【中考数学冲刺】2026届上海市中考仿真数学试卷1 附解析

/【备考2026】上海市中考仿真数学试卷1一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）下列运算中正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a4＝a8 C．（a2）3＝a5 D．（a2）3＝a62．（4分）m是一个三位数，n是一个两位数，若把m放在n的右边，组成一个五位数，则这个五位数可以表示为（）A．mn B．10m+n C．1000n+m D．1000m+n3．（4分）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝3x D．y＝2x2﹣54．（4分）某校九年级（5）班开展“读二本好书，伴自己成长”活动，对本班学生一周的阅读时长进行了统计并绘制成如图所示的条形统计图，则该班学生一周阅读时长的中位数和众数分别是（）A．10h，9h B．10h，10h C．9.5h，9h D．9.5h，10h5．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，设，那么的模为（）A． B． C． D．26．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（）A．点F为△ABC的外心 B．点F为△ABC的内心 C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上 D．点E为AC中点二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）多项式﹣9x2y+36xy2﹣3xy提公因式﹣3xy后的另一个因式为．8．（4分）若不等式组的解集为，其解为x＞n，则n的取值范围是．9．（4分）方程的解是．10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．11．（4分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝﹣（x+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的关系式是．12．（4分）对于反比例函数，当x＞0时，y＜0；当x＜0时，y＞0，则k的值可以是（只需写出一个符合条件的实数）．13．（4分）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是．14．（4分）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是50米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）15．（4分）如图是某小区部分居民最喜欢的支付方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他）的扇形统计图，则支付方式D占整体的百分比是．16．（4分）已知质量为7.9×103kg的铁的体积是1m3．现有一个体积为3mm3的铁钉，那么它的质量是千克（结果用科学记数法表示）．17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝1，点P是边CD上的动点（不与C、D重合），以AP为边作菱形APEF，使∠E＝30°，若矩形有第二个顶点在菱形APEF的边上，则AP＝．18．（4分）已知⊙O的半径为3，线段AB＝2，若⊙O与线段AB有两个交点，则点O到直线AB的距离d的取值范围是．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）求解下列方程：．21．（10分）红色景区不仅是历史的见证，也是文化的传承．为了激发学生的爱国情怀和民族自豪感．实验中学王老师带领全班学生去枣园革命旧址参观学习，为了更加清楚的了解革命历史信息，王老师特意请来专业人员为他们讲解，讲解的收费标准为：学生每人5元，成人每人10元．设x（名）表示王老师带领的学生人数，y（元）表示所需支付的讲解总费用．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当x＝40时，求y的值．22．（10分）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，先将AC绕点A顺时针旋转90°，得到线段AD，再在AD上画点E，使得∠AEC＝∠ABC；（2）在图2中，先画BF平分∠ABC交AC于点F，再画线段FG，使得FG∥BC，且FGBC．23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点H，延长CD到点E，连结AE交⊙O于点F，连结AC、BC、FC，且∠BCD＝∠BAC．（1）求证：CD⊥AB；（2）若AF＝4，EF＝6，则AC的长为．24．（12分）数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系：【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P，设点P的坐标为（x，y），探究y与x的函数关系．【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段OM与PM的长度，在表格中记录数据如下：线段OM长12345…线段PM长1.223.357.2…如果OM＝a，PM＝b，在网格坐标系中描出点（a，b），用描点法画出函数图象；【总结结论】根据图象猜想线段PM与OM的长之间的函数关系，由此得出点P的坐标（x，y）满足的函数关系：（1）猜想y关于x的函数解析式，请直接写出结论，并写出x的取值范围；（2）在图1中利用几何推理证明（1）中的结论．25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，P是射线BC上的一个动点，作PM⊥AP，交射线AD于点M，交射线DC于点E．（1）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C不重合），延长PE交AD延长线于M．①当AE平分∠PAD时，求CE的长；②设BP＝x，DM＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）当点P在射线BC上时（点P与点B、C不重合），射线AE交射线BC于点F，当时，求CF的长．

