天城院材料力学讲义第9章 组合变形

第九章组合变形§9-1概述在实际工程中，杆件所承受的荷载常常是比较复杂的，杆件所发生的变形往往同时包含两种或两种以上的基本变形形式，这些变形形式所对应的应力或变形对杆件的强度或刚度产生同等重要的影响，而不能忽略其中的任何一种，象这类杆件的变形称为组合变形。例如，在有吊车的厂房中，带有牛腿的柱子受到屋架以及吊车梁传来的竖向荷载F1、F2（图9−1a），它们的作用线与上下柱的轴线都不重合，属于偏心受压，这可以看作是轴向压缩与纯弯曲的组合；斜屋架上的檩条（图9−1b），受到屋面板上传来的荷载F，该荷载的作用线并不与工字钢的任一形心主轴重合，所以引起的不是平面弯曲，将F沿两形心主轴分解成两个分量，这两个分量分别引起两方向的弯曲，这种情况称为斜弯曲或双向弯曲；雨蓬梁（图9−1c），一方面受到梁上墙传来的荷载，引起梁的弯曲，另一方面，受到雨蓬板传来的荷载，这部分荷载将引起梁的扭转变形，所以雨蓬梁可看作是弯曲与扭转的组合变形。图图9−1e1e2F2F1（a）Fzy（b）Fq（c）§9-2斜弯曲现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲问题中应力和变形的计算。MMyMzz图9−2D2D1φmmzFyxlOFFzyxK(y,z)ymm（a）（b）如图9−2a所示，悬臂梁在自由端受集中力F作用，其作用线通过横截面的形心，并与截面的铅垂对称轴间的夹角为φ。选取坐标系如图所示，梁轴线为x轴，两个对称轴分别为y轴和z轴。现将F沿y轴和z轴分解为两个分力Fy和Fz，即： （a）将每一个分力以及与它相应的支反力看作为一组力，在每一组力作用下，梁将在相应的纵向对称平面内发生平面弯曲。这两个分力在梁的任意横截面m−m（图14−2b）上引起的弯矩分别为：（b）式中的弯矩M=Fx是力F在横截面m−m上所引起的弯矩。由以上两式的最后结果可知，弯矩也可以由总弯矩M沿两坐标轴进行矢量分解来求得。由于已把横截面m−m上的弯矩分解为两个分量，这两个分量分别引起梁的平面弯曲，则任意一点K(y,z)处的正应力可以按叠加原理求得。设杆件在xOy和xOz平面内发生平面弯曲时，K点处的正应力分别为σ'、σ"，则：（c）取式（c）两式的代数和，即得在Fy和Fz共同作用下，K点的正应力为：（9−1）式中的Iz、Iy分别为横截面对z轴和y轴的惯性矩，z、y分别为所求应力点到y轴和z轴的距离。对于所研究的悬臂梁（图9−2），其危险截面在固定端，因为该处弯矩My和Mz的绝对值最大。至于危险截面上危险点的确定，对于工程中常用的矩形、工字形截面，其横截面都有两个对称轴且具有棱角，危险点容易确定。通过观察梁（图9−2）的变形情况可知，在D1点处，叠加后的正应力为最大拉应力，在D2点处，叠加后的正应力为最大压应力，它们的数值相等，可以写成下式：（d）若材料的许用拉应力与许用压应力相等，其强度条件可写成：图9−3zyOF图9−3zyOF式中：，（e）对于不易确定危险点的截面，例如边界呈弧线且没有棱角的截面（图9−3），则需研究截面上正应力的变化规律。由式（9−1）可知，正应力σ是点的坐标y、z这两个变量的线性函数，它的分布规律是一个平面。在该平面与横截面相交的直线上，各点处的正应力为零，所以该直线即为中性轴，则离中性轴最远的点，正应力为最大。因此为了计算横截面上的最大正应力，首先要定出中性轴的位置。