天城院材料力学讲义第4章 扭转

第四章扭转§4−1概述扭转变形是杆件的基本变形形式之一。扭转变形的基本特征是：杆件在两端垂直于轴线的平面内作用一对大小相等而方向相反的力偶，使其横截面产生相对转动（图4−1）。圆杆表面的纵向线变成了螺旋线，螺旋线的切线与原纵向线的夹角γ称为剪切角。截面B相对于截面A转动的角度φ，称为相对扭转角。BAMeMeφγ图4−1Meme（c）（a）MeMeBAMeMeφγ图4−1Meme（c）（a）MeMeMemeMe雨篷板雨篷梁（d）图4−2MeFF（b）Me本章着重讨论扭转变形中等直圆杆受扭时的强度和刚度计算，它是扭转中的最基本问题。§4−2传动轴的外扭矩·扭矩及扭矩图图4−3（a）xnMenMenxTnMe（c）（b）Tnnx图4−3（a）xnMenMenxTnMe（c）（b）TnnxMeT=Me（4−1）该内力偶矩称为扭矩，用T表示，单位是N·m或kN·m。通常对扭矩的正负号作如下规定：采用右手螺旋法则，若以右手的四指表示扭矩的转向，则大拇指指向与截面外法线方向一致时，扭矩为正，反之为负。如图4−3b、c所示扭矩均为正。当杆件上作用多个外力偶时，应分段用截面法计算各截面上的扭矩，并绘制扭矩图。绘制方法与轴力图的做法类似。例题4-1图a所示AD杆，同时受到外力偶矩Me1、Me2、Me3和Me4的作用，且Me3=Me1+Me2+Me4。试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩，并作出扭矩图。例题例题4−1图ADCBIIⅡⅡⅢⅢ（e）（a）（b）（c）AT1xⅠⅠ（d）AT3CBⅢⅢxAT2BⅡⅡxMe1Me1+Me2Me4T图解：(1)AB段：在截面Ⅰ-Ⅰ处将轴截开，取左段为脱离体，如图b，由平衡方程，得(2)BC段：在截面Ⅱ-Ⅱ处将轴截开，取左段为脱离体，如图c，由平衡方程，得(3)CD段：在截面Ⅲ-Ⅲ处将轴截开，取左段为脱离体，如图d，由平衡方程，得绘出扭矩图，如图e。在工程实际中，作用在机器传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率和轴的转速。需要将其换算为力偶矩。BA电动机图4−4如图4−4所示带轮传动轴，电动机带动轮A转动。轮A通过轴AB带动B轮转动。电动机的功率为P千瓦(kW)，传动轴的转速为n转/分(r/min)。当电动机运转时，轮A和轮B处受力偶作用，其力偶矩为MeBA电动机图4−4轴转动1分钟力偶所作的功为电动机每分钟所作的功为由得：（4−2）式中n为转速（r/min），P为功率（kW），Me为外力偶矩（N·m）。例题4−2如图a所示的传动轴，主动轮输入的功率为P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为P2=P3=150kW，P4=200kW，轴的转速为300r/min，试作出轴的扭矩图。例题4−2图（d）（e例题4−2图（d）（e）（f）6.37kN·mT图4.78kN·m9.53kN·m++（c）AT1xⅠⅠ（b）ADCBIIⅡⅡⅢⅢx（a）Me2Me3Me1Me4AT2BⅡⅡxxT3xⅢⅢD用截面法即可计算出各段的扭矩：(1)AB段：在截面Ⅰ−Ⅰ处将轴截开，取左段为脱离体，如图c，由平衡条件，得kN·m(2)BC段：在截面Ⅱ−Ⅱ处将轴截开，取左段为脱离体，如图d，由平衡条件，得kN·m(3)CD段：在截面Ⅲ-Ⅲ处将轴截开，取右段为脱离体，如图e，由平衡条件，得kN·m其扭矩图如图f所示，由图可知，最大扭矩在BC段内，其值等于9.53kN·m。§4−4薄壁圆管扭转时横截面上的切应力如图4−5所示，取一等截面薄壁圆管，其横截面平均半径为R，壁厚为t（图8−6），为了便于观察其变形情况，在圆管表面划一系列与轴线平行的纵向线和一系列圆周线。然后在圆管两端垂直于轴线的平面内作用一对大小相等而方向相反的外力偶，则圆管发生扭转变形。可以看到如下现象：（1）所有纵向线均倾斜了相同的角度，变为平行的螺旋线。t2R图t2R图4−6243MeMe1′2′4′3′MeMe(a)(b)图4−5A0从变形情况可以推断出：（1）所有的横截面变形后仍保持为平面。（2）横截面上只有切应力而没有正应力，切应力的方向垂直于半径。6dx41323′2′5876′6dx41323′2′5876′7′γM0图4−7（c）图8−25图4−8（c）TdxdAτdAdαmnm（a）即：（b）积分得：（c）即：（4−3）其中A0=πR2为由圆环的平均半径R计算的面积（图4−6中阴影部分），这就是薄壁圆环受扭转时横截面上切应力计算公式。§4−5切应力互等定理和剪切胡克定律一、切应力互等定理如图8−9所示，从薄壁圆管中截取一边长分别为dx、dy、dz的单元体，由平衡方程，∑Mz=0，τdydzdx-τ′dzdxdy=0得τ=τ′（4−4）zyxdzdxO图4−9τ′图zyxdzdxO图4−9τ′图4−10τ′τττττ′τ′二、剪切胡克定理试验结果表明：在弹性极限内，切应力t与切应变g成正比，即：（4−4）上式称为“剪切胡克定理”。