用关系式表示变量之间的关系（教学设计）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

6.3用关系式表示变量之间的关系

一、内容与内容解析

（一）教学内容

本节课选自北师大版七年级下册第六章变量之间的关系第三节，是变量关系表示方法的核心课，

承接上一节课”用表格表示变量间的关系”，核心内容为关系式的概念、根据实际情境列关系式、

根据关系式求因变量（或自变量）的值、分析关系式反映的变量变化规律。具体包括理解关系式是

表示变量间关系的简洁形式，能结合生活情境（如行程、几何图形、消费等）提炼变量间的定量关

系，列出规范的关系式；能根据关系式，给定自变量的值求因变量的值，或给定因变量的值求自变

量的值；能通过分析关系式，描述变量之间的变化规律，为后续学习用图像表示变量关系、一次函

数奠定基础。

（二）教学内容解析

本节课是变量关系表示体系的核心环节，在数学知识体系中起到“衔接表格表示与图像表示、实

现变量关系从‘直观定量'到‘抽象定量‘过渡”的关键作用——承接上节课表格表示变量关系的直观性,

聚焦“关系式”这一简洁、抽象的表示形式，让学生从“读取表格数据”上升至ij“提炼定量关系”，掌握用

代数式子表示变量关系的方法，实现从具体形象思维到抽象逻辑思维的进一步过渡。

本节课的知识核心围绕“关系式的构建与应用”展开：首先通过回顾表格表示的优势与不足（表

格只能呈现有限组对应值，无法反映所有对应关系），引出关系式表示的必要性；其次结合生活实

例和几何情境，引导学生提炼变量间的定量关系（如路程;速度X时间、正方形面积;边长2）,掌握

列关系式的方法，明确关系式中自变量的取值范围（需符合实际意义）；最后通过关系式的应用，

实现自变量与因变量的相互求解，分析变量变化规律，体会关系式“简洁、全面、可推导”的优势。

本节课的学习注重实际情境与代数式子结合、定量分析与规律探究结合，重点在于让学生掌握

列关系式的方法，能运用关系式解决简单的变量求解问题，培养代数表达能力、逻辑推理能力和抽

象概括能力，渗透数形结合、建模、转化的数学思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：根据实际情境列出表示变量间关系的关系式；根据关

系式求自变量、因变量的值；分析关系式反映的变量变化规律。

教学难点：从实际情境中提炼变量间的定量关系，列出规范的关系式：理解关系式中自变量的

取值范围（实际意义限制）；根据因变量的值求自变量的值（逆向求解）。

二、目标与目标解析

（一）教学目标

1.结合具体情境，理解川关系式表示变量间关系的意义和优势，掌握关系式的概念，能准确区

分关系式中的自变量和因变量。

2.经历分析实际情境、提炼定量关系、列出关系式的过程，能结合生活情境（行程、几何、消

费等）和已知条件，列出规范的关系式，明确自变量的取值范围。

3.能根据关系式，给定自变量的值求因变量的值，或给定因变量的值求自变量的值，能分析关

系式反映的变量变化规律，提升代数运算和逻辑推理能力。

4.感受关系式在生活和数学中的广泛应用，激发对代数表示的探究兴趣，体会数学与生活的密

切联系，培养规范的代数表达习惯和严谨的思维态度。

（二）教学目标解析

1.学生能准确表述关系式的概念：用含有自变量的代数式子表示因变量的形式，叫做表示变量

间关系的关系式（也叫函数关系式）；能理解关系式的优势：简洁明了、能反映变景间的所有对应

关系，弥补表格表示的局限性；能从关系式中准确识别自变量和因变量（如在关系式y=60x中，x

是自变量，y是因变量）。

2.学生能结合实际情境，分析变量间的定量关系：①行程问题中，能提炼“路程二速度义时间”

的关系；②几何问题中，能提炼“正方形面积二边长2”“长方形周长=2（长+宽）”等关系；③消

费问题中，能提炼“总价=单济乂数量”的关系；能根据定量关系，列出规范的关系式（如速度为

6（）km/h时，路程y与时间x的关系式为产60x）；能结合实际意义，确定自变量的取值范围（如时

间x不能为负数，正方形边长不能为负数）.

