安徽财经大学《高等数学》课件-第7章空间解析几何

一、空间直角坐标系二、柱面与旋转曲面三、空间曲线及其在坐标面上的投影第一节空间解析几何简介第七章安徽财经大学《高等数学》x轴(横轴)ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点O,

坐标面

卦限(八个)1.空间点的直角坐标ⅠzOx面一、空间直角坐标系在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M

的坐标)原点O(0,0,0);一、空间直角坐标系2.空间两点间的距离设点M1(x1,y1,z1)和点M2

(x2,y2,z2),则例1求证以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)为顶点的三角形是等腰三角形.例2设P在x轴上,它到P1(0,√2,3)的距离为到点P2(0,1,-1)的距离的两倍,求点P的坐标.一、空间直角坐标系解原结论成立.例1.求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.一、空间直角坐标系解设P点坐标为所求点为例2

设P在x轴上，它到)3,2,0(1P的距离为到点)1,1,0(2-P的距离的两倍，求点P的坐标.一、空间直角坐标系定义1如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系:①曲面S上任一点的坐标都满足方程;②不在曲面S上的点的坐标都不满足方程.则方程F(x,y,z)=0就叫曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.3.曲面方程的概念例3建立球心在点M0(x0,y0,z0),半径为R的球面方程.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系结论1

三元二次方程一般表示球面,其中方程特点是缺各项,而且平方项系数相同.球心为半径为在空间表示平面.结论2

三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示球心为(3,-4,0),半径为5例如的球面.一、空间直角坐标系例3做出下列平面方程图形一、空间直角坐标系三、曲面与方程例8作出x2+y2=

a2的空间图形.过这一点做一垂线L(垂直xy平面)解:xy平面内以(0,0)为圆心以a半径的圆周上任意选一个点M(x0,y0,0)

，则：在此垂线上任取一点,则该点的坐标是(x0,y0,c)仍满足方程:Lax2+y2=a2oxyz§8.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系1.1、坐标系的构成1.2、点与坐标二、空间两点间的距离2.1、两点间距离公式三、曲面与方程3.1、曲面方程的概念3.2、常见的曲面方程⑴球面⑶柱面⑵平面观察柱面的形成过程:①柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线

L所形成的曲面.三、曲面与方程⑶柱面C②柱面的准线:定曲线C.③柱面的母线:动直线L.

L如：垂直xy平面的直线L绕曲线所成的曲面为一圆柱面。x2+y2=1

z=0其方程为：x2+y2=1oxyzL1x2+y2=1一般地，只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0在空间中,表示母线平行于z轴的柱面,其准线为xy坐标面上的曲线C：F(x,y)=0z=0类似,不含x的方程

F(y,z)=0,在空间中,表示母线平行于x轴的柱面,其准线为yz坐标面上的曲线；三、曲面与方程④柱面的方程:类似,不含y的方程

F(x,z)=0,在空间中,表示母线平行于y轴的柱面,其准线为xz坐标面上的曲线；注意:⑴缺少一未知数的方程在空间中表示柱面;⑵同一方程在不同坐标系下意义不同.如:

y=2数轴上表点,平面上表直线,空间上表平面.例9

下列方程表示什么样的柱面：⑴x2+y2=R2⑵x2=2py(p>0)解：

方程⑴表示母线平行于z轴的圆柱面,它准线C是xy坐标面上以原点为中心、R为半径的一个圆。三、曲面与方程1⑶2222=+-bzax1⑷

2222=+byaxoxyzLRx2+y2=R2方程⑵表示母线平行于z轴的柱面,它准线C是xy坐标面上的抛物线x2=2py(p>0).该柱面称为抛物柱面.oxyz三、曲面与方程方程⑶表示母线平行于y轴的柱面,它准线C是xz坐标面上的双曲线：

该柱面称为双曲柱面。12222=+-bzax方程⑷表示母线平行于z轴的柱面,它准线C是xy坐标面上的椭圆:该柱面称为椭圆柱面。12222=+byaxoxyzLab12222=+byaxoxyz12222=+-bzax以上讨论的柱面皆二次方程,故柱面也称为二次柱面。§8.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系1.1、坐标系的构成1.2、点与坐标二、空间两点间的距离2.1、两点间距离公式三、曲面与方程3.1、曲面方程的概念3.2、常见的曲面方程⑴球面⑶柱面⑵平面⑷二次曲面与截痕法①三元方程F(x,y,z)=0一般表示曲面.如果F(x,y,z)=0为二次方程，那么它所表示的曲面称为二次曲面。三、曲面与方程⑷二次曲面与截痕法②为了了解曲面的形状，可以用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状及其变化规律，然后综合分析、想象曲面的形状，从而可以描绘出曲面的大致的图形。这种方法称为截痕法。下面就用截痕法来描绘两个常见的曲面。例10

