2025-2026学年下学期福建省厦门一中高二数学4月期中试卷（含答案）

福建省厦门第一中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二年数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数fx=x−A.0B.1C.2D.32.已知数列an是等差数列,且a1+aA.1B.2C.3D.53.设随机变量的分布列如表所示,且Eξ=1.60123P0.1ab0.1A.0.2B.0.1C.0.15D.0.44.1+2x1+x5A.10B.15C.20D.305.对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0,给出定义:设f′x是函数y=fx的导数,f′′x是f′x的导数,若方程f′′x=0A.0B.2C.4D.66.无重复数字的三位偶数的个数为A.136B.328C.360D.7207.已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点,直线y=kx与双曲线C交于A.133B.72C.28.学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他前1天选择了A套餐,则第2天选择A套餐的概率为14;若他前1天选择了B套餐,则第2天选择了A套餐的概率为34.已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为23，在该同学第3天选择了A套餐的条件下,他第2天选择A.526B.715C.7二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,选错得0分.9.记圆M:x−12+A.MNB.若坐标原点在圆M上,则点0,1在圆NC.若圆M与圆N内切,则aD.当a=1时,圆M与圆N的相交弦方程为10.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的是A.第6行从左到右第4个数是15B.第2026行的第1014个数最大C.C22+C32+C42+⋯+C20262=C11.已知棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点，动点FA.若λ+μ=1B.若λ+4μ=1,λ≠0，则点AC.若μ=12，则直线EF与直线BCD.若A1F与A1A夹角为π4，则三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.直线l的一个方向向量为m=1,0,1,平面α的一个法向量为n=−113.城区某中学安排5位老师到A,B,C三所乡村中学任教，要求每个乡村中学至少安排14.已知fx=ex−2x,gx=lnx−ax,若对任意x1四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知Sn为数列an的前n项和,且(1)求该数列的通项an(2)若bn=log2an，求数列1bnb16.已知函数fx=ax+bex在(1)求a,b(2)证明:t>0时,17.平面直角坐标系中,动点P到点M2,0的距离与它到直线x=8(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点M的直线l与轨迹C交于A,B两点，且点A在第一象限，点N−2,0，△AMN与△BMN的面积之比为18.已知函数fx(1)当a=2时，求曲线y=fx(2)若函数fx在1,+∞存在单调递减区间，求实数a(3)当a=12时，证明:函数19.1907年物理学家Tatiana和PaulEhrenfest为了解释热力学第二定律提出了一个分子扩散模型.编号为A和B的两个容器相互联通,当中仅用薄膜分割(允许分子在两容器间穿梭),当一个分子从一个容器转移到另一个容器,则称发生一次转移.发生n次转移后,容器A中的分子数记为Xn,容器A的分子数从Xn=i到Xn+1=j的概率记为Pi,j,即Pi,j=PXn(1)求P2,(2)求2次转移后，容器A中的分子数X2(3)求出EXn与EXn−1的关系式，并用解释当n厦门一中2024级高二(下)数学期中考试参考答案一、单项选择题:1-5:ADCCC6-8:BBA8.设An为第n天选A套餐，An为第n天选B套餐，则PA1二、多项选择题:9.BD10.BCD11.ACD11.解:A选项:因为λ+μ=1,所以点F∈BD1,则CF⊂面BCD1.因为AB1⊥BC,AB1⊥CD1,所以AB1⊥面BCD1，故AB1⊥CF.A选项正确B.选项:AF=λAB+μAD1=λAB+4μAG，由于λ+4μ=1,λ≠0，则点F∈BG,故点A到面A1FG的距离等于点A到面A1GB的距离d.延长A1G交AD于点H,∵AH//A1D1,∴AHA1D1=AGGD1=13.AH=43,故D选项:因为A1F与A1A夹角为π4,所以点F落在以A1A为轴,A1B母线的圆锥面,又因为AF=λAB+μAD1即F∈面ABD1,A1A与面ABD1所成角为π4，所以圆锥面与面ABD1的交线是一条抛物线,点M,B落在抛物线上,以点三、填空题:12.113.15014.−∞,14.解:令Fx=fxx所以Fx的值域为e−2,+∞.所以x1fx1∈0所以Gx的值域为−∞,1e−a.由fx1x1⋅gx2x2=1,得gx2四、解答题14.解:(1)当n≥2时,所以Sn−Sn−1=2an−2an−1,整理可得a(2)因为bn=log2an=n所以Tn=16.解:(1)f′x故f′1=a−a−bex故fx=xex,f′x=1−xex,令所以fx=xex在x=1(2)t>0时，ft<1t⇔t2et<1，令gt=t2et,t>0，11分则g′t=17.解:(1)设动点P的坐标为x,y,由题意可得x−22+y2x−8=12,2分即4x−22+y2=x−82,化简得3x2若直线l的斜率不存在，由椭圆对称性可知△AMN与△BMN的面积之比为1，不符合题意；5分故直线l的斜率必存在且不为0,可设直线l的方程为联立x=my+2x216+y212=1，得:3m2+4y2+12my则−35y2+y结合y1y2=−化简得m2=13,结合y1=18m3m2故y1+y2=−△ABN的面积为S=12AN+BN设△ABN的内切圆半径为r，则12AN+BN+ABr=3218.解:(1)当a=2时,fx=2所以f1=2,f′1=3(2)由题意得f′若函数fx存在单调递减区间,则f′x<0在1,+∞上有解,即a<12x2在1,+∞上有解6分因为函数y=1(3)由题意得Hx=12x2−lnx令gx=x3−令g′x=0可得,x=2−当x∈0,2+73时,g′x<当x∈2+73,+∞时,g′x>0,则又g0=−1,g2=−3<0,g3=5>0,所以存在x0∈2,3,使得gx0=0,即H′x0=0,⋯14分所以当x∈0,x0所以存在x1∈0,1又H4=14−l