高三二轮高效复习主题巩固卷数学平面向量的最值与范围问题

[课下巩固检测练(十六)]平面向量的最值与范围问题(每题5分)1.已知O为直线AB外一点，且OP＝xOA＋yOB，若A，B，P三点共线，则x2＋y2的最小值为()A.12 B.C.1 D.2解析：选A.因为A，B，P三点共线，所以存在非零实数λ，使得BP＝λAB，所以OP－OB＝λOB－OA，所以OP＝1+λOB－λOA＝xOA所以x＋y＝1，所以1＝(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)，即x2＋y2≥12当x＝y＝12时等号成立，所以x2＋y2的最小值为12.已知非零向量a，b满足a－b⊥2a－b，则sin＜a，b＞A.33 B.C.13 D.解析：选C.由题意，得a－b·2a－b＝2a2－3abcos＜a因为a＞0，b＞0，所以cos＜a，b＞＝2a2+b23ab≥22又由同角的平方和为1，所以sin＜a，b＞≤133.已知平面内不共线的三个向量a，b，c两两夹角相等，且a为单位向量，b＝2c＝4，则2a－b＋cA.23 B.6C.33 D.7解析：选B.由题意可知，三个向量a，b，c两两的夹角为2π由平面向量数量积的定义可得a·b＝a·bcos2π3＝1×4×－1同理可得a·c＝－1，b·c＝－4，所以2a－b＋c＝2a－4.如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足BD＝λBC(0＜λ＜1)，E为AC的中点，则DB·DE的取值范围为()A.－94，4 B.[－C.－94，4 D.[－解析：选A.以直线BC为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，则B(－2，0)，C(2，0)，A(0，23)，E(1，3)，因为BD＝λBC(0＜λ＜1)，则点D在线段BC(不含端点)上，设D(x，0)，则－2＜x＜2，DB＝(－2－x，0)，DE＝(1－x，3)，所以DB·DE＝(－2－x)(1－x)＝x2＋x－2＝x＋122－94(－2＜所以当x＝－12时，DB·DE取得最小值为－94，当x＝2时，DB·DE＝故DB·DE的取值范围为－95.(2025·北京朝阳一模)在△ABC中，CA＝CB＝5，AB＝4，点M为△ABC所在平面内一点且AM·BC＝0，则AM·CM的最小值为()A.0 B.－16C.－45 D.－解析：选C.在三角形ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2+BC2-AB22AC×CB＝5+5-162×5×5＝－则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如图所示：又cos∠ACO＝－cosC＝35，则sin∠ACO＝4故OA＝AC×sin∠ACO＝5×45＝455，OC＝AC×cos∠ACO＝5×3则A0，455，C355，0，B855，0，设M0，故AM·CM＝mm－455＝m－2552－4也即AM·CM的最小值为－456.已知向量a，b，c，满足a＝4，a与b的夹角为π3，c·(c－a)＝－3，则｜b－c｜的最小值为(A.23＋2 B.3－3C.3＋1 D.3－1解析：选D.如图，建立平面直角坐标系，设OB＝b＝m，0，点B在x设点A在第一象限，a＝OA＝2，23，设c＝OC＝x，y则c·(c－a)＝x，y·(x－2，y－23)＝－3，整理得x－12所以点C的轨迹是以1，3为圆心，1为半径的圆，设圆心为又｜b－c｜＝m－x2当直线BC过点D且垂直于x轴时，BC取得最小值，最小值为3－1，即｜b－c｜的最小值为3－1.7.如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG＝2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点.设AB＝xAP(x＞0)，AC＝yAQ(y＞0)，则4x+2＋1y+1的最小值为A.34 B.C.3 D.6解析：选B.因为M为线段BC的中点，所以AM＝12(AB＋AC)，又因为AG＝2GM，所以AG＝23AM＝13(AB＋AC)，又AB＝xAP(x＞0)，AC＝yAQ而P，G，Q三点共线，所以x3＋y3＝1，即x＋y＝3，则4x+2＋1y+1＝16[(x＋2)＋(y＋1)]4x+2＋1y+1＝16［4当且仅当x+2y+1＝4(y+1)x+2，即8.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，｜OA｜＝｜OB｜＝2，｜AB｜＝2，设C(3，4)，则｜2CA＋AB｜的取值范围是()A.[6，14] B.[6，12]C.[8，14] D.[8，12]解析：选D.因为｜OA｜＝｜OB｜＝2，｜AB｜＝2，由AB＝OB－OA平方可得，OA·OB＝0，所以＜OA，OB＞＝π22CA＋AB＝2OA－OC＋OB－OA＝OA＋OB－2OC，OC＝32所以2CA＋AB2＝OA2＋OB2＋4＝2＋2＋4×25－4OA＋OB·OC＝104－4(OA＋OB)·又OA＋OB·OC≤OA＋OBOC＝5×2+2＝10，即－10所以2CA＋AB2∈64，144，即｜29.(2025·江西南昌二模)已知向量a＝(1，－2)，a·b＝5，则b的最小值是.解析：设b＝x，y，则a·b＝x－2y＝5，可得x＝2y＋故b＝x2＋y2＝2y+52当且仅当y＝－2时，b取最小值为5.答案：510.设向量OA＝(1，x)，OB＝(2，x)，则cos＜OA，OB＞的最