式中比例常数称为材料的切变模量。其单位与拉压弹性模量相同，在国际单位制中为帕（Pa）。切变模量G、拉压弹性模量E和泊松比n都是表示材料弹性性质的常数，通过理论研究和实验证实，在弹性变形范围内，三者之间的关系是：（4−5）通过上式可以得出，对于各向同性材料，只要知道任意两个弹性常数，就可以求出另外一个。对于钢材，n取0.24~0.3；对于混凝土，n取0.16~0.18。§4−5圆截面杆扭转时横截面上的应力ABDCMeMABDCMeMe(a)A′B′D′C′MeMe(b)图4−121．几何方面（a）式中，q为单位长度的扭转角，（b）2．物理方面trtrdAdA图4−15（4−4）将式（a）代入式（4−4），得（c）3．静力学方面从前面的分析中已得出横截面上切应力的变化规律表达式（c），但式中q是个待定参数，要确定这个待定参数，必须从静力学方面分析。在横截面上距圆心为r处的微面积dA上的内力为trdA，它对圆心的矩为trdA·r，由于扭矩T是以切应力的形式分布在整个截面上，所以有（d）将式（c）代入式（d）得出（e）ρdρd图4−16O式中与横截面的几何特征有关，称为横截面的极惯性矩，单位为m4或mm4，对于直径为的实心圆截面（ρdρd图4−16O（f）将式（d）变形后得出（3−5）通过上式可以求出任一横截面上的单位长度的扭转角q。将式（4−5）代入式（c）中，可得到等直圆杆在扭转时横截面上任一点处的切应力（4−6）其中T是横截面上的扭矩，r是所求应力点到圆心的距离，IP是极惯性距。当r等于横截面半径时，即在横截面周边各点处，切应力达到最大值。（g）令（h）WP为扭转截面系数，它也是与横截面的几何特征有关的量，单位为或mm3，对于实心圆截面，将式（f）代入式（h）得（i）于是（g变为（4−10）该公式仅适用于线弹性范围内的等直圆杆。DdO图4−17τmaxτmax空心圆截面杆受扭时横截面上的切应力的计算公式同式（fDdO图4−17τmaxτmax（j）（k）式中Ｄ、d分别为空心圆截面的外径和内径。对于空心圆截面杆横截面上的切应力仍然呈线形分布，最大切应力发生在截面的外边缘上（图4−17）。§4−6斜截面上的应力（4−13）此式即为斜截面上的应力公式。根据公式（4−13），可以确定单元体上的最大正应力和最大切应力及其作用面的方位（图4−21）。在a=±45°的斜截面上，切应力ta=0，正应力绝对值最大，（c）在a=0°、90°的斜截面上，切应力绝对值最大，zabcttzabctt′yxt′tO图4−18t′abtcdAnsatat图4−20t′t图4−21t′tsminsmax－45°45°abcttt′t′图4−19αα§4−7圆轴扭转时的变形圆轴的扭转变形通常用杆件的两个横截面间的相对扭转角来度量。因此，计算圆轴的扭转变形也就是计算相对扭转角。由§4−5中的式（b）得（a）将式（4−6）代入（a），得到微段dx上的相对扭转角为（b）对上式两边积分，得（4−14）当T与GIp是常数时，相距l的两横截面的相对扭转角为：（4−15）式中GIp称为杆件的扭转刚度。§4−8扭转的强度和刚度计算一、强度计算强度条件为（4−16）式中[t]为许用切应力。二、刚度条件刚度条件为（4−17）式中q是单位长度的扭转角，单位为rad/m，[q]为单位长度的许用扭转角，单位也是rad/m。例题4−3一电机的传动轴直径d=40mm，轴传递的功率P=30kW，转速n=1400r/min。材料的许用切应力[τ]=40MPa，切变模量G=80GPa，单位长度的许用扭转角[q]=1º/m。试校核此轴的强度和刚度。解：（1）计算传动轴的扭矩N·m（2）强度校核根据式（4−16）强度条件：MPa[τ]（3）刚度校核根据式（4−17）刚度条件：º/m[q]由此可见，此轴分别满足强度条件和刚度条件的要求。§4−9超静定问题(a)(b)例题4−5图MeMBM(a)(b)例题4−5图MeMBMeBCAbaMAMAMB(c)T图解:解除两端的约束，并用支反力偶和代替作用于轴上（图b）。由于该轴上作用有两个未知力偶，而只有一个独立的平衡方程，所以这是一次超静定问题，需根据变形条件建立一个补充方程。（1）静力平衡方程由，得(a)（2）补充方程由于两端均为固定端，所以B截面相对于A截面的扭转角jAB=0，即：(b)联立式(a)、式(b)，解得 ，§4−10*非圆截面杆的扭转 一、矩形截面杆矩形截面等直杆在扭转时发生翘曲，变形情况复杂，平面假设不再适用，因此用材料力学的方法不能解决问题，而需用弹性力学的方法来研究。下面介绍矩形截面等直杆在自由扭转时由弹性力学研究的主要结果。矩形截面杆扭转时，其横截面上的切应力计算有以下特点：1．截面周边各点处切应力的方向一定与周边相切，如图4−24所示。2．在截面的四个角点处，切应力为零。3．最大切应力tmax发生在截面的长边中点A处，且短边中点B处的切应力也是该边各点处切应力中的最大者。截面上的最大切应力为：（4−18）短边中点B处的切应力为：（4−19）杆件单位长度的扭转角为：（4−20）其中，Wt=bb3称为扭转截面系数，It=ab4称为截面的相当极惯性矩