北师大版高中数学选择性必修第二册第2章《导数及其应用》综合测评【原卷+答案】

第二章综合测评

一、选择题:本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.曲线产心）在点（如比）处的切线方程为产2什1,则lim岖吟必她等于（）

△x-»04X

A.-4B.-2C.2D.4

2.若函数於）=/+C7/+3X-9在x=-3时取得极值，则a等于（）

A.2B.3C.4D.5

3.若函数凡i）=耳。>1）有最大值-4,则实数a的值是（）

X-1

A.lB.-lC.4D.-4

4.已知函数於）=//在（-8,-1）内单调递增，则实数。的取值范围是（）

ax

A.[l,+a))B.(-<»,0)U(0JJ

C.(0,llD.(q,0)UH,+8)

IM

5.函数段)的部分图象大致为()

OX

D.3

7.已知函数g(x)的图象关于丁轴对称，当x£(・8,0)时,g(x)<0,g(2)=0,且g(x)=/x+D，则。+1双。>()的解

集为()

A.(3,+oo)B.(-8,l)U(l,+8)

C.(1,+OD)D.(-oo,-l)U(3,+ce)

8.设。=1力4总c=21nIsinj+cos：），则（）

JJ3oo

A..b<a<cB.c<"bC.a<c<bD,b<c<a

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选

对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.[2024全国新高考卷H,1"设函数J（x）=2x^-3ax2+1,则（）

A.当a>\时JU）有三个零点

B.当«<0时产0是./U）的极大值点

C.存在么〃使得直线x=b为曲线），力（工）的对称轴

D.存在。使得点（1川））为曲线产凡i）的对称中心

10.［2024四川成都期末］已知函数於汲其导函数/（X）,若存在血,使得贝乐））=/5））,则称旧是小）的一个

“巧值点”,则下列函数中有“巧值点''的是（）

A./（.v）=x2B.J（x）=exCa=lnxD："）W

11.已知函数儿1）三？+0¥2+后叶屋在x=l处取得极值10,则下列说法正确的是（）

A.tz+/?=0B.a+h=-l

C/U）一定有两个极值点D：«©一定存在单调递减区问

三、填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.已知函数/U）=ln的极小值大于0,则实数m的取值范围为.

13.已知偶函数/）（*0）的导函数为八%）,且满足,*-1）=0,当x>0时,>入戊0则使得危）>0成立的X

的取值范围是.

14.已知函数_/（x）的定义域为［-1,5］,部分对应值如表所示危）的导函数,y=f（x）的图象如图所示,下列关

于儿f）的命题：

①函数人工）的极大值点为0,4;

②函数7U）在区间位2］上是减函数；

③如果当［」,小时«x）的最天值是2,那么/的最大值为4;

④当1<a<2时，函数y=J（x）-a有4个零点.

其中所有正确命题的序号是.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数儿r）=2N-or2+4u=l是函数外）的一个极值点.

（1）求函数次外的递增区间；

（2）当②［-1,2］时，求函数於）的最小值.

16.（15分）设函数/（X）=P6X+5K£R.

（1）求危）的极值;

（2）若关于x的方程段）=。有3个不同的实根，求实数a的取值范围.

17.（15分）已知函数儿6=ae5+l.

⑴求函数/U）的单调区间；

（2）设出为函数Hx）的极小值点，证明次xo巨3:

18.（17分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳为

常数,2&区5）元的管理费,根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为4元时，该产品一年的销售量

为却e为自然对数的底数）万件.已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为5G0万件，

经物价部门核定，每件产品的售价4最低不低于35元，最富不超过41元.

⑴求分公司经营该产品一年的利润“钢单位:万元）与每件产品的售价x的函数关系式.

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大?并求出L。）的最大值.

19.(17分)已知函数/(x)=2ar-g+lnx.

⑴若於)在x=l,x=；处取得极值.

①求a,b的值；

②若存在工。£卜2],使得不等式凡⑹Y0成立，求c的最小值.

⑵当b=a时，若_/U)在(0,+8)内是单调函数，求a的取值范围.

参考答案

第二章综合测评

l.DV/(x0)=2/(xo)=limlim八"°)4"-二2lim'叫，。血』.

八八Ax-0dx』XT0MAX->02Ax

故选D.

2.D/'(力=3十2+2ov+3.由氏，)在x=-3时取得极值，得/'(-3)=0,即27-6«+3=0,1・a=5.经检验\a=5符

合题意.

