贵州大学《高等数学》课件-第1章函数

第1章函数贵州大学《高等数学》§1.1预备知识一、实数与数轴二、实数的绝对值及其基本性质三、区间与邻域全体实数所组成的集合称为实数系.数轴是一条有原点、正方向和长度单位的直线.一一对应一、实数与数轴实数有理数无理数非负整数(自然数)负整数分数整数二、实数的绝对值及其基本性质定义1.1注1：注2：绝对值有以下一些基本性质：性质4证明：性质5证明：这等价于由性质4可得因此即从而证得即三、区间与邻域1.常用数集的表示法:自然数集(非负整数集)整数集有理数集实数集复数集正整数集排除了零的实数集2.四个逻辑符号:表示"对任意一个"、"对每一个".表示"存在一个"、"至少有一个".表示"蕴含"、"可推出".表示"当且仅当"、"充分必要"、"等价".3.区间的表示及含义：有限区间端点为无限的区间表示及其含义：无限区间4.邻域:x0的左邻域x0的右邻域左邻域右邻域例解方法一不等式两边同时平方方法二几何意义待解不等式要求的点x的集合为：§1.2函数概念一、变量与函数二、函数的表示法三、函数定义域一、变量与函数常量:在某一变化过程中始终保持不变的量.变量:在某一过程中不断变化的量.变量的取值范围称为该变量的变域．连续取值变量:变量的变域是区间.离散取值变量:变量的变域不是区间.因变量自变量注意：例如：两个函数相同：定义域和对应法则都相同．约定：如无特别指出，定义域是自变量所能取的使表达式有意义的一切实数．例：判断下列各对函数是否相同？相同函数的两个要素：不同(D(f)不同)不同(f不同)二、函数的表示法1.函数的表示法：表格法、图示法和解析法.例3相同不同(D(f)不同)解有些函数在它的定义域的不同部分,其表达式不同，亦即用多个解析式表示函数，这类函数称为分段函数.（1）绝对值函数2.分段函数几个分段函数的例子：（2）取整函数y=[x]-4-224-4-224xyOy=[x]（3）符号函数-11xyO（4）狄利克雷函数(Dirichlet)（5）取最值函数例如注意1.分段函数的定义域是其各段定义域的并集；2.分段函数在其整个定义域上是一个函数，而不是几个函数.三、函数定义域定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体．由解析式表示的函数的定义域称为函数的自然定义域．常用函数表达式有意义的条件：(1)负数不能开偶次方根，(2)分式的分母不能为零，(3)对数的真数必须为正数,函数定义域的求法：根据实际问题；自然定义域.(6)分段函数的定义域是各段定义域的并集.(5)若函数的表达式由多项组成，则定义域为各项定义域的交集，(4)反三角函数arcsinx或arccosx，，例4解例5xy解例解注意P.8练习1.22（1）；4（1）；3（1）§1.3函数的几何特征一、单调性二、有界性三、奇偶性四、周期性定义1.3一、单调性注1：注2：例2yxO注3：例1yxO解二、有界性定义1.4定义1.5注意2.几何特征1.函数f(x)是有界函数函数f(x)既有上界和下界.注定义1.6三、奇偶性性质1.定义域关于原点对称；2.几何特征

奇函数的图形关于原点对称，偶函数数的图形关于

y轴对称，如图所示：奇函数偶函数yxOyxO3.若D=R，且f(x)为奇函数，则有f(0)=0；反之不一定成立.例3解定义1.7四、周期性例如P.12练习1.31（2）；2（3）§1.4反函数定义1.8反函数的性质求反函数的过程从y=f(x)中求出y的范围，即为y=f-1(x)的定义域.例1注意例2解之得解整理得于是故所求反函数为P.14练习1.41（1），（2）§1.5复合函数定义1.9(3)复合函数可以由多个函数复合构成复合函数.注意例1解于是所以例2解例3解即于是P.16练习1.52；5（2）；6（2）§1.6初等函数一、基本初等函数二、初等函数三、隐函数1．常数函数一、基本初等函数

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数称为基本初等函数.2．幂函数特征：3．指数函数4．对数函数5．三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数6．反三角函数二、初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，并且在其定义域内具有统一的解析表达式，这样的函数统称为初等函数.都是初等函数．注1：注2：注3：一般地，分段函数、隐函数、变限积分和幂级数为非初等函数.三、隐函数例如1.显函数特点：函数中的

y均由自变量

x的某一解析式所表达.2.隐函数注1：注2：隐函数必须在指出确定它的方程以及x、y的取值范围后才有意义注3：并不是任一方程都能确定出隐函数.例如：不能确定隐函数．注4：注5：显函数一定能用隐函数表示，但隐函数不一定能用显函数表示.P.22练习1.6