优化例题+习题

小学四年级上册数学思维训练：《优化》例题与习题详解在我们的日常生活和数学学习中，常常会遇到这样的问题：怎样合理安排才能最省时间？怎样规划才能用最少的资源完成任务？这些都涉及到“优化”的思想。优化，简单来说，就是通过巧妙的安排和设计，在众多可能的方案中选择最好的那一个。掌握优化的方法，不仅能提高我们解决实际问题的能力，还能让我们养成高效、科学的思维习惯。下面，我们就一起来学习几种常见的优化问题。一、时间优化：合理安排顺序，节省时间核心方法点睛：在做几件事情时，如果有一些事情可以同时进行，我们应该尽量让它们“并行”，从而节省总的时间。这就需要我们学会观察哪些事情必须单独做，哪些事情可以和其他事情同时做，并合理安排它们的先后顺序。典型例题详解例题1：小明早晨起来要完成以下几件事：①刷牙洗脸（3分钟）②煮鸡蛋（8分钟）③吃早餐（5分钟）④整理书包（2分钟）小明怎样安排才能最快吃完早餐去上学？最少需要多少分钟？分析与解答：我们来看看这些事情哪些是可以同时做的。煮鸡蛋需要8分钟，在这8分钟里，小明是不是只能干等着呢？当然不是！他可以利用煮鸡蛋的时间去做其他不需要用火的事情。刷牙洗脸（3分钟）和整理书包（2分钟），这两件事总共需要3+2=5分钟，这个时间是小于煮鸡蛋的8分钟的。所以，小明可以这样安排：1.先开始煮鸡蛋（8分钟）。2.在煮鸡蛋的同时，进行刷牙洗脸（3分钟）和整理书包（2分钟）。这两件事做完后，鸡蛋还在煮，可能还需要等一小会儿鸡蛋才能熟。3.鸡蛋煮熟后，再花5分钟吃早餐。那么总共需要的时间就是煮鸡蛋的8分钟加上吃早餐的5分钟，一共是8+5=13分钟。因为刷牙洗脸和整理书包是在煮鸡蛋的时候完成的，没有额外占用总的时间。所以，最少需要13分钟。巩固练习题习题1：妈妈要做晚饭，需要做以下事情：①淘米（2分钟）②用电饭锅煮饭（20分钟）③洗菜、切菜（10分钟）④炒菜（15分钟）妈妈怎样安排才能用最少的时间让全家吃上饭？最少需要多少分钟？（注：煮饭和炒菜可以同时进行）习题2：小红周末在家做作业，她需要完成语文、数学、英语三科作业。其中，语文作业需要25分钟，数学作业需要20分钟，英语作业需要15分钟。如果她中途不休息，怎样安排做作业的顺序才能使她尽快完成所有作业？（提示：这个问题不涉及“同时进行”，但思考如何让整体感觉更高效，其实只要专注完成即可，但如果从疲劳度考虑，或许可以先做耗时较长的？不过对于这个问题，所有作业必须依次完成，所以总时间是固定的，但我们可以思考的是，在同样的总时间下，如何让自己更有条理。不过严格来说，这题主要是让大家理解“顺序”在某些不可并行任务中的意义，此处总时间为25+20+15=60分钟，所以答案就是合理安排顺序，专注完成，总时间60分钟。但为了练习，可以引导学生思考如果有其他可并行的小事，不过本题没有，所以重点放在理解“依次完成”的总时间计算。）二、策略优化：选择最佳方案，提高效率核心方法点睛：在解决一些实际问题时，比如购物、乘车、分配任务等，往往有多种不同的方案。策略优化就是要我们通过计算和比较，找出最省钱、最省力或者效率最高的方案。典型例题详解例题2：学校组织四年级学生去郊游，共有102名师生。现在有两种车型可供租用：①大客车：限乘40人，租金每辆1000元。②小客车：限乘25人，租金每辆650元。怎样租车最省钱？分析与解答：要想租车最省钱，我们需要考虑两个方面：一是尽量让每辆车都坐满，避免空座位浪费；二是比较不同车型的单位成本，通常大车人均费用较低，但如果剩余人数太少，租小车可能更划算。我们可以先计算一下大客车和小客车每人的租金大概是多少，这样心里有个数。大客车：1000元÷40人=25元/人小客车：650元÷25人=26元/人从人均租金看，大客车更划算，所以应该优先考虑租大客车。但也要注意不能为了租大车而导致最后一辆车空太多座位。总人数是102人。方案一：全租大客车。102÷40=2（辆）……22（人）租2辆大客车可以坐80人，还剩22人。这22人还需要再租1辆车。如果租3辆大客车：3×1000=3000元，可以坐120人，空18个座位。如果租2辆大客车和1辆小客车：2×1000+1×650=2000+650=2650元。小客车坐22人，还空3个座位。方案二：考虑租1辆大客车，剩下的人租小客车。102-40=62人。62÷25=2（辆）……12（人）。所以需要3辆小客车。总租金：1×1000+3×650=1000+1950=2950元。这个比方案一中的2650元贵。方案三：全租小客车。102÷25=4（辆）……2人。需要5辆小客车。总租金：5×650=3250元。