高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间位置关系第1页目标导航课标要求1.会判断空间两直线位置关系.2.了解两异面直线定义,会求两异面直线所成角.3.能用公理4和等角定理处理一些简单相关问题.素养达成经过空间两直线位置关系学习,锻炼了学生逻辑思维能力、空间想象能力,促进直观想象等关键素养达成.第2页新知探求课堂探究第3页新知探求·素养养成点击进入情境导学知识探究1.异面直线(1)定义:不一样在

两条直线叫做异面直线.任何一个平面内(2)画法:第4页2.空间两条直线位置关系位置关系共面情况有没有公共点相交在同一平面内

.平行在同一平面内没有公共点异面不一样在任何一个平面内没有公共点有且只有一个公共点探究1:若直线a⊂α,b⊂β,a和b一定异面吗?答案:不一定.当a与b不一样在任何一个平面内,a,b才异面.第5页3.平行线传递性公理4:平行于同一条直线两条直线

.符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c.4.定理空间中假如两个角两边分别对应平行,那么这两个角

.5.异面直线所成角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成

(或

)叫做异面直线a与b所成角(或夹角).(2)异面直线所成角θ取值范围:0°<θ≤90°.(3)假如两条异面直线a,b所成角是直角,就说这两条直线相互垂直,记作a⊥b.相互平行相等或互补锐角直角第6页探究2:若两条直线都与第三条直线垂直,这两条直线一定平行吗?答案:不一定.比如墙角处三条直线两两垂直,不过没有任何两条直线是相互平行.第7页自我检测1.(位置关系)分别在两个平面内两条直线位置关系是(

)(A)异面 (B)平行(C)相交 (D)以上都有可能D2.(等角定理)已知∠BAC=30°,AB∥A′B′,AC∥A′C′,则∠B′A′C′等于(

)(A)30°(B)150°(C)30°或150°(D)大小无法确定C3.(异面直线判定)在三棱锥S-ABC中,与AB异面棱为(

)(A)BC (B)SA (C)SC (D)SBC第8页4.(公理4、位置关系)在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP中点,则EF与HG位置关系是(

)(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或异面A5.(异面直线所成角)正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BC1和CD1所成角是(

)(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°C第9页6.(异面直线判定)如图所表示,G,H,M,N分别是三棱柱顶点或所在棱中点,则表示直线GH与MN是异面直线图有

.(填序号)

答案:②④第10页题型一空间位置关系判断【思索】过平面外一点和平面内一点连线与平面内不经过该点直线是异面直线,正确吗?提醒:正确.课堂探究·素养提升第11页【例1】已知空间四边形ABCD,AB≠AC,AE是△ABC中BC边上高,DF是△BCD中BC边上中线,求证:AE和DF是异面直线.证实:假设AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE,DF平面为β,若E,F重合,则E为BC中点,所以AB=AC,与AB≠AC相矛盾.若E,F不重合,因为B∈EF,C∈EF,而EF⊂β,所以B∈β,C∈β,又A∈β,D∈β,所以A,B,C,D四点共面,这与题设ABCD为空间四边形矛盾,综上可知,假设不成立,所以AE与DF为异面直线.第12页方法技巧判定两直线异面惯用方法(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)情况.第13页即时训练1-1:(·四川泸州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线条数为()(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线CD,C1D1,C1C,D1D,B1C1,AD,共有6条直线与直线BA1是异面直线,故选C.第14页【备用例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB中点,试判断以下各对线段所在直线位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC;(3)A1C与D1B;(4)DC与BD1;(5)D1E与CF.第15页解:(1)因为C∈平面ABCD,AB⊂平面ABCD,又C∉AB,C1∉平面ABCD,所以AB与CC1异面.(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,则A1,B,C,D1在同一平面内.所以A1C与D1B相交.(4)因为B∈平面ABCD,DC⊂平面ABCD,又B∉DC,D1∉平面ABCD,所以DC与BD1异面.第16页(5)CF与DA延长线交于G,连接D1G,因为AF∥DC,F为AB中点,所以A为DG中点.又AE∥DD1,所以GD1过AA1中点.所以直线D1E与CF相交.第17页题型二公理4及等角定理应用【例2】如图所表示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是AB,BC,A′B′,B′C′中点,求证:EE′∥FF′.第18页证实:因为E,E′分别是AB,A′B′中点,所以BE∥B′E′,且BE=B′E′,所以四边形EBB′E′是平行四边形.所以EE′∥BB′,同理可证FF′∥BB′,所以EE′∥FF′.第19页变式探究1:在本例中,若M,N分别是A′D′,C′D′中点,求证:四边形ACNM是梯形.第20页变式探究2:将本例变为已知E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′棱AD,A′D′中点,求证:∠BEC=∠B′E′C′.第21页证实:如图所表示,连接EE′.因为E,E′分别是AD,A′D′中点,所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形.所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,所以EE′∥BB′,且EE′=BB′.所以四边形BEE′B′是平行四边形.所以BE∥B′E′.同理可证CE∥C′E′.又∠BEC与∠B′E′C′两边方向相同,所以∠BEC=∠B′E′C′.第22页方法技巧证实两直线平行惯用方法:(1)利用平面几何结论,如平行四边形对边,三角形中位线与底边;(2)定义法:即证实两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用公理4:找到一条直线,使所证直线都与这条直线平行.第23页即时训练2-1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1及DD1中点,证实:∠BGC=∠FD1E.第24页【备用例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,AB中点,M,N分别为B1C1,C1D1中点.求证:(1)MC∥A1E,A1F∥CN;第25页第26页(2)∠EA1F=∠NCM.证实:(2)由(1)知A1F∥CN,MC∥A1E,又A1E,A1F与CM,CN方向分别相反,所以∠EA1F=∠NCM.第27页题型三求异面直线所成角【例3】(12分)如图,在三棱锥A-BCD中,O,E分别是BD,BC中点,AO⊥OC,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,求异面直线AB与CD所成角余弦值.第28页规范解答:取AC中点M,连接OM,ME,OE,……………………1分由E为BC中点知ME∥AB,…………2分由O为BD中点知OE∥DC,所以直线OE与EM所成锐角就是异面直线AB与CD所成角.……4分第29页第30页方法技巧

求异面直线所成角普通步骤:(1)找(或作出)异面直线所成角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形内角,经过解三角形,求出所找角.(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ即为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求.第31页即时训练3-1:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1与BD1所成角正弦值为

;第32页(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中与侧面对角线AD1