中考数学复习：阅读材料题重难过关（双空题）重难过关（解析版）

阅读材料题(双空题精选)

跑型归纳

【类型1因式分解】.................................................................1

【类型2有理数的混合运算】........................................................12

【类型3函数】.....................................................................27

【类型4方程】.....................................................................33

A类型1因式分解

1.(2024•重庆•模拟预测)一个四位正整数M其各个位上数字均不相同且不为零.若其千位数字是十位数

字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数N叫“间倍数〃，例如4621满足4+2=2,

6+1=6,则4621是“间倍数〃.最小的“间倍数〃是；已知〃间倍数〃N=(〃Q(汕)必且〃,

a,人均为整数，若无论两位数而是什么数，“间倍数"N都能被3整除，当卜-〃|=1时，符合题意的最大"间

倍数'W为.

【答案】26136834

【分析】本题考查新定义、有理数的混合运算、因式分解，根据定义可得2为1的倍数，千位不能为0,则

千位为2,十位为1,各个位上数字均不相同，则个位为3,白位为6,即口J求解；根据题意求得

N二(100〃+l)(10〃+》)，根据整除求得〃=2或5或8,再根据卜―q=1,分类求得。、力的值，结合定义，

分类讨论求解即可.

【详解】解：2为1的倍数，千位不能为0,则千位为2,十位为1,

国各个位上数字均不相同，

则个位为3,百位为6,

回最小的“间倍数”是2613,

故答案为：2613：

N=(na)(nb)ab

=1000/14/+1OOnb+\0a+b

=100/i(10a+b)+(10a+b)

=(IOO/z+l)(lO«+/?)

团无论两位数而是什么数，“间倍数"N都能被3整除，

团100〃+1能被3整除，

团〃=2或5或8,

当时，b=a-\»

则ab=\Oa+b=\Oa+a-\=11«-1,

回两位数3=21、32、43、54、65、76、87、98,

av为四位数，

(3两位数曲=21、32、43,

当〃=2时，N=(na)(nb)ab=422l、6432、8643,其中4221中的数字2重复，不是“间倍数"，

当〃=5时，两位数而=21,N=10521不是四位数，

当〃=8时，不存在“间倍数"

当avb时，b=a+\,

则1()“+〃=1()。+〃+1=11々+1,

缶两位数昉=12、23、24,

当〃=2时，N=(3)(/⑼而=2412、4623、6834,其中2412中数字2重复，不是“间倍数”，

当〃=5时，两位数ab=12,N=6OI2,存在0,不是“间倍数〃，

当〃=8时，两位数曲=12,N=9612此时，非数字为倍数关系故舍去，

综上所述，所以符合题意的“间倍数"N为6432、8643、4623、6834,

13符合题意的最大"间倍数"N为6834,

故答案为:6834.

2.(2024・重庆•模拟预测)一个四位自然数M,如果M满足各数位上的数字均不为0,它的百位上的数字比

千位上的数字大1,个位上的数字比十位上的数字大1,则称M为“珊瑚数〃.对于一个“珊瑚数〃M,同时将

M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数M称N为“明

佳数”，规定：产(知)=勺区.如果M是最大“珊瑚数〃，则爪〃)是,对于任意四位自然数

必cd=l(XX)a+l(X历+10c+d(a、尻c、d是整数且14〃49,()＜/Ac、d«9),规定：G(abcd)=c：＜d-axb.己

知P、。是“珊瑚数〃，其中P的千位数字为相(机是整数且1W〃匹7),十位数字为8；。的百位数字为5,

十位数字为s(s是整数且3W8),且s＞，〃.若G(P)+G(Q)能被13整除，则尸(P)的最小值是.

【答案】10-34

【分析】答题空1：根据“珊瑚数”和“明佳数〃的定义，以及M是最大“珊瑚数〃可得M和N的值，进而可求

得F(M)的值；

答题空2：根据题意可得G(P)=8X9T〃(〃?+1)=72-〃一加，G(Q)=s(s+l)-4x5=s:+s-20,进而可得

G(P)+G(Q)=(sr〃)(s+"7+l)+52,由G(P)+G(Q)能被13整除，可得(s-m)(s+m+l)能被13整除.结

合$和小的范围，以及5、机都是正整数，即可求出/〃的值.进而可得尸的值及P的“明佳数”的值，再求

出F(P)的值，即可得尸(P)的最小值.