这是最贵的。方案四：我们再看看方案一的2辆大车和1辆小车，租金2650元。还有没有更优的？比如3辆小车能坐75人，____=27人，27人坐一辆大车坐不满，还是需要2辆大车，和方案一类似。或者40×1+25×3=40+75=115人，租金1000+1950=2950，不如2650。所以，比较下来，方案一：租2辆大客车和1辆小客车最省钱，租金2650元。巩固练习题习题3：四年级（1）班有45名同学去公园划船。公园里有两种船：①大船：每条限乘6人，租金30元。②小船：每条限乘4人，租金24元。怎样租船最省钱？习题4：妈妈想买30个苹果。超市里有两种包装：①大袋：每袋8个，售价15元。②小袋：每袋5个，售价10元。妈妈怎样买最省钱？（提示：可以考虑只买大袋、只买小袋，或者大袋小袋混合买几种情况进行比较）三、优化思想的应用与总结优化思想不仅仅体现在上面我们讲到的时间安排和租车购物上，它还广泛应用于我们生活和学习的方方面面。比如，我们整理书包时，把常用的书本放在容易拿的地方，这也是一种优化；在做数学题时，选择更简便的算法，同样是优化。解决优化问题，通常的步骤是：1.明确目标：我们想要达到什么目的？（比如最省时间、最省钱、最高效等）2.列出所有可能的方案：不要满足于想到一种方法就停止，多思考几种可能性。3.计算或分析每个方案的结果：对于可以量化的，要进行计算比较；对于不能直接量化的，要进行逻辑分析。4.选择最优方案：在比较的基础上，选出最好的那个方案。希望同学们通过今天的学习，能够有意识地运用优化的思想去思考问题，让自己的学习更高效，生活更有条理。记住，多动脑筋，你总能找到更好的方法！---参考答案提示（请同学们先独立思考完成，再对照检查）：*习题1：先淘米（2分钟），然后煮饭（20分钟）。在煮饭的同时，可以洗菜切菜（10分钟）和炒菜（15分钟）。注意，洗菜切菜和炒菜总共需要10+15=25分钟，超过了煮饭的20分钟。所以总时间是淘米2分钟+煮饭20分钟+（炒菜超出煮饭时间的5分钟，因为洗菜切菜10分钟可以在煮饭初期完成，然后炒菜15分钟，其中前10分钟和煮饭并行，后5分钟煮饭已完成）=2+20+5=27分钟？或者更清晰的：淘米2分钟后开始煮饭（20分钟），在这20分钟内，先洗菜切菜10分钟，然后开始炒菜，炒到第20分钟饭熟时，菜可能还需要炒15-10=5分钟（因为洗菜切菜10分钟，炒菜15分钟，共25分钟与煮饭20分钟重叠10+10=20分钟？此处可能需要更细致分析：淘米2分钟->煮饭开始（0分钟计时，20分钟后熟）。在煮饭的0-10分钟：洗菜切菜。10-25分钟：炒菜（共15分钟）。所以饭在20分钟时熟，此时菜炒了20-10=10分钟，还需5分钟菜熟。所以总时间是2（淘米）+25（炒菜总时长，包含与煮饭重叠的20分钟）=27分钟。是的，最少需要27分钟。*习题2：因为作业必须依次完成，无法并行，所以无论顺序如何，总时间都是25+20+15=60分钟。但可以引导学生思考，先做耗时较长的可以避免最后手忙脚乱，比如先做语文25分钟，再数学20分钟，最后英语15分钟。*习题3：大船每人30÷6=5元，小船每人24÷4=6元，优先租大船。45÷6=7（条）……3（人）。方案一：7大1小，7×30+24=234元，但小船坐3人有空位。方案二：6大3小：6×6+3×4=36+12=48人，空3人，费用6×30+3×24=180+72=252元，不如方案一。方案三：5大3小：5×6+3×4=30+12=42人，少3人，不行。方案四：7大1小234元，或者考虑6大1小：6×6+4=40人，少5人，不行。或者5大（30人），剩下15人，15÷4=3条小船余3人，需4条小船，5×30+4×24=150+96=246元，不如234。或者4大：24人，余21人，21÷4=5条小船余1人，需6条小船，4×30+6×24=120+144=264元。所以最省钱的是租7条大船和1条小船，共234元。（也可考虑是否可以让大船少租一条，用小船补上，比如7-1=6条大船，45-36=9人，9÷4=2条小船余1人，需3条小船，费用6×30+3×24=180+72=252元，比234贵，所以还是7大1小。）*习题4：大袋每个苹果15÷8=1.875元，小袋每个2元，优先大袋。30÷8=3袋（24个）余6个。6个买一小袋5个，还剩1个，不划算。所以3大1小：24+5=29个，少1个，不行。或者4大袋：32个，15×4=60元。或者2大袋：16个，15×2=30元，还需14个，14÷5=2小袋（10个）余4个，需3小袋，30+3×10=60元。或者3大