【浙教数学】三元一次方程组及其解法

专题2.5三元一次方程组及其解法（专项练习）

一、单选题

3x+4z=7①

1.解方程组2X+3»+N=9®时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（)

5x-9y+7z=8®

A.由②③消去zB.由②③消去yC.由①@消去zD.由①③消去x

llx+3z=9

2.运用加减消无法解方程组3x+2j，+z=8,较简单的方法是()

2x-6y+4z=5

22y+2z=61

A.先消去x,再解

66y-38z=-37

2x-6v=-15

B.先消去z,再解

38.r+18j；=21

llx+7z=29

C.先消去外再解

llx+3z=9

D.三个方程相加得8x-2>+42=11再解

a-b+c=O

3.三元一次方程组《4a+2b+c=3消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（)

2。+b-3e=19

5a-26=193。+b=3a+b=la+b=\

A.B.C.D.

a+b=l2a+b=42a+b=\3a-2c=19

x=-3cax二+cy==21的解,则〃、〃间的关系是

4.已知〈今是方程组)

歹=一2

A.9«+4Z>=1B.4a-9h=lC.9a—4b=7D.4h-9a=\

5.若实数x,y,2满足2x-3j，+z=7,旦3x+j，-2z=l,贝ijx—18)，+1lz-5的值是()

A.31B.27C.29D.无法确定

x+y=8

6.如果方程组y+z=6的解使代数式〃+x+j，+z=10,则左的值()

z+x=4

A.8B.-8C.1D.

x-y+z=-3①

7.解三元一次方程组x-2y-z=l②要使解法较为简便,首先应进行的变形为（）

x-y=0®

A.①XDB.①-②C.①+③D.②-③

4x—5y+2z=0

8.已知xyz^O,且x+4y-3z=0'则x：y：z等于()

A.3：2：1B.1：2：3C.4：5：3D.3：4：5

9.有铅笔、练习本、圆段笔三种学习用品，若购铅笔3支,练习本7本，圆珠笔1支共需

3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆

珠笔各1件共需（）

A.1.2元B.1.05元C.0.95元D.0.9元

10.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文一明

文（解密），已知加密规则为：明文0h,c,d对应密文a+2b,28+c,2c+3乩4”.例如,

明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,923,28时，则解密得到的明文为

).

A.7,6,1,4B.6,4,1,7C.46,1,7D.1,6,4,7

二、填空题

x+y=6

11.方程组，y+z=7中，x+y+z=

x+z=5

12.在等式y=a/+bx+c中，当x=l时，y=-2；当％=时，y=20；当x=1■与x时,

y的值相等，则。-2z）+c=

13.已矢口+4y+5z=2,6x—y+z=7,别＜么3x+22y+23z=

14.把三元一次方程组z-2y=-\化为关于x、y的二元一次方程组

x+y-z=-1

x-2y+z=0

15.已知x,y,z满足方程组,,则x：y：z=

7x+4y-5z=0

4x-3y-3z=0x—3y+4z

16.已知x,y,z都不为0,且'；八，则式子一7——的值为

2x-3y+z=0x+6y+z-----

17.《孙子算经》上有一著名问题就是“物不知数问题”.原文是这么说的：“有物不知其数，

三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二.问物几何？”把这个问题翻译为：一个数被

3除余2,被5除余3,被7除余2,求这个数？请你写出符合条件的一个数是

18.一个水池有A,4两个水口，其中A为进水口，“水口可进水也可出水（4水口进出水

速度相同）.已知单独打开A进水口，需要1小时将水池由空池注满.若将A,4两个水口同

时打开进水，5小时将水池由空池注满；若将A水口打开进水，同时8水口打开出水，10小

时将水池由空池注满，则，=.

19.购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆

珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需（）元.

x+2y=ni

20.如果关于x、y的方程组/的解是二元一次方程3x+2y=14的一个解，那么机

x-y=4m

的值是.

21.有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6

天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，如果

放牧16头牛，则天可以吃完牧草.

22.已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c=6,2a+b-3c=1,设〃?=3a+Z?-7c,

设s为〃?的最大值，则s的值为

三、解答题

23.解下列方程组：

2x-y+2z=S,x+y+z=10,

(1)-y+2z=-2,(2)(2x+3y+z=17,

3x+y—4z=1;3x+2y-z=8.

x+y=3a①

24.已知方程组＜y+z=5a②的解使得代数式x-2），+3z的值等于-10,求〃的值.

z+x=4a③

3I

25.在等式y=ad+bx+c中，当x=l时，y=~2；当x=-l时，y=20；当x=］与x=§时,

y的值相等.求。，人C的值.