用截痕法作z=x2+y2的图象。解：由z=x2+y2>0知，曲面在xy平面的上方。①用平面z=c去截曲面,得截痕方程为:z=x2+y2z=c即x2+y2=cz=c它是以(0,0,c)为圆心,以为半径的圆.且随着c的增大,即平面z=c的升高,作为截痕的圆也越来越大.当c=0时,退化为一个点(0,0,0)截痕法图形上不封顶,下封底．三、曲面与方程②用x=c去截曲面时，其截痕方程为：其截痕为抛物线，且随着|c|的增大，抛物线的顶点的位置也越来越高。z=x2+y2x=c即y2=z-c2x=c三、曲面与方程同理,用y=c去截曲面时,其截痕方程为：z=x2+y2y=c即x2=

z-c2y=c其截痕为抛物线，且随着|c|的增大，抛物线的顶点的位置也越来越高。这个曲面也称为旋转抛物面例11

用截痕法作z=y2-x2的图象。三、曲面与方程①用平面z=c去截曲面,得截痕方程为:y2-x2=cz=c解当c=0时,其截痕为xy面内两相交直线y=x与y=-x;当c≠0时,其截痕为平面z=c上双曲线;②用平面x=c去截曲面,得截痕方程为:z=y2-x2x=c为平面x=c上开口向上的抛物线,且随着|c|的增大，抛物线的顶点越来越低;②用平面y=c去截曲面,得截痕方程为:z=y2-x2y=c为平面y=c上开口向下的抛物线,且随着|c|的增大，抛物线的顶点越来越高.oxyz以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：⑵已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论球面、平面）（讨论柱面、二次曲面）⑴已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．截痕法三、曲面与方程课前练习§7.2正项级数敛散性的判别三、根值判别法二、比值判别法四、比较判别法

Interrogateofpositivetermseries微积分电子教案安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959一、正项级数的定义

与收敛准则1.定义：若，则称为正项级数2.正项级数的收敛准则定理:设为正项级数，则收敛(发散)的充要条件是他的部分和数列有上界(无界).注意：一般级数与正项级数收敛条件的区别一般级数收敛正项级数收敛此时,为单调增加数列一、正项级数的定义与收敛准则例1.

证明(p>0)在p>1时收敛,p≤1时发散.证：p=1时,原级数为p<1时故在时发散.的部分和大于的部分和调和级数,发散；部分和无界一、正项级数的定义与收敛准则P>1时如图所示矩形的总面积小于曲边梯形面积一、正项级数的定义与收敛准则我们称级数级数,为p-nnpå¥=11至此：我们已知两类敛散性确定的级数：P级数的特例：一、正项级数的定义与收敛准则例

下列级数是否收敛，为什么？一、正项级数的定义与收敛准则如果级数通项的分子、分母是多项式，或者是多项式的算术根，或幂函数的代数和.我们称为广义p-级数.其敛散性如下若记p=分母n的最高次幂与分子n的最高次幂的差则当

p>1时广义p-级数收敛；时广义p-级数发散.二、比较判别法2.1、比较判别法⑴若å¥=1nnv收敛,则å¥=1nnu收敛;⑵若å¥=1nnu发散，则å¥=1nnv发散.且),2,1(L=£nvunn

均为正项级数，和设åå¥=¥=11nnnnvu注意：1）两个正项级数一般项的不等式，可放宽为：大收则小收！小发大亦发！2)初步判断某级数是否收敛,如果收敛,则放大该级数到已知收敛的级数;如果发散,则缩小该级数到已知发散的级数.3）由于几何级数与P-级数敛散性已知，故常找这两类级数来进行比较.二、比较判别法例2.

判别下列级数的敛散性例3判别的敛散性解：因为,且发散由比较判别法可知：发散例3的错误在于：对比较判别法的比较原理未理解.对否？何也？大收则小收！小发大亦发！另外，不等式的放大或缩小也是一个难点，为此我们介绍比较判别法的极限形式：二、比较判别法2.2、比较法的极限形式定理：设与都是正项级数,且⑴若,则与有相同的敛散性;⑵若A=0,且收敛,则也收敛；,且发散，则也发散。⑶若注意:1.已知敛散性的级数比较时放在分母上二、比较判别法2.定理结论实际是无穷小量阶的比较:(1)同阶无穷小；(3)是的低阶无穷小.(2)是的高阶无穷小；例5.