设中性轴上任一点的坐标为（y0，z0），由于中性轴上各点处的正应力都等于零，则由式（9−1）可得：由于M不等于零，得：（9−3）上式即为中性轴方程，它是一条通过横截面形心的直线，设它与z轴间的夹角为α，则：（9−4）D2D1α中性轴图9−4φzyO由式（9−4）可知，当F通过第Ⅰ、Ⅲ象限时，中性轴通过第Ⅱ、Ⅳ象限。一般情况下，Iy≠Iz，所以中性轴与FD2D1α中性轴图9−4φzyO中性轴把截面划分为受拉和受压区域。确定了中性轴的位置后，就很容易确定正应力最大的点。在横截面的周边上，作两条与中性轴平行的切线（图9−4），则两切点D1、D2就是横截面上离中性轴最远的点，也就是正应力最大的点。将这两点的y、z坐标代入式（9−1），就可分别得到横截面上的最大拉应力、最大压应力。求出该应力值后，就可以根据材料的许用拉压应力建立强度条件，进行强度计算。梁在斜弯曲时的挠度也可按叠加原理计算。以图14−2所示的悬臂梁为例，计算自由端的挠度时，同计算应力一样，首先将作用在梁自由端的外力F分解为两个分力Fy和Fz，然后按平面弯曲的挠度计算公式分别计算这两个分力在自由端所引起的两方向的挠度fy和fz，即：（f）求出其矢量和，即为总挠度f，则总挠度f的大小为：（9−5）总挠度f与y轴的夹角β，可由下式求得：（9−6）由此式可知，一般情况下总挠度f的方向与F方向不相同，即荷载平面与挠曲线平面不相重合，这正是斜弯曲的特点。在Iy=Iz这一特殊情况下，β=φ，即荷载平面与挠曲线平面重合，而这就是平面弯曲了。以上的讨论都是以悬臂梁为依据的，但其原理同样适用于其他支承形式的梁和荷载情况。例题9−1如图所示一简支梁，用32a工字钢制成。在梁跨中有一集中力F作用，已知l=5m，F=20kN，E=200GPa，力F的作用线与横截面铅垂对称轴间的夹角为φ=20°，且通过横截面的弯曲中心。钢的许用应力为[σ]=170MPa。试：按正应力强度条件校核此梁的强度；2.5m2.5AB2.5F(a)φyzFD1D2(b)φyzFfβ(c)例题9−1图解：（1）强度校核荷载F在y轴和z轴上的分量为：该梁跨中截面为危险截面，其弯矩值为：根据梁的变形情况可知，最大应力发生在D1、D2两点（图b）,其中D1为最大压应力点，D2为最大拉应力点，其绝对值相等，即：由型钢表查得：，代入上式，得危险点处的正应力为：可见，此梁满足正应力的强度条件。（2）计算最大挠度和方向梁沿y轴和z轴方向的挠度分量为：总挠度f为：由型钢表查得：，代入上式，得：设总挠度f与y轴的夹角为β，则：在此例题中，若F作用线与y轴重合，即φ=0，则最大正应力为：最大挠度为：将这些结果与斜弯曲的结果比较，得：§9−3拉伸（压缩）与弯曲如果作用在杆件上的外力除了横向力，还有轴向力，这时杆件将发生弯曲与轴向拉伸（压缩）的组合变形。qp图9−5qp图9−5lABq（a）FFyx（b）lABq（a）FFyx（b）Oyz+σN(σN)（c）+(σ=σN+σM)（e）+σmax(σM)（d）图9−6在轴向力F作用下，梁将发生轴向拉伸，各横截面上的轴力均为FN=F，正应力均匀分布（图9−6c），其值为：在横向力q作用下，梁发生平面弯曲，横截面上的正应力沿高度按直线规律分布（图9−6d），任一点处的正应力为：在轴向拉力和横向力共同作用下，横截面任一点处的正应力，可按下式计算：（9−7）对于图9−6a所示的简支梁，危险截面在跨中，最大正应力发生在截面下边缘处，按下式计算：则正应力强度条件可写成：（9−8）以上讨论是以图9−6所示的简支梁为例的，但其原理同样适用于非矩形截面及其它形式拉伸（压缩）与弯曲组合的杆件。