本题考查了新定义运算，因式分解，求二元一次方程的特殊解，理解新定义是解题的关键.

【详解】解：根据题意，

团M是最大"珊瑚数〃，

团M=8989,N=8899,

M-N8989-8899

..FlM)=----------=------------------=1In0.

Vf99

故答案为：10.

团尸、是"珊瑚数”，且P的千位数字为加，十位数字为8,

团P的百位数字为〃7+1,个位数字为9,

二.G(夕)=8x9—〃2(m+1)=72—m2-m.

(3。是“珊瑚数”，且。的百位数字为5,十位数字为5,

俗。的千位数字为4.个位数字为s+l.

G(Q)=5(5+1)-4X5=52+5-20.

/.G(P)+G(。)=(72—"广—"】)+1”+s—20)

=s2-ni2+s-rn+52

=(.v-"?)(s+m)+($-"?)+52

=(.?-/Z/)(54-/724-1)+52.

l?iG(P)+G(Q)能被13整除,且S7能被13整除，

团(s-"7)(s+〃z+l)能被13整除，

01<m<7,3<5<8,

回S+〃7+l=13,

@5+/n=12.

而、〃都是正整数，且

y=8fs=7

01，或〈「

m=4[m=5

当〃?=4时，P=4589,

则p的“明佳数”为4895,

贝I」尸(7)=经458)99-489?5=一34；

当〃?=5时，P=5689,

则P的"明佳数”为5896,

MF（p）=5689-5896=_23

0-34<-23,

团F（P）的最小值是—34.

故答案为：-34.

3.（2024•四川成都・模拟预测）定义：若4/-3〃-2（〃正整数，且0<〃<500）等于两个连续正奇数的乘

积，则称〃为“彗星数则"彗星数"〃的最小值为,最大值为.

【答案】5485

【分析】本题考查了因式分解的应用，解一元二次方程■公式法，解题关键在于读懂题意，理解新定义.

4〃:3〃-2（〃为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为〃?，则另一个正奇数为优+2（〃7>0）,

利用求根公式求解，分情况讨论即可.

【详解】解：团4/-3〃-2（〃为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，

设较小的正奇数为，〃，则另一个正奇数为m+2（加>0）,

/.4/-3n-2=+2）,

.../+26一（4/一3〃-2）=0,

3

利用求根公式得：加=,4/3—3打一1—1或wi=—>/4w—3w—l-1v0（含），

13当〃7=为正奇数时,〃为"彗星数"，

Q4/J-3〃-1=4〃'+=4〃（〃++=（2〃+1）?。［-1）,

/.in=/4〃'-3/7-1-1=（In+-1，

（3〃?为正奇数，

回机为整数，

13也必须为整数，为偶数，

令2p=J-1,〃为正整数，

/.n=4p2+1,

04>0

回抛物线开口向上，且对称性为y轴，当〃>。时，〃随P的增大而增大，

即为正整数

13当，=1时，〃有最小值为〃=4/+1=5,此时4/-3〃-2=483=21X23

国当〃二10时，”二401（不符合题意，舍去），当夕=11时,n=485,当〃=12时，n=577,

Q0<n<500,

国当〃=11时，〃的最大值是485,

⑦“彗星数"〃的最小值为5,最大值为485.

故答案为：5,485.

4.（2024・四川成都•二模）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1,我们把这样

的正整数称为“平方优数例如，242=576,那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个

平方优数是;第48个平方优数是.

【答案】26589

【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键在于读懂题意，理解新定义.令4,生，…，…，是

平方优数，且"<生<一・<4…，在题可知，最小的平分优数为11,即4=",由定义可知，一个正整数平方

后得到的数，十位数字比个位数字大1,设，，-，〃+勺，即〃2=（小+小=病+2呼+片，混12,人为10。的倍

数，则,〃=50攵，求解即可.

【详解】解：令4，/，…，4,…，是平方优数，且

由题可知，最小的平分优数为11，即4=11,

由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1,

设”=，〃+6,

即ir=（/〃+aj=m'+2nia1+a；,

Vflf=121,

Q〃是平方优数，则〃的十位数字比个位大1,

2

..m+2moi为100的倍数，则〃?=50k,

25co二+100〃q+a[=（25公+白卜100+“；的十位利个位必定和a；的相同，

/.）=（50A+«1）',

即50k+q是平方优数，同理，50A+w，50A+%，…，是平方优数，

根据定义可得：242=576，26?=676，39=1521,

=11.4=24,4=26,4=39,

,a缺+1=50k+11,…，%£+4=50〃+39,

=a4xIW=50x11+39=589.