26.某班参加一次智力竞赛，共。，b,。三道题，每题或者得满分或者得。分•K中题“满

分20分，b.。题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有

1人，答对其中两道题的有15人，答对题”的人数与答对题6的人数之和为29；答对题”的

人数与答对题c的人数之和为25；答对题。的人数与答对题。的人数之和为20,问这个班的

平均成绩是多少.

27.先阅读下面材料，再完成任务:

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值,

如以下问题：

已知实数X,y满足3工-『=5.....①，2x+3y=7.....(2),求x-4y和7x+5y的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x,，的值再代入欲求值的代数式得到答

案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可

以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①一②可得x-"=-2,由①+②x2可得

7x+5y=19,这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”

解决问题：

f3x-2v=-2

(1)已知二元一次方程组工；。,则工-7=,x+y=；

2.v-3y=-3

(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39

支铅笔、5块橡皮、3本口记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本口记本共需多

少元？

(3)对于实数％,V,定义新运算：x*y=ax+a+c,其中b,c是常数，等式右边

是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

参考答案

1.B

【分析】

根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数,得到一个二元一次方程组，从而得出答案.

【详解】

解：由②得：llx+l()z=35,

3x+4z=7

••・转化为二元一次方程组为

lLv+10z=35'

故选：B.

【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一

元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问

题的思想方法.解三兀一次方程组的关键是消兀.

2.C

【分析】

观察方程组，发现第一个方程不含有未知数A因此，可将第二、第三个方程联立，首先消

去产

【详解】

llx+3z=9®

解：，3x+2y+z=8@,

2x-6y+4z=5®

②x3+③，得llx+7z=29④，

④与①组成二元一次方程组

llx+7z=29

[llx+3z=9•

故选：C.

【点拨】本题考查了解三元一次方程组，关键是掌握加减消元法.

3.A

【分析】

根据选项可以得出是将原三元一次方程组中的c进行消元，从而得到只含小〃的二元一次

方程组，所以只需要进行加减消元消掉。即可得到方程组.

【详解】

a-b+c=O①

解：，4a+2"c=3②，

2a+b-3c=\9@

②-①得：3〃+3力=3,

化简可得：。+8=1④，

①x3+③得：3(4z-Z>+c)+2t/+/?-3c=19,

化简可得：5a-2人=19⑤，

联立④与⑤:

5a—2b=19

故选：A.

【点拨】本题主要考杏了三元一次方程组消元转化为二元一次方程组的过程，中要是加减消

无法的运用，熟练掌握计算原理是解题关键.

4.A

【分析】

把—一,代入方程组丁一c可得一”一、，然后利用加减消元进行求解即可.

y=-2ycx-by=2(-3c+20=2

【详解】

解：把0代入方程组｛74可得：

y=-2[cx-by=2

-3a-2c=l©

\-3c+2b=2@，

②x2-①x3得：9a+4A=l；

故选A.

【点拨】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关

键.

5.B

【分析】

将已知适当变形后相减，得到x-18j，+llz的值，即可得到答案.

【详解】

解：由2x—3y+z=7两边同时乘以5得：10x—15y+5z=35①，

由3x+y-2z=l两边同时乘以3得：9x+3j，-6z=3②，

①・②得：x-18^+llz=32,

••・x-18y+Uz-5=32-5=27,

故选：B.

【点拨】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知变形，构造并求出x-18尸dlz的值.

6.C

【分析】

方程组中前两个方程相减消去y得到x与z的方程，与第三个方程联立求出z与x的值，进

而求Hly的值，将x,y及z的值代入已知的等式中，即可求出人的值.

【详解】

x+y=8①

解：＜y+N=6②

z+x=4③

①-②得：x-z=2④，

③+④得：2x=6,

解得：尸3,

将k3代入④得：z=l,

将z=l代入②得：尸5,

x=3

解得卜=5

z=1

代入4+X+N+N=1。中得：々+3+5+1=10

解得：％=1

故选：C

【点拨】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；

加减消元法.

7.A

【分析】

观察发现，第三个方程不含z,故前两个方程相加小区z,可将三元方程转化为二元一次方

程组来求解.

【详解】

x-y+z=-3©

解：解三元一次方程组r+2y-z=l②要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②.

x+y=0③

故选：A.

【点拨】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加

减消元法.

8.B

【分析】

4x-5y+2z=0@

1T1«①②x2,得出x与y的关系式，①x4+②x5,得出x与z的关系

[x+4y_3z=0②

式，从而算出xyz的比值即可.

【详解】

.-5y+2z=0①

•[x+4y-3z=O@，

，①x3+@x2,得2x=y,Q)X4+@X5,得3X=Z,

.,.x：y：z=x：2x：3x=l：2：3,

故选B.