lABq（a）FFOyzbl（b）例题9−2图例题9−2如图所示一矩形截面简支梁，受均布荷载q和轴向拉力F作用，已知：lABq（a）FFOyzbl（b）例题9−2图解：最大弯矩发生在梁跨中，其值为：由弯矩引起的最大正应力，发生在跨中截面的下边缘处和上边缘处，其值为：由轴向拉力引起的拉应力为：最大压应力发生在梁上边缘，其值为：最大拉应力发生在梁下边缘，其值为：§9−4偏心拉伸（压缩）截面核心一、偏心拉伸（压缩）当杆件所受的外力，其作用线与杆件的轴线平行而不重合时，引起的变形称为偏心拉伸（压缩）。现以图9−7所示矩形截面直杆为例说明偏心拉伸杆件的强度计算问题。拉力F作用在A点，作用点A到z轴、y轴的距离分别为yF和zF。要研究任意横截面ABCD上的应力，可将作用在杆端的偏心拉力F用其等效力系来代替，即将力F简化到截面的形心处，简化后的等效力系中包含一个轴向拉力和两个力偶My、Mz（图9−7b），它们将分别使杆件发生轴向拉伸和在两纵向对称平面（即形心主惯性平面）内的纯弯曲，其中两个力偶矩分别为：，OO图9−7zFFyzyFAO（a）FyzMy=FzFMz=FyF（b）ABCDyGE(y,z)z它们在横截面ABCD上任一点E(y,z)处产生的弯曲正应力分别为：由轴向拉力F引起的正应力为：按叠加原理，E(y,z)点处的正应力即为上述三组应力的代数和，即：（9−9）或：（9−10）在上述两式中，为拉力时，取正值，压力时取负值。力偶矩My、Mz的正负号可以这样规定：使截面上位于第一象限的各点产生拉应力时取正值，产生压应力时取负值。还可以根据杆件的变形情况来确定。例如图9−7b中确定G点的应力时，在My作用下G处于受压区，则式中第二项取负值，在Mz作用下G处于受拉区，则式中第三项取正值。在F、My、Mz各自单独作用下，横截面上应力的分布情况如图9−8a、b、c所示。图9−8d为三者共同作用下横截面上的应力分布情况。图图9−8yzO（a）yzO（b）z中性轴yO（d）Oyz（c） 下面讨论偏心拉伸（压缩）时的应力分布规律。将式（9−10）改写为：（a）引入惯性半径iy、iz：，则：（b）上式表明了应力σ是一平面方程，此平面与横截面相交的直线上的正应力为零，该直线即为中性轴。令y0、z0为中性轴上任一点的坐标，将它们代入式（b），则所得到的应力必为零，即：由此得中性轴的方程为：（c）zOyσminσmax中性轴D1D2图9−9++由式（c）可知，中性轴是一条不通过横截面形心（坐标原点）的直线。设它在两坐标轴上的截距为ay、az。上式中令z0=0，则相应的zOyσminσmax中性轴D1D2图9−9++，（9−11）上式表明ay、az分别与yF、zF符号相反，所以中性轴与外力作用点分别处于截面形心的两侧。中性轴把截面分为拉应力和压应力两个区域，只要把中性轴的位置确定后，就很容易确定危险点的位置。很显然，离中性轴最远的点D1和D2（图14−9）就是危险点。这两点处的正应力分别是横截面上的最大拉应力和最大压应力。把D1、D2两点的坐标分别代入式（a），就可求得这两点处的正应力值，若材料的许用拉应力和许用压应力相等，则可选取其中绝对值最大的应力作为强度计算的依据，即强度条件为：（9−12）或：（9−13）若材料的许用拉应力[σt]和许用压应力[σc]不相等时，则须分别对最大拉应力和最大压应力做强度计算。例题9−3图示一矩形截面短柱，承受偏心压力F的作用，F的作用点位于截面的y轴上。短柱截面尺寸为b、h，试求短柱的横截面不出现拉应力时，F的作用点至z轴的最大距离即最大偏心距e。解：将力F简化到截面形心，得到轴向压力F和力偶矩M=Fe。