判别下列级数的敛散性：3.在实际应用中找已知的级数使得二、比较判别法例6判别下列级数的敛散性例7若则正项级数发散证明：因为又发散，由比较判别法知发散例8证明:若正项级数与收敛，则也收敛

证：由比较判别法知：二、比较判别法例9证明:若正项级数收敛，则收敛但反之不真（举例说明）证因为收敛，所以又，由比较判别法得收敛例如：练习：

判别下列级数的敛散性二、比较判别法三、比值判别法则

r<1,级数收敛;

r>1(),级数发散；

r=1,此法失效.定理三、比值判别法*比值判别法也称为达朗贝尔判别法2.比值判别法的适用范围：解：例1例2解：★例3解：三、比值判别法练习：判别下列级数的敛散性(sinx

~x)原级数收敛.原级数收敛.原级数收敛.三、比值判别法例4解：三、比值判别法★例5.

解：此时原级数收敛此时原级数发散原级数为发散综上当0<x<2时，收敛当

时，发散三、比值判别法定理：设为正项级数，若则

r<1,级数收敛；

r>1(+),级数发散；

r=1,此法失效.四、根值判别法*根值判别法也称为柯西判别法根值判别法的适用范围：例7解：k=1时原级数为级数发散四、根值判别法例6.

解：故原级数收敛例8.

设为正项级数,判别下列命题的对错收敛敛散性不定发散错，不一定错，发散错，不一定以上命题均错，关键将级数收敛的必要条件和正项级数的比值判别法混淆发散发散比值判别法、根值判别法、比较判别法正项级数的敛散性判别步骤一、任意项级数的定义四、小结

Interrogateofanytermseries微积分电子教案安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959§7.3任意项级数敛散性的判别三、绝对收敛与条件收敛二、交错级数敛散性判别法所谓任意项级数，是指级数中的每一项都是任意实数.一、任意项级数的定义例如：任意项级数敛散性的确定比较困难，我们先研究一种特殊的任意项级数：交错级数其特点在于：级数的各项正、负相间.例1.指出下列级数中的交错级数：2.1、交错级数的定义二、交错级数敛散性判别法的级数称为交错级数形如莱布尼茨定理二、交错级数敛散性判别法2.2、交错级数的(莱布尼茨)判别法(1)(2)则该交错级数收敛，且其和若交错级数满足:证明：思考：若条件⑴不满足,交错级数敛散性如何？若条件⑵不满足,交错级数敛散性如何？发散不定二、交错级数敛散性判别法证明：故原级数收敛。二、交错级数敛散性判别法例2判别下列级数的敛散性二、交错级数敛散性判别法例3.证明收敛证由可知又当x>e

时,从而当n>2时,有f(n)>f(n+1),即由莱布尼茨判别法可知：收敛条件(1),(2)均不好检验可导函数来帮助对交错级数使用莱布尼茨判别法时，可以借助可导函数的单调性判断级数前后项大小和求极限。解由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.二、交错级数敛散性判别法例4课前练习一、函数项级数的概念

Powerseries微积分电子教编案安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959§7.4幂级数二、幂级数及其收敛性三、幂级数的性质1.定义:一、函数项级数的概念1.幂级数定义:本节只研究函数项级数中最常见且最重要的幂级数.称为x的幂级数

二、幂级数及其收敛性称为x-1的幂级数

2.幂级数的收敛点及收敛域所有收敛点的集合(一般为区间)称为幂级数的收敛域(收敛区间);所有发散点的集合称为幂级数的发散域.二、幂级数及其收敛性,12L+++=å¥xxxn=0n又如级数;,1收敛时当<x;,1发散时当³x);1,1(-收敛域);,1[]1,(+¥È--¥发散域3.幂级数的收敛半径与收敛区间注意：如果幂级数中奇次项或偶次项系数为零，则不能利用该定理确定收敛半径。例1.求的收敛半径二、幂级数及其收敛性解：所以收敛半径

R=3例1.

求的收敛半径根据系数的表达式，也可以例2

求下列幂级数的收敛区间二、幂级数及其收敛性注意:求幂级数的收敛区间,通常先求级数的收敛半径R,然后判别两个数项级数的敛散性,就得到级数的收敛区间.例3

求幂级数的收敛区间.解缺少偶次幂的项级数收敛,二、幂级数及其收敛性级数发散,原级数发散,原级数发散,原级数的收敛区间为二、幂级数及其收敛性为什么？方法１：级数收敛,级数发散,故原级数的收敛区间为方法２：令二、幂级数及其收敛性级数收敛,级数发散,练习：求收敛半径与收敛区间故原级数的收敛区间为二、幂级数及其收敛性解由比值判别法思考：

级数nnnxn)11()1(1+-å¥=的收敛域.收敛;发散;一、