2025-2026学年下学期广东省深圳高级中学集团高一数学4月期中试卷（含答案）

深圳高级中学(集团)2025-2026学年第二学期期中测试题高一数学满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=1+iiA.1B.2C.2D.22.设m,n是两条不同的直线，α,A.若m//α,nB.若m//n,mC.若m⊂α,n⊂βD.若m,n是异面直线,m⊂α3.如图所示是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,且∠ABC=120A.113πB.319π4.在三棱柱ABC−A1B1C1中，E是棱CC1的中点，D是棱BC上一点，BD=λDC，A1，若A.1B.2C.3D.45.在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,BM=23A.DO=3C.DO=26.深圳高级中学高一年级迎来了2026年春季数学活动周,同学们都积极参加各种数学活动.深圳大梅沙海滨公园以其绵长的海岸线和“愿望塔”闻名，某个数学兴趣小组计划测量愿望塔的高度.他们在愿望塔正东方向的沙滩上选取了观测点A,在点A处测得愿望塔顶端P的仰角为30∘,又在沙滩上选择了观测点B(A,B和塔底O在同一个水平面上),愿望塔底端O位于点B的北偏西45∘，已知A,B两点的距离为100米，测得点B位于点A的南偏西15∘，则愿望塔的高度约为(A.60米B.71米C.85米D.100米7.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若C=π3,c2=94ab,角A.4721B.43158.O为平面内的定点，a=b=2,a,b的夹角为A.1B.2C.3D.4二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.设复数z的共轭复数为z,iA.若复数z=−1+2i,则B.若复数z=−1+2i,则zC.若z1−i=1,则D.若z12=z10.已知a,b,c分别为△ABC内角A.若A>B,则B.在锐角△ABC中，不等式sinAC.若B=π3,a=23，且△D.若cos2A>cos2B11.已知圆锥顶点为S,高为1,底面圆O的直径AB长为23.若C为底面圆周上不同于A,B的任意一点,A.圆锥SO的侧面积为2B.过顶点S作圆锥的截面,截面面积的最大值为3C.若P为SB的中点，过P作平面α与底面圆周交于M、N，且SA//α，则△PMND.若AC=BC,E为线段AC上的动点，则SE三、填空题:本题共3个小题,每小题5分,共15分。12.水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B′O′=C13.已知向量a=2,1,b=cosθ,sinθ0≤θ≤π，若b在14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知正四棱台ABCD−A1B1C1(1)求此棱台的侧面面积；(2)若截去三棱锥A1−ABD，求截去的三棱锥A1−ABD16.(15分)已知等腰梯形ABCD中,AB=2CD=4,∠(1)若AB+kAD与AC共线，求(2)若P为AD边的中点，PB与AE交于F，求cos∠AFB(3)若P为AD边上的动点，求PB+PC17.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2acosC(1)求角A的大小；(2)若PB=3,sin∠BCP=318.(17分)如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F,M分别是棱A(1)若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证:(2)当直线B1D⊥EP时,求三棱锥(3)是否存在一点P，使得直线PC1//平面EFM?若存在，求出此时线段DP与(1)(2)19.(17分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，求a+(3)若△ABC为锐角三角形，O为△ABC的垂心，且满足AO=mAB+nAC深圳高级中学(集团)2025-2026学年第二学期期中测试题高一数学参考答案选择题1234567891011CDDBBBACACABDACD填空题12.613.2π314.解答题15.(1)正四棱台ABCD−A1B1C取A1B1的中点E1,AB的中点E设O1,O分别是上、下底面的中心,O1O=在直角梯形EOO1E1∴EE∴S侧(2)该正四棱台的体积为VABCD−V三棱锥体,−几何体A1B1C∴两部分体积之比为2:513分16.如图建立直角坐标系,则A(1)ABAB+kAD与AC共线∴(2)PPB=5(3)设P0≤t≤1∴当t=117.(1)因为2acosC+c=2b,由正弦定理得2所以sin所以cosA=0<A∴A=(2)由(1)知A=π3，而由于∠APC是△BPC的一个外角，所以在△BPC中,由正弦定理得PB即335738=BCsin由余弦定理得,BC即19=PC2+9故AB=2+3=5所以SABC=18.(1)在正方体ABCD−A因为平面ABB1A1//平面DCC1D1,平面EFP∩平面(1)(2)所以EF//l因为点E、F分别是棱AA1、所以1//A(2)连接EBE是AA1的中点∴AE=∴△又B1D⊥EP ∴P为B1D∴VA(3)存在P使得PC1//平面EFM，此时点P是线段DB1连接A1C1,BC1,A1B下面证明:点E,F分别为棱A∴EFA1B又EF⊄平面∴EF平面A1在正方体ABCD−A1B∴四边形AA1C1点F,M分别是AB,BC∴又MF⊄平面A1C1∴MF平面A1又EF∩FM∴平面EFM平面A又PC1⊂13分∴PC1设平面EFM与DB,交于点O平面EFM与正方体的截面是正六边形∴点O是正方体的中心,即O为DB的中点连接AB1,分别交A1C,EF于平面EFM平面A∴PQOR15∴B119.(1)由正弦定理，a可变成sinAcos又sin则3sinAsinC−cos则3sinA即sinA−π6=12,又A∈0,π,则A−π6(2)由正弦定理可得a=3cos因为VABC为锐角三角形,所以0<2π3−C<所以π12<C2所