勾股定理的逆定理【八大题型】-八年级数学下册（人教版）

专题17.2勾股定理的逆定理【八大题型】

【人教版】

，题型梳理

【题型1判断三边能否构成直角三角形】..........................................................1

【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】..................................................2

【题型3在网格中判断直角三角形】...............................................................3

【题型4勾股数的探究】.........................................................................4

【题型5利用勾股定理的逆定理证明】............................................................5

【题型6利用勾股定理的逆定理求解】............................................................6

【题型7勾股逆定理的应用】.....................................................................7

【题型8勾股定理及其逆定理的综合】............................................................9

，举一反三

【知识点勾股定理的逆定理】

如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

【题型1判断三边能否构成直角三角形】

【例1】（2023春黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段“、/入c组成的三角形是直角三

角形的是（）

A.〃=5力=3,c=3B.a=\,b=-yc=-

354

C.a=6,b=4,c=5D.<7=7,6=24,c=25

【变式M1（2023春湖北孝感•八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a,b,c,且满足）=洛

1

则这个三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定

【变式1・2】（2023春八年级单元测试）如图，以△/18C的两边8C、4。分别向外作正方形，它们的面积分

别是多，S?,若$=2,52=3,AB2=5,则△48c的形状是三角形.

【变式1-3】（2023春广东惠州八年级校考期中）有四种说法：①三个内角之比为5:6:1；②三边形长分别

为：V2,V7,V5；③三边之长为9、40、41；④三边之比为1.5：2：3.其中是直角三角形的有

（填序号）.

【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】

【例2】（2023春全国•八年级专题练习）同一平面内有4B,C三点,A,4两点之间的距离为5cm,点C

到直线AB的距离为2cm,且△力8c为直角三角形，则满足上述条件的点C有个.

【变式2-1】（2023春八年级单元测试）在如图所示的5x5的方格图中，点力和点8均为图中格点.点C

也在格点上，满足△48C为以月8为斜边的直角三角形.这样的点。有（）

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-2】（2023春全国•八年级专题练习）点力（2,m）,B（2,m-5）在平面直角坐标系中，点。为

坐标原点.若△48。杲百角三角形，则机的值不可能杲（）

2

A.4B.2C.1D.0

【变式2・3】（2023春全国•八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点44在小

正方形的顶点上，在图中画（点。在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要

求画出两个，且两个三角形不全等）

【题型3在网格中判断直角三角形】

【例3】（2023春北京西城八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为I,△4RC

的三个顶点4B,C都在格点上，力。是8C边上的中线，那么力。的长为（）

A.2.5C.2V2D.V5

【变式3-1】（2023春广东湛江八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1,人民C是小正方

形的顶点，则/48。的度数为.

C

【变式3-2】（2023春广东惠州八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1.

3

A

C

（1）求四边形ABCD的面积与周长；

（2）求证：NBCD=90。.

【变式3-3】（2023春八年级单元测试）如图所示的是2x5的正方形网格，点4B,P都在网格点上，则

/APB=.

【例4】（2023春安徽阜阳•八年级统考期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如S+y2=z2的方程,

显然，这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解QMZ）叫做勾股数.如（3,4,5）就是一组勾股数.

⑴请你再写出两组勾股数：（）,（）；

⑵在研究直角三角形的勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果〃表示大于1的整数，尸2%产/一］,

Z=^+1,那么，以x,HZ为三边的三角形为直角三角形（即x,%Z为勾股数），请你加以证明.

【变式4-1】（2023春・四川达州•八年级校考期中）以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（）

A.V3,AV5B.6,8,10C.1,V2,V3D.2,3,4

【变式4-2】（2023春全国•八年级专题练习）一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整

4

数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表(其中外〃为正整数，且〃>")：

m23344•••

n11212・・・

2222

a22+1232+F3+24+l42+22•・•

h4612816•••

22T232T242T2

c32-2242-22•・・

(1)探究*b,c与如〃之间的关系并用含加，〃的代数式表示：a=,b=,c=

(2)以a,b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由.