3.B由函数於六”(C1),

X-1

皿1^_2ax(x-l)-ax2_ax(x-2)

、八)-(x-1)2-(x-l)2,

要使得函数7U)有最大值4则。<0,

则当x£(l⑵时/(x)>0,函数空)在(1,2)内单调递增，

当x£(2,+8)时/(x)vO,函数危)在(2,+8)内单调递减，

所以当户2时,函数於)取得最大值抑危)nm=A2)=兽=-4,解得。=-1,满足题意，故选B.

Z-1

4.D由题意知八处=1-去，由于人用在(4川)内单调递增，则/。巨0在(-8,-1)内恒成立，即尹2在(-

8,-1)内恒成立.当XV-1时片>1,则有士1,解得生1或。<0.故选D.

a

5.C於)=(的定义域为(。,0)0(0,+8)尺1)=哈则代工):右)41)为奇函数，图象关于原点对称，

故排除B;

川)寺<1,故排除A;

:/㈤堞,当x>0时，可得人”尸当潺当0时/(x)>0於)为增函数,故排除D.故选C.

6.C令儿r)=4-lnx-2a>0),则/(x)=*一:=詈，当］£。4)时〃x)<(VU)单调递减;当工仁

(4,+8)时/(文)〉0次力单调递增,且负4)=2-1114-2<0,Ae6)=e3-lne6-2=e3-8>0/e2)=el-ln小口三乂),结

合函数零点存在定理可知函数在区间(0,4)上存在一个零点,在区间(4,+8)上也存在一个零点，故

方程a-lnx-2=0的根的个数为2.故选C.

7.A因为函数g(x)的图象关于y轴对称，

所以g(x)为偶函数，则g(-2)=g(2)=0.

因为当X£(-00,0)时第。)<0,故g(x)单调递减,

所以当工£(0,+8)时田。)>0,故g(x)单调递增，

故当x1-2或x>2时,g(%)>0,

当-2<x<2时,g(x)vO.

因为g(x)习U+1),所以/(x)=g1x-1),

故不等式(x+1)/U)>0等价于(x+1)g(x-1)>0,

所以尸+1>°，或尸+1>°，或俨+1v0，

"U1<-2双ix-l>2*1-2<x-1<2

解得月>3,所以(1+1)")>0的解集为(3,+8).

故选A.

8.B令yW=xhix-(x-l),

所以f(x)=\nx+1-1=lnx,

令八x)=(),得x=l,

所以当x£(l,+8)时〃x)>(VW单调递增，

所以,/(§>成1)=0,即$吟・($1)>0,

所以勺痔>抻〃训令必)二1n(，in-r+cos工)”")=^^.1飞磊彳

当x£(0母时，乳t)<0,g(x)单调递减，

义gQ)<g(0)=0'所以ln(si*+cosj-卜0,

.1,r

sin-+cos-<:，即21n(sin:+cos：)Vg,所以c<a,所以c<a<〃.故选B.

66.6\66/

9.AD由题得『(x)=6x2-6ar=6x(x-a).当a>\时丁仁(-8,0),函数/(x)单调递增/£(0,a),函数/(x)单

调递减,x£(a,+a>),函数/W单调递增.又极大值.八0)=1>0,极小值/)=1-加<o,所以儿()有三个零

点,A正确；

当a<0时5x=0是/)的极小值点,B错误；

任何三次函数不存在对称轴,C错误；

/(1+x)+J[i-x)=l2^-6«.¥2+6-66/,当。=2时«1+x)"1-x)=-6=2/(l),D正确.

故选AD.

10.ACDA〃x)=2x,由JT=2J:得x=0或尸2,有“巧值点”；

Df(x)=-c\-cx=cx无解,无“巧值点”；

c『a)q,方程inW有解，有“巧值点”；

D&)=+由得工=-1,有“巧值点”.

11.BCD由,/(用=小+。/+"+〃，得/(1)=3/+2办+4・・•函数人力=/+，八2+/?X+。2在工=1处取得极

值10,.,-/(1)=0^1)=10,

煞煞;曹八。解砧Ui

当a=-3tb=3时，(x)=3(x・l)2沙,

・••在处不存在极值，舍去；

当a=^b=-\\时/(1)=3亡+8211=(3工+11)(41),・・・工£(-8,；)时/(1)>()/£(-2,1)时/(工)<()»£

(1,+8)时/*)>(\")在x=\处取得极值1(),则a=4力=-11,则〃+b=-7,故A错误,B正确；

此时7U)一定有两个极值点且存在单调递减区间，故C,D正确.