故答案为：26,589.

5.（2024・四川乐山•二模）定义：若4/一3〃-2（〃为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称〃为“智慧

数”.

（1）当0<〃<10时，请任意写出一个智慧数：；

（2）当0<〃<500时，则“智慧数"〃的最大值为.

【答案】5485

【分析】本题考查了因式分解的应用，一元二方程的求根公式.

（1）根据0<〃<10,〃为正整数，代入计算即可；

（2）根据41—3〃-2（〃为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为加，则另一个正奇数

为〃-2（〃?>0）,利用求根公式求解，分情况讨论即可.

【详解】解:(1)团0<〃<10,〃为正整数，

当〃=1时，

4/r-3w-2=4xl3-3x1-2=4-3-2=-1.

当〃=2时，

4/7--3/?-2=4x23-3x2-2=32-6-2=24.

当〃=3时，

4/r-3w-2=4x33-3x3-2=108-9-2=97.

当〃=4时，

4/73-3/?-2=4X43-3x4-2=256-12-2=242.

当〃=5时，

443〃-2=4x5,-3x5-2=500-15-2=483.

啰21x23=483,

05是“智慧数〃，

当〃=6时，

4M3-3/1-2=4x63-3x6-2=500-15-2=844.

当〃=7时，

4/r-3w-2=4x73-3x7-2=1372-21-2=1349.

当〃=8时，

44-3〃-2=4x8'-3x8-2=2048-24-2=2022.

当〃=9时，

4w--3w-2=4x95-3x9-2=2916-27-2=2887.

综上所述，5是“智慧数〃，

(2)回4/-3〃-2(〃为正整数)等于两个连续正奇数的乘积，

设较小的正奇数为〃?，则另一个正奇数为，〃+2(机>0),

回4;/-3n-2=rn(〃?+2),

0/rf+2〃?一(4〃，一3〃-2)=0,

利用求根公式得：m=一3〃-1-1或m=力幅-3〃-1-1<。(含)，

团当加=，4九3一3〃一1一1为正奇数时，〃为"智慧数”，

团4/一3〃-1

=44-4n+n-I

=4/?(/i+l)(n-l)+(n-l)

=(2〃+1)2(〃-1),

0in=\/4n-3/7-1-1=（2n+\）Jn-\-1

团m为正奇数，

回机为整数，

回J^T也必须为整数，

令p=\ln-l,

回〃=/+1,

回0<〃<500,

当p=20时，«=401,

当p=21时，〃=442,

当p=22时，/7=485,

当」=23时,〃=530,

（3“智慧数”〃的最大值为485.

故答案为：485.

6.（2024・四川成都•模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数跖的平方差，即

M=/一凡且”的算术平方根是一个正整数，则称正整数”是"双方数〃.例如：36=10、"736=6,

36就是一个“双方数”.若将"双方数”从小到大排列，前3个"双方数"的和为；第100个"双方数〃为.

【答案】140158404

【分析】本题考查因式分解的应用、数字变化类，设。=2〃，b=2n-2,贝IJ

M=（2〃）2—（2〃—2）2=4（2〃—l）=22x（2”—1）,可得要使M是“双方数”，则2〃一1必须是一个正整数的平方，

设2〃-1=公，贝1）M=22、公=（24）2,根据所求计算即可.

【详解】解：设a=2〃，b=2n-2,"为大于。的自然数，则M=（2〃）2-（2〃-2『=4（2〃-1）=22X（2〃-1）,

（3要使M是“双方数"，则2〃-1必须是一个正整数的平方，

设2〃-1=/,

刖为大于0的自然数，

团2〃-1是一个奇数，

欧为奇数，

0M=22xA：2=（2Z:）2

13当&=1时，M=（2xl）2=22=4（第1个“双方数〃）；

当a=3时，M=（2x3）2=6?=36（第2个"双方数"）；

当」=5时,"=（2x5）2=102=100（第3个"双方数”）.

①前3个“双方数〃的和为4+36+100=140,

根据以上规律，当M是第100个“双方数"时，A=199,此时M=(2x199『=398?=158404.

故答案为140,158404.