答案一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方法则逐项判断即可．解：A．a2和a3不是同类项，不能合并，原式计算错误；B．a2•a4＝a6，原式计算错误；C．（a2）3＝a6，原式计算错误；D．（a2）3＝a6，正确；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．【考点】列代数式【分析】直接利用四位数的表示方法得出答案．解：∵m表示一个三位数，n表示一个两位数，把m放到n的左边组成一个五位数，∴这个数可以表示为1000n+m．故选：C．【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示四位数是解题关键．3．【考点】正比例函数的定义【分析】根据正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）判断作答即可．解：由题意知，A、B是一次函数，故不符合要求；C是正比例函数，故符合要求；D中自变量的次数为2，不是正比例函数，故不符合要求；故选：C．【点评】本题考查了正比例函数．熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．4．【考点】条形统计图；中位数；众数【分析】根据众数是指一组数据中出现次数最多的数；阅读9小时的有11人，人数最多，所以众数是9小时；根据中位数是指把一组数据按从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（两个数的平均数），确定中位数，问题即可解答．解：由图可知，阅读9小时的有11人，人数最多，所以众数是9小时，将40人阅读时间从小到大排列，中间两个数的平均数为10小时，即中位数为10小时，故选：A．【点评】本题主要考查众数和中位数的知识，掌握定义是解题的关键．5．【考点】*平面向量【分析】先得出，然后计算其模即可．解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝1，∠B＝90°，则由勾股定理，得AC．所以．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的知识，先计算出是解答本题的关键．6．【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质【分析】利用等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，则可计算出∠BAD＝∠CAD＝18°，再利用∠ABF＞∠BAF得到AF＞BF，从而得到点F不是△ABC的外心，于是可对A选项进行判断；通过计算∠ABC＝∠ACB＝72°，则可判断BE平分∠ABC，所以根据三角形内心的定义可对B选项进行判断；连接FC，如图，利用AD垂直平分BC得到FB＝FD，再通过计算得到∠CEF＞∠ECF，所以FC＞FE，从而可对C选项进行判断；由于∠BCE＞∠EBC，则BE＞EC，加上AE＝BE，所以AE＞EC，从而可对D选项进行判断．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝18°，∵AE＝BE，∴∠ABF＝∠BAE＝36°，∴∠ABF＞∠BAF，∴AF＞BF，∴点F不是△ABC的外心，所以A选项不符合题意；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣36°）＝72°，∵∠ABD＝36°，∴BE平分∠ABC，∴点F为△ABC的内心，所以B选项符合题意；连接FC，如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴FB＝FD，∴∠FCB＝∠FBC＝36°，∴∠ECF＝36°，∵∠CEF＝∠BAE+∠ABE＝36°+36°＝72°，∴∠CEF＞∠ECF，∴FC＞FE，∴点E、B、C不在以F为圆心的同一个圆上，所以C选项不符合题意；∵∠EBC＝36°，∠BCE＝72°，∴∠BCE＞∠EBC，∴BE＞EC，∵AE＝BE，∴AE＞EC，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等腰三角形的性质和三角形的内切圆与内心．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．【考点】因式分解﹣提公因式法【分析】找出多项式的公因式﹣3xy，提取公因式即可得到结果．解：﹣9x2y+36xy2﹣3xy＝﹣3xy（3x﹣12y+1），所以多项式﹣9x2y+36xy2﹣3xy提公因式﹣3xy后的另一个因式为3x﹣12y+1．故3x﹣12y+1．【点评】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提因式分解的常用方法是解题关键．8．【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式【分析】根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．解：∵不等式组的解集为x＞n，∴n≥3，故n≥3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．【考点】无理方程【分析】方程两边平方得出2x﹣1＝25，求出方程的解，再进行检验即可．解：，方程两边平方，得2x﹣1＝25，2x＝25+1，2x＝26，x＝13，经检验x＝13是原方程的解．故x＝13．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．10．【考点】根的判别式【分析】根据“当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”求解即可．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1•（m﹣1）＞0，整理得，20﹣4m＞0，解得：m＜5．故m＜5．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．11．【考点】二次函数图象与几何变换【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．解：∵将抛物线y＝﹣（x+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3+2）2+1﹣3．即：y＝﹣（x+5）2﹣2，∴经过这两次平移后所得抛物线的关系式是y＝﹣（x+5）2﹣2．故y＝﹣（x+5）2﹣2．【点评】本题考查二次函数图形与几何变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．12．【考点】反比例函数的性质【分析】先判断出函数图象所在的象限，即可得k的取值范围，即可得到答案．解：∵当x＞0时，y＜0；当x＜0时，y＞0，∴反比例函数的图象在第二和第四象限，∴k＜0，故﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的相关知识．13．【考点】列表法与树状图法；概率公式【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．解：把2件合格产品记为A、B，2件不合格记为C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有8个，∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为，故．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．14．【考点】解直角三角形的应用【分析】直接利用直角三角形的边角间关系求解即可．解：由题意，在Rt△ABC中，∵AC＝50米，∠A＝83°，tanA，∴BC＝tanA•AC≈8.14×50＝407（米）．故407．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．