【变式43】(2023春重庆北陪•八年级西南大学附中校考期中)勾股定理是一个基本的几何定理，早在我

国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的

直角三角形叫、、整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”,如：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,

15,17；9,4(),41等等都是勾股数.

(1)小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写

2222

成这两个整数的平方差.如3,4,5中，5=22+已3=2272；5<12,口中，13=3+2,5=3-2；请

证明：m,〃为正整数，且用>〃，若有一个直角三角形斜边长为有一条直角长为〃/.后,则该直角

三角形一定为''整数直角三角形”；

⑵有一个直角三角形两直角边长分别为和田乔丽，斜边长445,且。和b均为正整数，用含力

的代数式表示明并求出。和力的值；

⑶若，="+历2,C2=苏+岳2,其中，以42、历、岳均为正整数.证明：存在一个整数直角三角形，其

斜边长为CF.

【题型5利用勾股定理的逆定理证明】

【例5】(2023•江苏八年级假期作业)如图，已知CDLAB,垂足为D,BD=\,CD=2,.4Q=4.求证：N,4C"=90。.

5

c

【变式5-1】（2023・江苏•八年级假期作业）在△48c的三边分别是〃、b、C,且折〃2-1力=2〃,片〃2+1,判断

△Z8C的形状，证明你的结论.

【变式5-2】（2023春八年级课时练习）如图，以△力8c的每一条边为边作三个正方形.已知这三个正方形

构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△4BC是直角三角形吗？请证明你的判断.

【变式5-3】（2023春江苏盐城•八年级统考期中）如图，在△4BC中，AB=7,AC=25,4。是中线，点£

在力。的延长线上,且力。=9=12.

（2）证明：CELAE；

（3）求△48C的面积.

【题型6利用勾股定理的逆定理求解】

【例6】（2023春山西吕梁•八年级统考期末）如图，在△48。中，AB=5,BC=4tAC=3,将三角形纸片沿

4。折叠，使点。落在力8边上的点七处，贝必以足的周长为（）

6

A.3B.4C.5D.6

【变式6-1】（2023春湖北襄阳•八年级统考期中）如图，在中，点。在"上，AB=AC,BC=5,BD=3,

【变式6・2】（2023春・河南开封,八年级统考期末）已知叱的三边分别为〃、Ac,且满足

（92611）2+12。-b-2|=10c-25-。2,请你判断△ABC的形状，并求出其周长与面积.

【变式6-3】（2023春陕西榆林•八年级校考期末）已知在中，4c=12,BC=5/B=13,点E为边4c上

的动点，点F为边AB上的动点，则FE+EB的最小值是一

【题型7勾股逆定理的应用】

【例7】（2023春广东广州•八年级统考期中）如图，在笔直的公路力用旁有一座山，从山另TS的。处到

公路上的停靠站/的距离为4C=15km,与公路上另一停靠站8的距离为BC=20km,停靠站45之间的距

离为/14=25km,为方便运输货物现要从公路力4上的。处开凿隧道修通一条公路到。处，且也

C

ADB

7

(1)请判断△/出C的形状?

(2)求修建的公路C。的长.

【变式7・1】(2023春广西南宁八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)森林火灾是一种常见的自然灾

害，危害很大.随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，。区域

内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向力当由点/飞向点8,已知点C为其中一个着火点，且点C与

点44的距离分别为600m和800m,又猾=1000m,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.

(2)着火点C能否受到洒水影响？为什么？

【变式7-2】(2023春广西桂林•八年级统考期中)一根12米的电线杆,48,用铁丝XC、力。固定，现已知

用去铁丝力C=15米，米，又测得地面上4、。两点之间距离是9米，B、。两点之间距离是5米,

则耳线杆和地面是否垂直，为什么？

D

【变式7-3】(2023春八年级课时练习)海面上有两个疑似漂浮目标.力舰艇以12海里,,时的速度离开港口

O,向北偏西50。方向航行；同时，4舰艇在同地以16海里，时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图

所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是.

8

北

【题型8勾股定理及其逆定理的综合】

【例8