【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，用含有x的代数式表示y与z是解此题的关键.

9.B

【分析】

设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和n元，根据“购铅笔3支，练习

本7本，圆珠笔1支共需3.15元；购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元”建立

三元一次方程组，然后将两个方程联即可求得x+P+z的值.

【详解】

设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，

3x+7y+z=3.15①

根据题意得:

4x+8y+2z=4.2②

②一①可得：x+y+z=1.05.

故选：B.

【点拨】本题考查三元一次方程组的实际应用，解题关键是根据两个等量关系列出方程组,

而利用整体思想，把所给两个等式整理为只含x+y+z的等式.

10.B

【分析】

设解密得到的明文为a,A,c,d,根据加密规则求出小b,c,d的值即可.

【详解】

解：设明文为a,b,c,d,

根据密文14,9,23,28,得到〃+2b=14,2Z)+c=9,2c+3d=23,4d=28,

解得：a=6,b=4,c=l，d=7,

则得到的明文为6,4,1,7.

故诜:B.

【点拨】此题考查了三元一次方程组的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键.

11.9

【分析】

利用加减消元法计算即可.

【详解】

x+y=6©

解：.y+Z=7②

x+z=5③

①+②度得，2x+2y+2z=18,

则x+y+z=9,

故答案为：9.

【点拨】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组是解题的关键.

12.31

【分析】

将x与y的三对值代入计算求出a,b,c的值，再代入求解即可.

【详解】

解：根据题意得：

a+b+c=-2

a-h+c=20

93,11,

—a+—b+c=—a+—b+c

14293

解得：a=6,Z>=-i1,c=3.

:.a-2h+c=31.

故答案为：31.

【点拨】本题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与

加减消元法.

13.-4

【分析】

根据3x+4y+5z=2,6x-y+z=7,即可得至lj15x+20y+25z=10①，12x-2y+2z=14(2),

再用①-②即川得到答案.

【详解】

解：V3x+4y+5z=2,6x-y+z=7,

，15x+20y+25z=10①，\2x-2y+2z=14(2),

用①■②得3x+22)，+23z=-4,

故答案为：-4.

【点拨】本题主要考查了代数式求值，三元一次方程组的解法，解题的关键在于能够准确观

察出式子之间的关系.

【分析】

利用加减消元法消掉未知数z化成关于-y的二元一次方程组.

【详解】

x-z=-4®

解：.z-2y=T②,

x+y-z=-1③

①+②得：x-2y=-5t

②+③得：x-y=-2,

故答案为：，1.

x-y=-2

【点拨】本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法.

15.1：2：3

【分析】

X—2y=—z®

把Z看做是常数，可得\再分别求解X/的值，从而可得答案.

7.v+4y=5z(2)

【详解】

x—2y+z=0x-2y=-z®

解：z=。整理得：

7x+4y=5z②

①x2+②得：9x=3z,

i

X=-z,

3

把x=；z代入①得：y=：z,

12

.\x:y:z=-:—:l=1:2:3.

-33

故答案为：1:2:3.

【点拨】木题考查的是三元不定方程组，掌握把其中一个未知数看成是常数是解题的关键.

,6-15

【分析】

先解三元一次方程组，可用含z的代数式表示x、y,然后代入代数式求值.

【详解】

4x-3y-3z=O©

解：

2x-3y+z=0②

①-②，得2x-4z=0,

/.x=2z.

把x=2z代入①，得8z-3y-3z=0.

解得y=gz.

把x=2z,y=qz代入式子x-3y+4z

Jx+6y+z

2z-5z+4z

2z110zIz

1

一3

故答案为：器.

【点拨】本题主要考查的是三元一次方程的解法，正确的掌握三元一次方程的解法是解题的

关键.

17.23

【分析】

设x=3〃?+2=5〃+3=7Z>+2,可得，,可知5n+l是21的倍数，可求n=4时m=7,h=3

7b=5n+\

即可

【详解】

解:设x=3〃?+2=5〃+3=7b+2

3ni=5n+\

7b=5n+l

入5〃+l

b=-------

7

・・・5〃+l是21的倍数

,7=4时m=7,b=3

这个数是x=23.

故答案为：23.

【点拨】本题考查带余除法，用字母表示数，三元一次方程组，掌握三元一次方程组，用含

字母表示的代数式是解题关键.

,20

18.

【分析】

设A进水口速度为。，4进水口、出水口速度为力，水池容量为P,由题意，列出方程组求

解即可.