故选BCD.

12.(-co,-1)由Xx)=lnx-1,得/(X)=^^(JV>0).令/(x)=0,则x=-m,

当x>-m时/(x)>0,当0<x<-m时/(x)<0,

J(x)在((),-〃?)内单调递减，在(-见+8)内单调递增，

所以当x=-m时<x)取得极小值，所以-〃?>0,〃i<0.

凡以小值=7(-〃2)=111(-〃2)+1>0,解得〃?<一・

综上"〃的取值范围为(心」」.

e

13.(-1,O)U(0,1)根据题意，令g(x)=矍，

又由./U)为偶函数，则飘4)=㈡=缗，故8。)为偶函数，且g“)=3孚辿='口?(？

(-x)%kx

又由当x>0时则当x>0时,g'(x)vo,

所以函数g(x)在(0,+8)内单调递减，

又尺1)可(1)二。,所以g(l)二空二。,又g(x)为偶函数，则用R<1,解得X£(-1,0)U(0,D,

所以g(x)在(-1,0)U(0,1)内的函数值大于零,

则/W在(J,0)U(0,1)内的函数值大于零.

14.®@由段)的导函数)=曲)的图象(题图)知,函数府)的极大值点为0,4,故①正确；

因为在区间［0,2］上八%长0,故函数/U)在区间［0,2］上是减函数,故②正确；

由题目中的表和题图知g区5,所以③不正确；

因为.")的极小值12)未知,所以当1<〃<2时，函数)=")-〃的零点个数可能为2,3,4,所以④不正

确.

15.解⑴由题意，得人工)二6炉-2"/(1)=0,则a=3.

火M=2?-3炉+4/(x)=6x(x-l),

当x£(-8,0)时

当x£(0,l)时/(劝<0;

当x£(l,+8)时

所以函数fix)的递增区间为(6,0)和(1,+oo).

⑵当x£［-1,2］时〃》)<工)的变化情况如表所示：

V-1(10)(1(0.1)1(1,2)2

r(x)十0-0+

心)-I/极大值极小值/8

当x=-\1)=2(-1)3-3(-1)2+4=-1;

当x=[时<l)=2-3+4=3,

所以当[[2]时，函数於)的最小值为-1.

16.解(»(©=3(『-2),

令人幻=0.得XI=-V2^；2=V2.

当x<-夜或X>V2H+/(A)>(),

当-&<x<或时〃x)<0,

:.当尸-或时,”)取得极大值为./(-企)=5+4企，

当尸鱼时用:)取得极小值为人②=5-4企.

(2)令g(x)=/U)-〃，则gU)=/V),

由(1)可得g(x)的极大值为5+4企-4极小值为5-4&-a,...g(.t)=0有3个不同的实根，故

‘5+4at>0,

5-4V2-a<0,

解得5-4A/2<«<5+4V2,

・•・实数a的取值范围是(5-4近,5+4/).

17.(1)解函数人力的定义域为R,

因为心)=优。+1,所以f(x)=ae*-l.

当0<0时/(*<0恒成立次刈在R上单调递减；

当心0时，令人工)=0,得x=lna

当x<-lna时J'(x)<0,当x>-\na时/(x)>0.

综上，当a<0时,单调递减区间为(-8,+8),无增区间；

当a>0时，单调递增区间为(-Ina,+oo),单调递减区间为(-8,-Ina).

⑵证明由(1)知当4>0时*t)在x=-ln。时取得极小值J(x)的极小值为人-lna)=2+lna.设函数

g(x)=2+lnx-(3-i)=lnx+'I,『(幻=等。>。)，

当0<x<l时,g'a)<0,g(x)单调递减.

当x>\时,g'(x)>0,g(x)单调递增.

故g(X)min=g(l)=0,即8(幻法(1)二(),

所以八碇3-提

18.解⑴设该产品一年的销售量为Q(x)$则+=500,所鼠％=500建,则该产品一年的销售量

〜、5OOe40

。(幻二一^，

则该产品一年的利泗〃X)=。-。-30修用=500eM•上品35M41).

(2)L'(x)=500c地瞥二

①若2<a<4A33<a+31<35,

当35M41时,"㈤或』⑴单调递减，

所以当尸35时,L(x)取得最大值为5()()(5-6/)e5.

②若4c延5,则35<«+31<36,

令L'(x)=O,得x=a+31,

易知当x=a+3\时,L(x)取得最大值为500cf

综上所述，当2&^4,且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利泗为