2026年北京市西城区高三下学期二模数学试卷和答案

10440（1）𝐴={𝑛∣𝑛=4𝑘+1𝑘∈𝐙}𝐵={1,3,5,7}(A)𝐵⊆ (B)𝐵⊆ (C)𝐴∩𝐵= (D)𝐴∪𝐵≠（2）𝑧i𝑧2i=3𝑧=(A)2− (B)−2− (C)2+ (D)−2+𝑥2−𝑦2=1(A) (B) (C)

(D)𝑥𝑂𝑦𝛼𝑂𝑥为始边，𝑃(−1,2)𝛼tan2𝛼=

𝑓(𝑥)𝐑𝑔(𝑥)=𝑓(−𝑥𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=(A) (B) (C) (D)𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)ln(𝑥+𝑏)𝑓(𝑥)<0∅(A)𝑎+𝑏> (B)𝑎+𝑏< (C)𝑎2+𝑏2≥

(D)𝑎2+𝑏2≤𝑊𝛼，则“𝑊86𝛼的距离相等”是“平𝛼𝑊分成体积相等的两部分”的充分不必要条件(B)(C)充要条件(D)2023𝑎10𝑥%203320234倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年2033(A) (B) (C) (D){𝑎𝑛𝑖𝑠𝑡(𝑠≠𝑡)𝑎𝑖𝑎𝑠+𝑎𝑡{𝑎𝑛}{𝑎𝑛}{𝑎𝑛}{𝑎𝑛}在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎=5，𝑏=6，𝑐=8，则最大角的余弦值 在(𝑥3−2)4的展开式中，常数项 .（用数字作答𝐚1√3)𝐞=(1,0)𝐛∣𝐛𝐚∣=1𝐛𝐞 设函数𝑓(𝑥)={log2𝑥− 0<𝑥≤4,集合𝑀={𝑥∣∣𝑓(𝑥)∣=𝑚}，其中𝑚≥0.若集合𝑀𝑥− 𝑥>共有3个元素，则𝑚的取值范围是 ；若集合𝑀中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小 “利萨如曲线”.𝐶𝑥2+4𝑦4−4𝑦2=0是一条常见的“利萨如曲线”.①𝑃(𝑥𝑦)𝐶∣𝑥∣≤1，∣𝑦∣≤②𝐶③𝐶④过原点的直线与曲线𝐶最多有3个公共点. （16（𝑃𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐴⊥𝐴𝐵𝐶，𝑃𝐴=𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=√2𝑃𝐶𝐴𝐵𝐶（I）求证：𝐵𝐶⊥（II）𝑃𝐴𝐶𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值（17（𝑓(𝑥)=sin2𝑥sin(𝜋+𝜑)+cos2𝑥sin𝜑𝜑∈(−𝜋 2𝑓(𝑥)𝑥∈[0𝜋]𝑓(𝑥)的最大值和最小值条件①：𝑓(𝜋)= 条件②𝑓(𝑥)(𝜋𝜋)条件③𝑓(𝑥+𝜋)为偶函数注：如果选择的条件不符合要求，第（II）0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，（18（随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.2015 未成年人成年人2016202510年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参20152020612021202553120𝑋𝑋20152025𝑠2𝑠2 𝑠2𝑠2𝑠2𝑠2的大小关系.（结论不要求证明 （19（𝐶𝑥2+𝑦2=1(𝑎>𝑏>0)𝐹(−1,0)𝑀(−12√3)𝐶上 𝐶𝑁(−3,0𝐶𝐴𝐵𝐴𝐴𝑃𝑀𝐹𝑃𝐵𝑃𝑁𝐵𝑃𝐹𝑆△𝐵𝑃𝑁𝑆△𝐵𝑃𝐹，求证：𝑆△𝐵𝑃𝑁=（20（𝑓(𝑥)=1+ln𝑥𝑎>（I）𝑎=1𝑦=𝑓(𝑥)(1,𝑓(1))（II）𝑥∈(0,𝑓(𝑥)𝑓(1)0<𝑎<1𝑓(𝑥)=1𝑥1𝑥2𝑥1𝑥2>（21（𝑛(𝑛≥3)𝑆𝑛={(𝑥1𝑥2𝑥𝑛)∣𝑥𝑖=01(𝑖=1,2𝑛),𝑥2+𝑥2+⋯+𝑥2≠ 𝑆𝑛{(𝑎1𝑎2𝑎𝑛𝑏1𝑏2𝑏𝑛𝑐1𝑐2𝑐𝑛)}，若满足对于任𝑖∈{1,2𝑛}，𝑎𝑖+𝑏𝑖+𝑐𝑖𝑇.（𝑆310𝑇𝑆2026𝑇的三元子集？说明一、选择题（10440分（1（2（3（4（5（6（7（8（9二、填空题（5525分（11）