15．【考点】扇形统计图【分析】根据各组频率之和等于100%进行计算即可．解：1﹣40%﹣35%﹣15%＝10%，故10%．【点评】本题考查扇形统计图，理解各组频率之和等于100%是正确解答的关键．16．【考点】科学记数法—表示较小的数；有理数的乘法【分析】先将体积单位从立方毫米转换为立方米，再求质量，最后用科学记数法表示结果，即可作答．解：根据题意可知，3mm3＝3×10﹣9m3，∴铁钉的质量用科学记数法表示为：7.9×103×3×10﹣9＝2.37×10﹣5．故2.37×10﹣5．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键．17．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质【分析】根据题意，分两种情况讨论，①当点D在AF上时，根据矩形的性质与菱形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得；②当B点在菱形APEF的边上时，如图，过点A作AM⊥EF交EF的延长线于点M，线段BM上截取BN＝AP，过点N作NQ⊥AB于Q，证明△BQN≌△PAD，根据等面积法即可求解．解：①当点D在AF上时，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝90°，∵AD＝1，∠PAD＝30°，∴AP＝2PD，∴，、∴，∴；②如图，当B点在菱形APEF的边上时，如图，过点A作AM⊥EF交EF的延长线于点M，设AP＝2a，∵四边形AFEP是菱形，∴AF＝EF＝EP＝AP＝2a，在Rt△AMF中，∠MFA＝∠E＝30°，∴，∵EM∥AP，AB∥CD，∴∠MBA＝∠APD，线段BM上截取BN＝AP，过点N作NQ⊥AB于Q，∴∠NQB＝∠D＝90°，∴△BQN≌△PAD（AAS），∴NQ＝AD＝1，BN＝AP＝2a，∵，即2a×a＝6×1，解得（负值舍去），经检验符合题意，∴，综上所述，AP的长为或．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．18．【考点】直线与圆的位置关系【分析】当线段AB的两个端点A、B在⊙O上，连接OA，作OH⊥AB于点H，由OA＝3，AB＝2，得AHAB＝1，则OH2，因为⊙O与线段AB有两个交点，所以2d＜3，于是得到问题的答案．解：如图，线段AB的两个端点A、B在⊙O上，连接OA，作OH⊥AB于点H，∵⊙O的半径为3，AB＝2，∴OA＝3，AH＝BHAB＝1，∵∠AHO＝90°，∴OH2，∵⊙O与线段AB有两个交点，点O到直线AB的距离d，∴2d＜3，故2d＜3．【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出线段AB的两个端点A、B在⊙O上时，点O到直线AB的距离是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【考点】分数指数幂；负整数指数幂；实数的运算【分析】根据分数指数幂的运算法则，二次根式的运算法则，负整数指数幂的运算法则计算即可．解：原式3131＝4﹣21＝3﹣2．【点评】本题考查了分数指数幂，二次根式，负整数指数幂，掌握分数指数幂的运算法则，二次根式的运算法则，负整数指数幂的运算法则是关键．20．【考点】解分式方程【分析】首先方程两边同时乘以x（x+1）去分母，然后可得一元一次方程，再解可得x的值，最后检验即可．解：去分母得：x（x+1）﹣2（x+1）＝x•x，去括号得：x2+x﹣2x﹣2＝x2，移项、合并同类项得：﹣x＝2，∴x＝﹣2，检验：把x＝﹣2代入x（x+1）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣2．【点评】此题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．21．【考点】一次函数的应用【分析】（1）根据“总费用＝每个学生的费用×学生人数+每个成人的费用×成人的人数”写出y与x之间的关系式即可；（2）将x＝40代入y与x之间的关系式，求出对应y的值即可．解：（1）根据题意，得y＝5x+10，∴y与x之间的关系式为y＝5x+10．（2）当x＝40时，y＝5×40+10＝210，∴y的值为210．【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式是解题的关键．22．【考点】作图﹣旋转变换；平行线的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质【分析】（1）取格点D，连接AD，交过点B且垂直BC的直线于E，则∠AEC＝∠ABC；（2）延长BC至H，使AB＝BH＝5，连接AH，取AH的中点N，连接BN，交AC于F，则BF平分∠ABC，取格点M，P，连接MN，MP，BP，则四边形BPMN是平行四边形，取格点R，Q，连接RQ，交PM于G，连接FG，则FG为所求线段．解：（1）如图1，AD为所求线段，∠AEC为所求角；（2）如图2，BF为所求线段，FG为所求线段．【点评】本题考查了作图﹣旋转的变换，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．23．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理【分析】（1）由圆周角定理推出∠ACB＝90°，得到∠BAC+∠ABC＝90°，因此∠BCD+∠ABC＝90°，求出∠CHB＝90°，即可证明CD⊥AB；（2）由垂径定理推出，由圆周角定理推出∠AFC＝∠ACE，判定△ACF∽△AEC，推出AC：AE＝AF：AC，求出AE＝10，即可求出AC的长．（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD+∠ABC＝90°，∴∠CHB＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：由（1）知：AB⊥CD，∴，∴∠AFC＝∠ACE，∵∠CAF＝∠CAE，∴△ACF∽△AEC，∴AC：AE＝AF：AC，∵AF＝4，EF＝6，∴AE＝AF+EF＝10，∴AC：10＝4：AC，∴AC＝2．故2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，关键是由圆周角定理得到∠ACB＝90°，判定△ACF∽△AEC，推出AC：AE＝AF：AC．24．【考点】二次函数综合题【分析】描点法画函数图象；（1）如图，过点P作PB⊥y轴于点B，连接PA，表示出PB＝x，PA＝y，AB＝|x﹣2|，再利用勾股定理建立x和y之间的关系即可得解；（2）同（1）．解：如图，用描点法画函数图象；（1）yx2+1，x取全体实数；（2）如图，过点P作PB⊥y轴于点B，连接PA，∵l1是AM的垂直平分线，∴PA＝PM，∴PB＝x，PA＝y，AB＝|y﹣2|，在Rt△ABP中，AB2+BP2＝AP2，∴（y﹣2）2+x2＝y2，即yx2+1．【点评】本题主要考查了函数图象的画法、勾股定理、垂直平分线的性质、求函数关系式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．25．【考点】四边形综合题【分析】（1）①证明△P