7.(2024•重庆九龙坡•三模)如果一个四位数N,前两位数字之和为8,后两位数字之和为5,且各位数字

均不为0,则称N为“同城数〃.把四位数N的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数N'.规定

N_N'7614—14?6

F(N)二一一.例如：N=2614,团2+6=8,1+4=5,回2614是洞城数〃，则尸(2614)=^------==12.若

9999

“同城数"M=6232,则F(M)=.

已知7=时是"同城数"("，〃，c，4均为正整数)，若也^是整数，则满足条件的所有丁之和是____.

8**

【答案】3015078

【分析]本题考查了因式分解的应用、一元一次方程等相关内容，关键在于理解“同城数”的定义，正确列式

ahcdcdah

计算.根据题意宜按计算F(M)，即可求解；根据同城数的定义，a+b=8,c+d=5,^l=-

88x99

是整数，整理化简即可求解出满足条件的所有了的值.

【详解】解：根据题意，F(M)=6232~3262=30：

因为丁二出心/是"同城数"，所以a+〃=8,c+d=5,

==oq+i0G力+i0c+d)-(1000c+i0cd+10。+〃)],

88x998x99

而八也，口尸(7)1八八,，八八9a-9c+3,、a-c+3

整理化简得，——=-(Wa+b-[0c-d)=---------=(a-c)+---,

OOOO

所以，a-c+3是8的倍数；

那么。、c可能的取值为a=l,c=4；或a=6,c=l：或a=7,c=2：

满足条件的所有丁的值为:1741、6214、7123,它们的和为：1741+6214+7123=15078.

故答案为：30；15078.

8.(2024•重庆•二模)若一个四位自然数A,满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A去掉千位与百位数

字后得的两位数,则称这个四位数A为“活泼数〃，例如4=2521,因为52-22=21,故2521是一个“活泼数〃;

若一个四位自然数。，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1,个位数字比百位数字大

1，则称这个四位数B为"可爱数"，例如1425,因为2-1=1,5-4=1,故1425是一个“可爱数〃.对于一个

“活泼数"4=痂，规定：F(A)=ah+h~2cd,对于一个“可爱数”8=丽，规定：G(B)=p—〃，则

a+b

F(56il)xG(3142)=_____；当8的百位数字为4时，若看岂是整数，则所有满足条件的奇数四位数A

3厂(人)+9

的和是

【答案】126905

【分析】本题考查因式分解及新定义的运算，理解定义是解决问题的关键.根据题意即可求得

产(56ll)xG⑶42)的值，结合"活泼数"A"痂，"可爱数"3=丽句，百位数字为4,可得

G(B)m-3

是整数，可知•一3=0,3,6,根据“可爱数”可知只有--3=3符合题意,进而可

3F(A)+93(2«-/7+3)

得々是整数,得加一人+3=±1，即而一b=-4或2。一人=一2,求得明人得直，结合“活

3/(4)+92a-Ih+3

泼数"定义及条件为奇数即可求得所有得满足条件的奇数四位数A的和.

【详解】解：由题意可得：F(561l)xG(3142)=5-6+6-2-11=12

5+6

团"活泼数"A=abed，则b2-a2=cd，

_ab+b2-led

田产(A)=------------

a+b

ab+b2-2(b2-a2)

a+b

_Gb-b-+2a2

a+b

(2a-/?)(〃+/?)

a+b

=2a-b，

则3尸(A)+9=3[6(4)+3]=3(2a-b+3),

0"可爱数=,百位数字为4,则〃=〃?+l,〃=4,

国G(8)=〃一〃="?+1—4="?一3,

G(B)，”一3

0-、c=—~「7是整数，

3F(A)+93(2。一力+3)

/./«-3=0,3,6,

当加一3=0时，m=3,则〃=4,〃=4,不符题意，舍去；

当〃?一3=3时，〃?=6,则〃=7,〃=4,g=〃+l=5,符合题意；

当朋一3=6时，小=9,则〃=10,不符题意，舍去；

.G(B)二1

"3F(A)+92。-〃+3工'”

.'.2a-b+3=±l,

\2/-力=-4或2a-〃=-2,

当2a-Z?=T时，a=l,b=6；〃=2,。=8：

二.A=1635或A=2860(偶数，不符题意，舍去)；

当2々一〃=一2时，a=l,b=4;a=2J?=6;a=3,b=8；

.•.4=1415或A=2632(偶数,不符题意,舍去)或A=3855,

.­.1635+1415+3855=6905

故答案为：12,6905.