3.学生能熟练运用关系式进行求解：①正向求解：给定自变量的值，代入关系式计算出对应

的因变量的值（如在产60x中，x=3时，y=60X3=180）；②逆向求解：给定因变量的值，通过解

方程求出对应的自变量的值（如在y=60x中，y=240时，x=2404-60=4）；能通过分析关系式，描述

变量变化规律（如在y=60x中，x每增加1,y增加60,即y随x匀速增加）。

4.学生能列举生活中用关系式表示变量关系的实例（如水电费计算、物体运动、几何图形的周

长/面积计算），感受关系式的实用性；在列关系式、求解变后的过程中，获得成功体睑，激发对代

数知识的学习兴趣；能规范书写关系式和求解过程，养成严谨的运算习惯和逻辑思维习惯。

三、学生学情分析

（一）已有知识基础

七年级学生在上两节课中，已掌握变量、常量、自变量、因变量的概念，能准确识别现实情境

和表格中的变量；已掌握用表格表示变量间的关系，能从表格中读取数据•、分析变化规律；已具备

基本的代数运算能力（整式求值、简单一元一次方程求解），能进行简单的代入计算和解方程；已

掌握常见的数量关系（如路程、速度、时间的关系，单价、数量、总价的关系，几何图形的周长、

面枳公式），为本节课列关系式、求解变量奠定基础。

（二）认知发展特点

七年级学生的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，对具体情境和直观数据接受度高，

但对抽象的代数式子理解仍需依托具体实例；学生对“定量关系”的提炼能力较弱，容易混淆“定性关

系''和"定量关系在列关系式时，容易出现式子不规范、遗漏自变量取值范围的问题；在逆向求解

（已知因变量求自变量）时，对解方程的应用不够熟练，容易出现计算错误：对关系式反映的变化

规律，难以结合代数式子进行准确描述。

（三）潜在学习困难

1.关系式列写不规范：无法从实际情境中提炼定量关系，出现式子错误（如将“路程=速度X时

间”写成x=60y）；遗漏自变量的取值范围，或取值范围不符合实际意义（如边长为负数）。

2.变量求解易错•：正向求解时，代入数值错误、运算失误；逆向求解时，不会将因变量的值代

入关系式列方程，或解方程步骤不规范。

3.规律描述不精准：无法结合关系式分析变量变化规律，只能简单描述“增大”“减小丁无法定

量描述变化幅度（如“x每增加1,y增加多少。

4.概念理解偏差：混淆“关系式”与“等式”，不理解关系式中“自变可与“因变量”的对应关系，

认为关系式只是简单的代数等式，忽略其表示变量关系的本质.