例题例题9−3图eFhyzFM=Fee在力F作用下，横截面上各点均产生压应力，在M作用下，z轴左侧受拉，最大拉应力出现在截面的左边缘处，欲使横截面不出现拉应力，应使F和M共同作用下横截面左边缘处的正应力为零，即：即：解得：即最大偏心距为。二、截面核心对于在工程中经常使用的材料，如混凝土、砖、石等，它们的抗压强度很高，而抗拉强度却很低，所以主要用作承压构件。这类构件在偏心压力作用时，其横截面上最好不出现拉应力，以避免开裂。这样就必须限制压力作用点的位置，使得相应的中性轴不通过横截面，而是在截面的外边，至多与截面的外边界相切。这样，以截面上外边界点的切线作为中性轴，绕截面边界转动一圈时，截面内相应地有无数个力的作用点。这些点的轨迹为一条包围形心的封闭曲线，当压力作用点位于曲线以内或边界上时，中性轴移到截面外面或与截面边缘相切，即截面上只产生压应力。封闭曲线所包围的区域称为截面核心。下面以图9−10所示的矩形截面为例，说明如何确定截面核心。h/6BC41yz图9−10ADhh/62h/h/6BC41yz图9−10ADhh/62h/63即：整理后得：这就是外力作用点yF、zF关系式，可见它是一条直线。当yF=0时，zF=h/6,当zF=0时，yF=b/6，从而绘出直线12，即为截面核心在第Ⅰ象限的边界线。同理当作用点位于第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限时，根据角点B、C、D点的应力为零的条件，可依次求出截面核心的边界线14、34、23（图14−10）。最后得到一个菱形。所以，矩形截面的截面核心的边界是一个菱形，其对角线长度为截面边长的三分之一。由此可知，当矩形截面杆件承受偏心压力时，欲使截面上都是压应力，则此压力作用点必须在上述菱形范围内。§9-5弯曲与扭转本节以圆形截面杆为例，说明弯曲与扭转组合变形的强度计算。如图9−11a所示为一曲拐ABC，其中AB为等截面实心圆杆，A端固定，C端受一集中力F作用。现研究AB段的受力情况。将力F向B截面的形心处简化，简化后其等效力系可分成两组：B端的横向力F以及作用在B端截面内的力偶。横向力F将引起AB杆发生弯曲，而力偶矩Fa将引起AB杆发生扭转。所以AB杆将发生弯曲与扭转的组合变形（图9−11b）。绘出力F单独作用下AB杆的弯矩图（图9−11c）以及力偶矩Fa单独作用下AB杆的扭矩图（图9−11d）。τττ图9−11BFlMe=Fa(b)Fl(c)Fa(d)τ(f)τσ(g)AFCla(a)Bσττ（e）ABσC2C1σzC2C1yz根据这两个图可判断出，固定端A截面为危险截面，因为固定端截面处弯矩最大而扭矩沿各横截面均相等。横截面上弯曲正应力和扭转切应力的分布规律如图9−11e、f所示。要作强度计算，还须定出危险截面处的危险点。由图可见，在横截面上下两端点C1、C2处有最大弯曲正应力，而横截面周边各点处有最大扭转切应力。可见，C1、C2两点是危险点。对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆，这两点同等危险，故只需研究其中一点C1处的应力。由于C1点处既有弯曲正应力，又有扭转切应力，处于二向应力状态。因此，要利用强度理论，求得相当应力，并写出强度条件。要研究C1点处的应力状态，可围绕C1点用横截面、纵截面和平行于表面的截面截出一个单元体，绘出此单元体各面上的应力（图14−11g），此单元体大最大主应力σ1和最小主应力σ3分别为：（c）而。式中σ和τ分别为C1点处的弯曲正应力和扭转切应力，可分别按下式计算：（d）式中M、T分别为