9.(2024•重庆沙坪坝•一模)如果一个四位自然数而的各数位上的数字不全相等，满足

员+而=5(a+b+c+d),那么称这个四位数为“跳跃数〃.例如I：四位数1323,•••12+33=5(1+2+3+3),

1323是“跳跃数〃；乂如：四位数5324,52+34H5(5+3+2+4)5324不是“跳跃数”.若一个"跳跃数”

为硒,则这个数为;若一个"跳跃数〃的前三个数字组成的三位数诙与后三个数字组成的三位数

嬴的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数〃的最大值是.

【答案】44379369

【分析】本题因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“跳跃数〃的概念.

根据“跳跃数”的概念列出关于，〃的方程解答即可，设满足条件的“跳跃数”的最大值是两，根据"跳跃数〃

的概念得出6=4(C；")_9,再根据前三个数字组成的三位数正与后三个数字组成的三位数商的差能被

7整除，即可得出答案.

【详解】解：・”・森而是“跳跃数”,

「.43+10〃7=5(4+〃Z+3+7),

解得：m=4,

••.这个数为4437；

设满足条件的“跳跃数"的最大值是痂，

：.90+c+\0b+d=5(9+b+c+d).

5

rb,c,d是09中的整数，

:.c+d=15,b=3,

••・满足条件的“跳跃数"的最大值是丽，

，・前三个数字组成的三位数次与后三个数字组成的三位数府的差能被7整除，且

930+c-(300+10c+J)=630-9c-J=7(90-c)-(2c+f/),

.•.2c+d是7的倍数，

c+d=\5,

「.C+15是7的倍数，

・'•c最大为6,

「.4=9,

满足条件的“跳跃数”的最大值是9369.

故答案为：4437,9369.

10.（2024•重庆大渡口•二模）对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数〃?，若机的十

位数字分别小于加的百位数字与八位数字，则称，"为“义渡数”.当三位自然数为义渡数”时，重新排列机

各个数位上的数字可得到一个最大数町和一个最小数叫，规定尸（，〃）="泮，例如：帆=524,因为2<5,

2<4,所以524是“义渡数"，且”（524）=5421245,则最小的，，义渡数”是:若三位自然数

〃=100x+10y+z是“义渡数”（其中UW9,1&VW9,iwz49,尤、）'、z均为整数），且〃的个位数

字小于百位数字，F（〃）+2X=20,求满足条件的所有三位自然数”的最大值是—.

【答案】213978

【分析】本题考查了因式分解，掌握“义渡数”是解题关键.

rh“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213.由"（〃）=1°。3°二,°q=*一）,,又F⑺+2X=20得

y=3x-20,结合yvzvx,分类讨论即可.

【详解】解：由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213,

故答案为:213.

〜、100.v+10z+y-100v-10z-.r

尸（〃）二----------与一--------

F（〃）+2x=20,

/.x-y+2x=20,

r.y=3x-20,

yvzvx,

当x=7时，y=\,若〃最大，则z=6,

・•・当x=8时，y=4,若〃最大，则z=7,

，当x=9时，>?=7,若〃最大，则z=8,

・”的最大是978.

故答案为:978.

1L（2024•重庆•模拟预测）一个各数位上的数字不完全相同且均不为。的四位正整数，若满足千位数字与

个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数〃，将“对称数”M的千位数字与百位数

字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新的"对称数”记为胡、记尸（加）=与/-，若“对祢数"A,满足

尸（A）能被7整除，则A的最小值为；在P（A）能被7整除的情况下，对于"对称数"4=嬴嬴，

有P（A）+9kn=kP（B）,且2为正整数，当4-8取得最大值时，A+8=.

【答案】188112342

【分析】此题考查因式分解的应用，理解题意，分类讨论，搞清楚数量关系是解决问题的关键：

根据题意可得RA）=9（a-b）,由于P（A）能被7整除，则是7的倍数，即可得到小。的值；同理可得

P(B)=9(〃z—八)，因为P(A)+9A〃=AP(B),得到

4='~彳=—丁，分类讨论即可.

m-2nm-2n

【详解】解："对称数"A=4Z>ba=1000a+100b+10b+a，

则A'==1000/7+100〃+10a+b，

1000«+100/7+10/7+67-(1000/7+100«+10«+/?)

EP(A)=

99

891a-891〃

99

=9(«—/?)