【详解】

解：设A进水口速度为。，8进水口、出水口速度为6,水池容量为P,

at=y®

由题意得：•5(4+6)=%),

105-6)”③

由②x2+③得:

20a=3P,

W

解得…=而，

将〃='代入①得:

3P〃

——xt=V,

20

解得：，=弓，

20

故答案为：y

【点拨】本题考查了列方程组及求解，解题的关键是找准题中等量关系列出方程组即叽

19.5

【分析】

假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元，购买铅笔11支、作

业本5本圆珠笔2支共需。元，由题意列出方程组，解方程组求出。的值，即为所求结果.

【详解】

解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元.购买铅笔11支，

作业本5本，圆珠笔2支共需。元.

则由题意得：

7x+3_y+z=30

，1Ox+4y+z=4®,

1lx+5v+2z=ti@

由②-①得：3A+y=I,④

由②+①得：17.x+7y+2z=7,⑤

由⑤一④x2-③得：0=5-〃，

解得：a=5.

故答案为：5

【点拨】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知

量较多，要考虑设二个未知数，但同时应注怠，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几

个方程.

20.2

【分析】

先解方程组，求得用m表示的x、y的式子，在代入3》-27=14,求得m的值.

【详解】

r4-?.y=m

解:解方程组（

x-y=4m

[y=-m

把x=3"，,y=-〃，代入3x+2y=14得：

9ni-2m-14,

解得加=2.

故答案为：2.

【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，用含加的式子表示出小y是解题的关键.

21.18

【分析】

设每头牛每天吃草x千克.牧场的草每天生长），千克，如果放牧16头牛，则加天可以吃完

牧草，根据牧草原有牧草数不变，可得出关于x,y,利的方程组，解方程组即可.

【详解】

解：设每头牛每天吃草x千克，牧场的草每天生长y千克，如果放牧16头牛，则〃?天可以

吃完牧草，

依题小得：[16心-殴=24x6x-6爬），

由①可得出：^=12X5）,

将③代入②中，得：16/XJV-12〃?x=24x6x-6xl2t,

解得：〃?=18.

故答案为：18.

【点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量美系，正确列出三元一次方程组是解

题的关键.

6

22.

11

【分析】

先把。看作已知数，分别用c表示出。和人让走0,5K)列式求出c的取值范围，再求得“

用c表示的形式，结合。的取值范围即可求得s的值.

【详解】

解：3。十2万十。=6,2a+b-3c=1,

解得〃=7c-4,b=9-lie；

生0、b>0,

7c-4>0,9-llc>0,

49

—<c<——.

7II

m=3a+b-7c=3c-3,

加随。的增大而增大,

9

5

9

当。取最大值5,加存最大值，

96

m的最大值为S=3XR-3=一打

故答案为-4.

【点拨】本题考查了三元一次方程组、解不等式组，解题的关键是：把c看作已知数，分别

用C表示出4,6.

x=2x=3

23.(1)y=-3(2)y=2

z=5

2

【分析】

(1)先标号利用加减消元法①+②得2%+4z=6④,(③.②)+2得x-2z=l⑤，再利用加减

消元法解二元•次方程组即可;

(2)先标号利用加减消元法先消去z,再解x与)，的二元方程组即可.

【详解】

2x-y+2z=80

解：(1)^y+2z=-2@,

3x+y-4z=1③

①+②得2x+4z=6④，

(③-②)+3得x-2z=l⑤,

④+⑤x2得4-8,

解得x=2,

把x=2代入④得z=；，

把z=g代入②得y=-3,

x=2

"V=-3；

1

z=—

2

x+y+z=\(XD

(2)«2x+3y+z=17@,

3x+2v-z=8®

©+③得4x+3y=18©,

(②+③)+5x3得3x+3y=15⑤,

④・⑤得x=3,

把x=3代入④得尸2,

把x=3»y=2代入①得z=5»

x=3

•…=2.

z=5

【点拨】本题考查三元次方程组的解法，掌握三元方程组消元转化二元方程组来解是解题

关键.

24.a=--.

3

【分析】

把X、N、z用含有。的式子表示出来，然后再代入x-2y+3z=-10即可解出。的值.

【详解】

②-①，得z-x=2a④

③+④，得2z=6a,z=3a

把z=3〃分别代入②和③，得J，=2a,x=a.

x=a

：.<y=2a.

z=3a

把x=a,y=2a,N=3”代入x—2y+3z=-10得4-2x2〃+3x3a=T0.

解得a=-9.

J

【点拨】本题考查了三元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤是解决此类

题的关键.

4=6

25.^=-11

。=3

【分析】

将工，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得.

【详解】

a+b+c=-2①

解：依题意，得<4-b+c=20②.

-a+-b+c=-a+-b+c③

14293

①一②，得26=—22,解得6=-11