交于D1点，则由图可知，；②若交于D2点，则由图可知，，，∴为等腰直角三角形，，∴，综上，tan∠ADB＝2或1，故答案为：2或1．【点睛】本题考查求角的正切值，理解正切函数的定义，准确判断出直角三角形是解题关键．10．如图，在由相同的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点称为格点，已知点都在格点上，连结交于点．则的值为________．【答案】2【分析】首先连接HE，交AB于F．则HE⊥AB，由题意得△AEF∽△MHF，然后由相似三角形的对应边成比例，易得EF：HF＝1：3，即可得HF=，同理得NG=，从而得FG=，进而即可求解．【详解】解：如图，连接HE，交AB于F．则HE⊥AB，根据题意得：AE∥MH，∴△AEF∽△MHF，∴EF：HF＝AE：MH＝1：3，∴HF=HE=×=，同理：NG：MG＝DN：MH＝1：3，∴NG=MN=×=，∵NF=×=，∴FG=NG+NF=+=，∴在Rt△GFH中，=，故答案是：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．11．由完全相同的正六边形拼成如图所示的蜂窝状图案，，是正六边形的顶点，则__________．【答案】【分析】连结AB，取AB中点为D，连结AC，DC，BC，设正六边形的边长为，由正六边形性质可得AB=6，AD=，由图可知∠ADE=60°，∠EDF，可证∠ADC=90°，由三角函数求CD=4DE×cos30°=，利用定义tan∠BAC=tan∠DAC=即可．【详解】解：连结AB，取AB中点为D。连结AC，DC，BC，设正六边形的边长为，∵正六边形长对角线=2∴AB=6，AD=，由图可得∠ADE=60°，∠DEF=120°，DE=DF，∴∠EDF=∠DFE=（180°-∠DEF）=，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=60°+30°=90°，∴CD=2DF=4DE×cos30°=4×，∴tan∠BAC=tan∠DAC=．故答案为：．【点睛】本题考查正六边形网格求锐角三角函数值，掌握网格的特征，构造直角三角形，利用三角函数定义解决问题是关键．12．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形的面积是正方形面积的倍，那么的余切值是_____．【答案】【分析】根据题意可设小正方形EFGH面积是，则大正方形ABCD的面积是，则小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是，设AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用三角函数即可解答．【详解】设小正方形的面积为，则大正方形的面积为，其中，∴，，∵△ADH≌△BAE，∴，设，则，则：，解得：，（舍去），∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，以及余切函数的定义，准确根据题意解直角三角形是解题关键．13．在如图所示的网格图中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是____．【答案】【分析】取格点K，连接AK、BK，则由勾股定理可得AK⊥BK，BK＝2AK，且由图象可知BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．【详解】解：如图，取格点K，连接AK，BK．由勾股定理可得：AB2＝52＋52＝50，AK2＝12＋32＝10，则AK＝．BK2＝22＋62＝40，则BK＝．∴BK＝2AK，AB2＝AK2＋BK2．则∠AKB＝90°．观察图象可知BK∥CD，∴∠AED=∠ABK．∴tan∠AED=tan∠ABK．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会运用转化思想解决问题．14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．【答案】．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数．15．如图，6个边长为1的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（）为，，，都在格点上，则的面积为_____；的值是______．【答案】【分析】如图，①过点B作BD⊥AC于D，根据菱形性质可知：∠O=∠CGB°=∠BCD=60°，再由sin60°=，求出BD的长，进而求出S△ABC即可；②连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、C、B共线，再根据菱形的性质求出AE、EB，再由tan∠ABC＝，即可解决问题．【详解】解：①如图，过点B作BD⊥AC于D，∵∠O=∠CGB=60°,∴∠GCD=120°∴△CGB是等边三角形，∴∠GCB=60°∴∠BCD=60°,∵菱形的边长为1，∴BC=2，sin60°=,即∴BD=，∴S△ABC=②如图，连接EA，EC，∵菱形的边长为1，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE＝，EB＝2，

∴∠AEC＝90°，

∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，

∴∠ECB＝180°，

∴E、C、B共线，

在Rt△AEB中，tan∠ABC＝＝．

故答案为：；．【点睛】点评：本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16．在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(5，3)，C(1，5)．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：（1）直接写出ABC的形状；（2）作ABC的角平分线CE；（3）在边AB上找一个格点F，连接CF，使∠ACF＝∠AEC，直接写出F点坐标为；（4）根据上述作图，直接写出tan∠AEC的值为．【答案】（1）ABC是直角三角形；（2）见解析；（3）(3，3)；（4）3．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可．（2）取格点，连接交于点，线段即为所求．（3）取点，连接即可．（4）取格点，连接，．由，推出，可得结论．【详解】解：（1）是直角三角形．理由：，，，，是直角三角形．（2）如图，以为斜边作等腰直角，连接交于点，线段即为所求．∵是等腰直角三角形，∴∠TCB=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ECA=45°，∴CE平分∠ACB；（3）如图，取点，连接，点即为所求，故答案为．∵CF为正方形的对角线，∴∠AFC=45°，∴∠ACF=180°-∠A-∠AFC=135°-∠A，∵∠AEC