回P(A)能被7整除，4最小，各数位上的数字不完全相同且均不为0,

团。一6是7的倍数且0<a<9,0<b<9,

回。一〃的最小值为一7,

0a=l,Z>=8,

0A的最小值是1881；

回〃的最大值为7,

回当。=9,力=2时，A的最大值为9229；

倒"对称数"B=rnnmn»

EB=1000m+100n+10w+m=100kn+l10M，

W=1000〃+100/〃+10〃?+〃=1005+110"?，

.、l00lw+110»-(100b?+110w)/、

0P(B)=--------------------最---------L=

^P(A)+9kn=kP(B),

^9[a-b)+9hi=9k(m-n),

整理得a—力=4("7—2〃)，

团a=8,b=l,

注上2=」_

m-2nm-2n

欧为正整数,

?m-2n>0,

缶/〃-2〃=1或〃2—2〃=7,

当加-2〃二1时，〃可取0,1,2,3,4,故机应为1,3,5,7,9；

当〃L2〃=7时，〃可取0,1,故切应为7,9；

团A—8=1(X)la+11()〃一(1(X)+110〃)

=I'301（«-/w）+110（Z?-/?）,

团要使A-B取得最大值，a与。尽可能大，〃?与〃尽可能小，尤其是“与办

财最大为9229,B最小为3113,

值4+8=9229+3113=12342,

故答案为：1881,12342.

A类型2有理数的混合运算

12.（2024•重庆潼南•模拟预测）定义：如果一个四位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足千位上

的数字与个位上的数字的2倍的差等于百位上的数字与十位上的数字的2倍的差，则称这个匹位数为差倍

数.设A为一个差倍数，将A的千位数字与百位数字交换位置，十位和个位交换位置后得到的新数再与A相

加的和与11的商记为中解）.例如：8612是"差倍数"，则中（8612）=*詈=1403,已知差倍数〃?=1053+l（X）x

（0<x<9,且％为整数），则⑴㈣=；四位数A是一个差倍数，且千位数字。满足lWaW3,小⑷是

7的整数倍，则满足条件的A的最大值为

【答案】6083974

【分析】本题考查了整式的加减与阅读理解，设差倍数千位上的数字为小百位上的数字为〃，十位上的数

字为c,个位上的数字为其根据差倍数的概念得"一〃=2（"-c）,由m=1053+100x（0<〃?W9）可得

l-x=2（3-5）,求出x=3,得〃?=1553,可求出中（1553）=*詈=608；根据A差倍数，且A为最大数

时，a=，b=9,c=6,d=9.从而可得4的最大数

【详解】解：设差倍数千位上的数字为。，百位上的数字为乩十位上的数字为c,个位上的数字为"，且

aM0力W0,c工0,dH0,

根据题意得，a-2d=b-2c,

^a-b=2（d-c）,

回m=1053+100.v（0</n<9）,

01-x=2（3-5）,

3A?—5»

0/71=1053+500=1553,

1553+5135

回<P(1553)=-=---6--0-8--；------

回四位数A是一个差倍数，且千位数字。满足1W8W9,lWcW9/WdW9,

当。=3力=9时，3-9=2（d-c）

团4—c=-3,

c=9,所以，①(3996)=.96；9369=]2]5,毕=173告，不是整数,

当d=6时,故不符合题意;

77

c=8,所以，0)(3985)=3985^9358=1213,12132

当4=5时，写=1731不是整数，故不符合题意；

c=7,所以，0)(3974)=3974+9347=1211,1211

当d=4时，宁=173,是整数；

13A的最大值为3974

故答案为:608；3974

13.（2024•重庆南岸•模拟预测）一个各个数位上的数字均不为C的四位正整数，若干位上的数字与个位上

的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数〃，若褥为“逢双数"，

则这个数为:对于"逢双数"M,任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记

为G（M）.若“逢双数〃M千位上的数字与个位上的数字之和为8,且G（M）能被4整除，则所有满足条件的

“逢双数的最大值与最小值的差为.

【答案】76296174

【分析】本题考查了新定义,整除问题,理解定义是解题的关键.由析为“逢双数”,得"+9=2（6+2）=16,

即可求解；设“逢双数的个位数字为x,十位数字为广则千位数字为（8-力，百位数字为（4-），），得

G（M）=-297x-99y+2880,由团G（〃?）能被4整除，可知-x-3y能被4整除，进而求得x,丁即可得M的

最大值，最小值，即可求解.