（13）0（答案不唯一 （14）（15）30分三、解答题（685分（16）（14分解：（Ⅰ）PAABCPABCPAACACPCABC所以直线PC与底面ABC所成角为PCA,即PCA 2在Rt△PAC中，由PA1，PCAπ，得AC 在△ABC中，又因为AB1，BC 所以AC2AB2BC2，即BCAB 4又因为BCPA， ABA所以BC平面PAB 6（Ⅱ）PABBBz//PA.由（Ⅰ）BABCBz两两垂直Bxyz

BP101AP001AC1,20) 8PACmx1,y1,z1

z AP

即

2

mAC

令y11，则x1 ．于是m(2,1,0)．设平面PBC的法向量为n(x2,y2,z2)，

2

xznBP

令x21，则z21．于是n(1,0,1) 12所以cosmn

mn 3|m||n 即平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为3 14（17）（13分解：（Ⅰ）f(x)sin2xsinπcos2xsin2xcoscos2xsinsin(2x) 4所以f(x)的最小正周期T2ππ 6 由f f()，得

π)sin(

)所以sincoscossincos，即tan 结合(π,π)，得π，即f(x)sin(2x 92[0,]，得2[0,]，得2x[ ]

π ,ysinx在(π,2

π上单调递增，在( )上单调递减 得当2xππxπf

当2xπ7π，即xπ时，f 1 13

g(xf(xπ)sin(2xπ)g(0)1g(0)1 即sinπ1，结合(π,π，得π 2 故f(x)sin(2xπ) 9（18）（13分解：（Ⅰ）A由图可知，在2016年到2025年这10年中，有8未成年人参观次数出现增长，故P(A)84 4 5由图知：在2015年至2020年这6年中，只有2019年和2020年这2年的参观总人次超过120在余下的5年中，只有2024年和2025年这2年的参观总人次超过120 所以P(X0) 3 P(X1) 23 P(X2) 2 2 ；P(X3) 2 8所以E(X)0111243117 10 s2s2s2 （19）（15分解：（Ⅰ）由题意，得c1，且

4

1a2b2c2 3解得a3，b 所以椭圆C

1 5 由题意，直线AB的斜率存在，故设AB：yk(x 6A(x1,y1)B(x2y2x2y2由

1得(23k2x218k2x27k260yk(x故Δ324k44(23k227k26)0，即

3k

3（k0x1x223k2

x1x2

27k2

9APMFMF//yP(1,y1BPy

y2y1(x1，即

y)x

1)y

x

0x2

2NBPFBP

|2y23y1x2y1(y2y1)2((y2y1)2(x2(y2y1)2(x2

12因为(2y23y1x2y1y1x2y12y24y12x22k(x23)4k(x13)2x2k(x14k(x1x2)2kx1x24k23k22k

27k2

0所以d1d2 14又因为 1|BP|d， 1|BP|d 所以S△BPNS△BPF （20）（15分解（Ⅰ）由题意，f(x)1lnx，则f(x)lnx 2 f(11f(10所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y1 4（Ⅱ）设g(x)f(x)f(1)1lnxx(1lnx)，x(0,) 5 1ln

(x21)ln则g(x)

lnx)

x0,1)x210lnx0g(x)0；x(1,)x210lnx0g(x)0，x(0,)g(x)≥0（x1时取等号即g(x)在(0,)上单调递 7g(10，得当0x1g(xg(10f(xf1x1f(xf1)

x(0,

时，f(x) f(f(

；当x1时，f(xf1

；当x(1,)时，f(xf1) 9f(xlnxf(x0x1xf(xf(x(0,ff所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减 11x1lnxx1.（m(x)x1lnxx1m(x)x10.故m(x在(1,)x1m(x)m(1)0，即lnxx1f(101f(111f(2a(1ln22ln1a[22111（利用结论（ 所以x1(0,1),x2(1,)，使得f(x1)f(x2)1 13由（Ⅱx(1)f(xf1f(xf(xf(1f(xf(1 x1(0

1(01f(x在(01x1

，即x1x21 15（21）（15分（Ⅰ） 3由题意，S25131个元素，故最多能选出[3110个两两交集为空集的三元子 5S5中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，第一个数字称为第一个分量，以此类推）2416；同理，所有第二个分量、第三个的分量、……的和均等于16 7S5中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为(00000)这与(00000)S5S5的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质 9记tn

2n

nn2Snn2S2的三元子集只有一个{(01),(1011，且具有性质10分S2中最多能选出t21个两两交集为空集，且具有性质的三元子集.S2中具有性质的三元子集为{(a1a2b1b2c1c224n4S4中有241

524所以在S4的子集中，最多能选出t4 5个两两交集为空集，且具有性质的三元集 12设{(