5.实际应用薄弱：无法将复杂的实际情境（如含多个变量的情境）转化为代数关系式，难以结

合实际意义判断自变量的取值范围。

四、教学策略分析

（-）教学方法

采用“情境对比法+实例探究法+讲练结合法”为主，结合“小组合作法”“错题辨析法”开展

教学。通过表格表示与关系式表示的对比，引出关系式表示的必要性和优势：通过分析多个典型实

例（行程、几何、消费），引导学生提炼定量关系、列写关系式，突破列关系式的难点；通过讲练

结合，强化关系式的列写和变审求解能力，规范书写和运算；通过小组合作，让学生交流列关系式

的思路，解决实际情境转化的困惑；通过错题辨析，针对常见错误（式子不规范、求解错误、取值

范围遗漏）进行重点讲解，强化理解。

（二）学习方法指导

引导学生采用“对比感知一提炼关系一列写式子一应用求解一总结反思”的学习思路，通过“表

格与关系式对比”的方法，感受关系式的优势；采用“分析情境一找定量关系一确定变量一列写式

子”的方法，掌握列关系式的步骤：采用“代入求值一解方程求解”的方法，解决变量求解问题；

采用“分析式子特征一描述变化规律”的方法，掌握规律分析的技巧；同时引导学生总结“列关系

式三步法”（找定量关系、定自变量与因变量、列规范式子+标注取值范围），提升自主学习能力。

（三）教学手段

借助多媒体课件、表格与关系式对比课件、典型实例情境图、学习任务单（含实例分析、错题

辨析、分层练习）等辅助教学。利用课件展示表格与关系式的对比，清晰呈现两者的优缺点，激发

学生对关系式的探究兴趣；利用动态演示，展示实际情境中变量的变化与关系式的对应关系，帮助

学生理解关系式的本质：利用学习任务单引导学生规范开展实例分析、列写关系式、求解变量，明

确学习步骤和要求；利用小组合作任务单，组织学生交流列关系式的思路和易错点，突破实际应用

的难点；利用错题展示，针对性纠正常见错误，强化规范表达。

五、教学过程分析

（一）情境引入

情境对比：课件展示对应的关系式：y=60x（x表示时间，y表示路程），提问：“这个式子能

表示路程与时间的关系吗？它有什么优势？”（能；优势：简洁，能表示任意时间对应的路程，可

快速计算）。

揭示概念：教师小结：像y=60x这样，用含有自变量的代数式子表示因变量的形式，叫做表示

变量间关系的关系式。今天我们就来学习“用关系式表示变量间的关系”，掌握列关系式、用关系

式求解变量的方法。

设计意图：通过表格与关系式的对比，自然引出关系式的概念，让学生直观感受关系式的优势，

激发探究兴趣；回顾旧知，实现知识的衔接，为后续学习奠定基础。

（二）主动参与、感悟新知

操作多媒体，观察动画（△ABC固定点A和点B,让点C沿底边所在的直线向点B运动时，

三角形的面积发生了变化）。

（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？兰底边长减少时，三角形的面积是如何变

化的？

（2）如果三角形的底边长为x（单位：cm）,那么三角形的面积y（单位：cm2）如何表示？

（3）在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积'的值能确定吗？与同伴进行交流。

在上一活动中，y=3x表示了下图中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量面积y随底

边长x变化而变化的关系式。

A

关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法。利用关系式（如y=3x）,我们可以根据任何一

个自变量的值求出相应的因变量的值（如下图）。

观察•思考

如图，圆锥的高度是4cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也

随之发生了变化。

（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底面半径增大时，圆

锥的体积是如何变化的？

（2）如果圆锥底面半径为r（单位：cm）,那么圆锥的体积V（单位：cm3）如何表示？

（3）在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗?

［归纳总结］川关系式表示变量之间的关系:

优点：简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与因变量的相互关系。

缺点：求对应值时有时要经过比较复杂的计算，而且实际问题中，有的变量之间的关系不一定

能用关系式表示出来。

尝试•交流

你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳

（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式。

一叫常见的二氧化碳排放量计算公式见下表:

二氧化碳排放量/kg计算公式

家居用电用电量（单位：kW-h）X0.785

开私家车（燃油车）耗油量（单位：L）X2.7

家用天然气用气量（单位：m3）X0.19

家用自来水用水量（单位：m3）X0.91

（1）你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗？其中的字母表示什么？

（2）随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的？与同伴进行交流。

（3）当用电量为100kW-h时，二氧化碳的排放量为多少？

（4）小明家本月大约用口110kW-h、耗油75L、用天然气20m3、用自来水5m3,请你计算

小明家这几项的二氧化碳排放量总和。

解：（1）假设y表示二氧化碳排放量，x表示用电量，则

家居用电的二领化碳排放量y=|。.785|X.r1~增加一沙增加

常登一

（2）随着用电量的增加，二氧化碳排放量也增加。

（3）当用电量为100kW・h,即x=100时,y=0.785X100=78.5（kg）、

即用电量为100kW-h时，二氧化碳排放量是78.5kg。

（4）家居用电的二氧化碳排放吊：：110X0.785-86.35（kg）。

开私家车的二氧化碳排放量：75X2.7=202.5（kg）。

家用天然气的二氧化碳排放量：20X0.19=3.8（kg）o

家用自来水的二氧化碳排放量：5X0.91=4.55（kg）<>

二氧化碳排放量总和：86.35+202.5+3.8+4.55=297.2（kg）o

（三）课堂总结

1.知识梳理：师生共同以思维导图的形式梳理本节课的核心知识：

用关系式表示变显间的关系-核心概念（关系式：含自变量的代数式子表示因变最）一核心技

能（列关系式：找定量关系、定变量、列式子+标取值范围；求变量值：正向代入、逆向解方程；分

析规律：定量描述变化幅度）―优势（简洁、全面、可推导）-应用场景（行程、几何、消费等）。

2.方法与思想总结：

总结本节课的核心学习方法和数学思想：・学习方法：实例分析法、讲练结合法、错题辨析

法；-数学思想：建模思想（川关系式建立变量关系模型）、转化思想（实际情境转化为代数式子，

逆向求解转化为解方程）、数形结合思想（关系式与变量变化规律结合）。

3.认知升华：

教师强调：关系式是表示变量间关系的重要方法，其核心价值在于“用简洁的代数语言，全

面反映变量间的定量关系，实现变量值的快速求解和规律分析本节课我们掌握了列关系式、求变

量值、分析规律的方法，这些知识是后续学习函数的基础，希望大家能熟练运用，用代数的眼光看

待生活中的变量关系。

4.学习延伸：

提问：“用关系式表示变量关系简洁、全面，但不够直观，我们还可以用什么方式更直观地呈

现变量间的变化趋势？（图像）”为后续学习用图像表示变量关系做好铺垫。

设计意图：思维导图梳理知识，让学生形成完整的认知体系；方法与思想总结让学生提炼本节

课的核心学习方法，提升自主学习能力；认知升华帮助学生把握本节课的核心价值，深化对关系式

的理解；学习延伸激发学生的探究兴趣，为后续学习做好铺垫。

（四）布置作业、巩固提高

1.如图，长方形铁板的长为小在左侧截掠一个最大的正方形。若剩余部分的周长为"则〃与人之

间的关系可以表示为（A）

---------V---------

A.b=2aB.b=2a+2C.b=4aD.b=4a-4

2.如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知每个铁环长4厘米，铁环粗0.5

厘米。设r个铁环长为），厘米，则v与x之间的关系可以表示