【详解】解：团拓因为“逢双数"，

回“+9=2（6+2）=16,解得：。=7,

即：这个数为7629；

设"逢双数的个位数字为x,H立数字为y,则千位数字为（8-x）,百位数字为（4-y）,

fel<x<7,1<>'<3,

G（w）=100（4-y）+10y4-x+100（8-x）4-10y4-x4-100（8-x）+10（4-y）+x+100（8-x）+10（4-j）+y

=-297x-99y+2880,

I3G（〃7）能被4整除，

团-297x-99y十2880=一4一3y十（-296x-96y十2880）,

W3y能被4整除,

当y=l时，4=1或%=5；

当y=2时，x=2或x=6；

当？=3时，％=3或x=7；

E/n=100（4-y）+10y+x+1000（8-A：）=-999x-90y+8400

回。=1,y=l时，取得最大值，且为m=7311：

0x=7,y=3时，机取得最小值，且为m=1137；

故最大值与最小值的差为：7311-1137=6174；

故答案为：6174.

14.（2024•重庆•模拟预测）定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数

字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数.设4为一个开合数，将A的百

位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与A相加的和记为4（A）.例如：852是“开合数”，则

0（852）=852+258=1110.

已知开合数m=103+IOx（0<x<9,且为x整数）,则。（"?）=_____；

若三位数A是一个开合数，若百位数字小于个位数字，科平是一个整数，且。（4）能被个位数字与百位数

字的差整除，则人=.

【答案】444246或345或147

【分析】本题考查了一种新的定义的实数运算，整式混合运算的应用，解题关键是快速学习题干中的新定

义运算，并转化为我们熟悉的数学模型进行分析求解.观察，"的特点可知，，，对应的三位数，个位为3,十

位为羽百位为1,然后根据“开会数”特点，求解出x的值，最后求的加〃）的值；设这个三位数为：而，

根据悟可推导求解出。的值；再根据"（A）能被个位数字和百位数字的普整除和c+a=»这两个条件，

可得到服。的值即可.

【详解】解：回三位数A是一个“开合数〃，

□x=—=2,

2

0^)=^(123)=123+321=444,

设3=嬴（1<。<。<9,0<h<9,a,b,c均为整数）

20(A)=100a+10〃+c+100c+10〃+a=222/?

博得m

嘿是一个整数，0<bW9

(322?=8,即b=4,

0(A)=888,

又但欢A）能被个位数字和百位数字的差整除

888、1坨女/

0——为整数,

c-a

团1为2或4或6或8,

又0c+«=2Z?=8>

c-a=2c-a=4c-a=6c-a=8

则c，或，0，或,c，或，

c+a=8c+fl=8c+a=8c+a=8

"=；,或.a：?,或,弋，或，4=0

解得《(不符合题意舍去〕,

c=5c=6c=7c=8

故A=246或345或147.

15.(2024・重庆开州•二模)一个两位正整数m,若m满足各数位上的数字均不为0,称m为"相异数”,将加

的两个数位上的数字对调得到一个新数〃.把机放在〃的左边组成第一个四位数A,把机放在〃的右边组成

第二个四位数8,记/(，〃)=孽，计算F(63)=；若s-都是“相异数”，s个位上的数字等于/十

位上的数字，且E(s)被11除余7,/(.$)+/。)=63,则满足条件的所有s的和为.

【答案】27183

【分析】本题属于新定义题型，偏难，由题意可得：A=6336,8=3€63,可计算尸(63),设s=10a+/?,/=10/?+c,

可得F(5)=9a-9b,F(/)=9b-9c,进而可得a-c=7,可确定〃值，再由F(s)被11除余7,分当a=8时，c=l,

"(5)=72-助和当。=9时，c=2,2⑶=81-助计算即可.根据题意正确理解“相异数〃是解决本题的关键.

【详解】解：・.m=63,

H-36r

A=6336,B=3663,

...f(63)=6336-3663=2

99

设5=10。+〃，t=]Ob+c,

.、1000a+100〃+10〃+a-(1000b+100a+10a+b)

..F(s)=-------------------------------------------------------------------

99

=9a—9Z?.

同理/(r)=96-9c,

/.F(5)+F(z)=9a-9b+(9b-9c)=9〃-9c=63,

即a—c=7,

:.a>l,

二.a=8或。=9,

•・P(s)被11除余7,

••・当a=8时，c=l,F(s)=72-9b,

当商为1时，72-沥=18,

.,.力=6,

当商为2时，72-9/?=29,

••・吟43(舍)，

当商为3时，72-97^=40,

・••3得2（舍），

当商为4时，72-9/?=51,

7

：.b=-（舍），

3

当商为5时，72-9〃=62,

?（舍），

当商大于等于6,即72-9〃之73时，b<0（含），

当。=9时，c=2,尸（s）=81—9人，

当商为1时，81-处=18,

：.b=7,

当商为2时,81-98=29,

.,"哼（舍），

当商为3时,81-9〃=40,

人=费（舍），

当商为4时,81-96=51,

.•"哼（舍），

当商为5时，81-鲂=62,

19

;（舍），

当商为6时,81-助=73,

・••V（舍），

当商大于等于7,即81-9〃284时，〃<0（舍），

综上所述：〃=8,6=6,c=l或。=9,b=l,c=2,

.•.S=86或S=97・

即满足条件的所有S的和为：86+97=183.

故答案为:27,183.

16.（2024,重庆渝北•模拟预测）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成

的两位数之和为160,则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数.知=砺（其中Ya,Ac,4K9,且

a,b,c,d均为整数）为“吉祥数〃，则。+6=,定义RM）=21a+〃-24c+2d+16,若F（M）

能被17整除，且存在整数左，使得F（M）=k2-26,则满足条件的M的值为.

【答案】157882

【分析】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键.利用“吉祥数〃的定义以及各字母的

范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；再利用整数整除的性质，合理变形分析讨论，最

后得出满足条件的M的值.

【详解】解：根据题意得,（10"+小（1购+。）=160,

变形得，c+d=10（l6-q-〃），c+d为10的倍数.

l<tz<9J<C<9

2<«4-h<18

。+〃为10的倍数，故c+d=10.

团10=10（16—〃一〃），可求得Q+8=15.

团尸（M）能被17整除,

可设产（M）=2kz+〃-24c、+2"+16=F-26=17N（N为整数）.

又a+0=15,c+4=10,（IO«+t/）+（iOt+c）=l6O,

将F（M）变形得：

产（M）=21a+b-24c+2J+16

=2lcr+（l5-fl）-24c+2（10-c）+16

=20f/-26c+51

=17（^-c+3）+3（«-3c-）,

g|J/（M）=l7（a-c+3）+3（“-3c）=17N,

.,.岑0=（a-c+3）+生万以=N（M为整数），

团17与3互质,

用。-3c必是17的整数倍.

01<«<9,l<c^9,八c均为正整数，

01-27<«-3c<9-3,KP-26<«-3c<6,

1•4一3c是17的整数倍，故〃-攵=0或a-3c=-17.

以下分两种情况讨论：

当。一女=0时，则。=3c,

F（Af）=17（a-c+3）=34c+51,

a=3a=6a=9

符合条件的4、C有，i或（.或（与，

c=l[c=2[c=3

a=3

当1时，F（M）=34r+51=85,

85=抬_26,

A=±VHT（不符合题意，舍去）;

当一一6时，尸（M）=340+51=119,

丁119=/一26，

k=±7145（不符合题意，舍去）;

4=9

当《时，F（Af）=34c+5l=153,

C=3

V153=it2-26，

：.k=±yfi79（不符合题意，舍去）；

当3c=T7时,则〃=女-17,

F（W）=l7（«-e+3）+3（«-3c）=34c-289,

符合条件的〃、〃有["=：或<a=4fa=7

c=6c=7（c=8

当（一:时，F（M）=34<、—289=—85,

[c=6

-85=22-26,

.：&无解（不符合题意，舍去）；

当《时，F（A/）=34c-289=-51,

C=1

•・•-51=公一26,

无解（不符合题意，舍去）；

。=7,、

当《时，F（A/）=34c-289=-17,

C=8

7-17=公一26，

.•.A=±3（符合题意）；

综上，符合题意的只有｛o.

。=8

依据题意可知M=10004+100方+IOc+d=1000«+100（15-a）+l（k+（10-c）,

=1000x7+100x8+10x8+10-8=7882.

因此，满足条件的M值只有7882,

故答案为：15,7882.

17.（2024•重庆江津•模拟预测）一个三位数加，每个数位上的数字均不为0,且满足百位〈十位〈个位，称

为“步步高升数"，将"步步高升数加个位与百位交换得到〃?’，记G（〃z）=3言.例如：128满足1<2<8,

则称128为“步步高升数〃，将“步步高升数〃128个位与百位