2027届新高考数学热点精准复习 函数的奇偶性、周期性

2027届新高考数学热点精准复习函数的奇偶性、周期性1.了解函数奇偶性的含义,了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.课标要求1.函数的奇偶性f(-x)=f(x)奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且_______________________,那么函数f(x)就叫做偶函数关于______对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且_______________________,那么函数f(x)就叫做奇函数关于______对称y轴f(-x)=-f(x)原点2.周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且___________________________,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数,那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)最小最小正数常用结论与微点提醒

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在(0,＋∞)上是偶函数.(

)(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)＝0.(

)(3)若T是函数f(x)的一个周期,且f(x)的定义域为R,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.(

)(4)对于函数y＝f(x),若存在x,使f(－x)＝－f(x),则函数y＝f(x)一定是奇函数.(

)诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编××√×(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y＝x2在(0,＋∞)上不具有奇偶性,(1)错误.(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0,(2)错误.(4)反例:f(x)＝x3,x∈[－3,5],存在x＝1,使f(－1)＝－f(1),但f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,(4)错误.

BC3.(人教A必修一P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为__________________.

(－2,0)∪(2,5]由图象可知,当0<x<2时,f(x)>0;当2<x≤5时,f(x)<0,又f(x)是奇函数,∴当－2<x<0时,f(x)<0,当－5≤x<－2时,f(x)>0.综上,f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5].4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,若f(1)＝1,则f(2027)＝_________.

－1因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,所以f(2027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.

考点一函数奇偶性的判断

显然函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称.因为当x<0时,－x>0,则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x);当x>0时,－x<0,则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(－x)＝－f(x)成立,所以函数f(x)为奇函数.

感悟提升判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.

B对于A选项,如图1,不符,图1

图2对于B选项,如图2,符合,对于C选项,如图3,不符,图3

图4对于D选项,如图4,不符,故选B.(2)(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(

)A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数对于A,若∀t∈R,当t>0时,令t＝x2,因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t);当t＝0时,令t＝x2＝0,AD因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(0)＝－f(－0),即f(0)＝0;当t<0时,令t＝－x2,因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(－t)＝－f(t),综上,∀t∈R,f(－t)＝－f(t),所以f(x)是奇函数,故A正确;对于B,在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中,令x＝y＝0,得2[f(0)]2＝2f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)＝1,显然不符合f(－x)＝－f(x),故B错误;对于C,令x＝y＝0,则f(0)＋f(0)＝f(0),所以f(0)＝0,令y＝－x,则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0,所以f(－x)＝－f(x),即f(x)为奇函数,故C错误;对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),令x＝y＝0得f(0)＝0;令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1),所以f(1)＝0;令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1),所以f(－1)＝0;令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x),所以f(x)是奇函数,故D正确.

A

考点二函数的奇偶性的应用

(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)＝4－x＋1,则函数f(x)的解析式为______________________.

A因为定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f(－x)－f(x)＝0,所以函数f(x)是偶函数,

(－∞,－4]∪[2,＋∞)

－10

∴g(－x)＝－g(x),即g(x)是奇函数,因此g(x)min＋g(x)max＝0.又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5,g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5,∴g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0,即M＋m＝－10.感悟提升1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.2.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.3.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).4.设f(x)＝g(x)＋a,其中g(x)是奇函数,f(x)的最大值与最小值分别为M,N,则f(－x)＋f(x)＝2a,M＋N＝2a.

C因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)＝2x－3,f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.(2)(2026·唐山模拟)已知f(x)＝e|x|,则下列说法正确的是(

)A.f(5)>f(－3)>f(2) B.f(－3)>f(2)>f(5)C.f(5)>f(2)>f(－3) D.f(2)>f(5)>f(－3)已知f(x)＝e|x|,其定义域为R,关于原点对称.且f(－x)＝e|－x|＝e|x|＝f(x),所以函数f(x)是偶函数,那么f(－3)＝f(3).当x≥0时,f(x)＝ex.因为e>1,所以f(x)＝ex在[0,＋∞)上单调递增.因为5>3>2,且f(x)在[0,＋∞)上单调递增,所以f(5)>f(3)>f(2).又因为f(－3)＝f(3),所以f(5)>f(－3)>f(2).A

2

例5(2026·新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*,且f(3)＝－5,f(17)＝3,f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2),则f(2026)＝(

)A.5 B.－5C.2 D.－2D由题意得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x),用x＋1代替x,得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1).两式相加,得f(x＋3)＝－f(x),所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x),所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.考点三函数的周期性及应用因为f(17)＝3,所以f(5)＝f(17)＝3,又因为f(5)＝－f(2),所以f(2)＝－3.又因为f(2)＝f(1)＋f(3),即－3＝f(1)－5,解得f(1)＝2,所以f(2026)＝f(337×6＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－2.感悟提升1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.训练3(2025·青岛三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(x＋y)－f(x－y)＝2f(1－x)·f(y),f(1)＝1,则f(2025)＝(

)A.－1 B.0C.1 D.2C令x＝0,则f(y)－f(－y)＝2f(1)f(y)＝2f(y),∴f(y)＝－f(－y),∴f(x)为奇函数,令y＝1,则f(x＋1)－f(x－1)＝2f(1－x)f(1)＝2f(1－x),∵f(x)为奇函数,∴f(1－x)＝－f(x－1),∴f(x＋1)＝－f(x－1),∴f(x＋2)＝－f(x),∴f(x＋4)＝f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(2025)＝f(1)＝1.1.我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,解决抽象函数问题的两种常用方法有:函数性质法和特殊值法.2.常见的抽象函数模型:(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看作f(x)＝kx的抽象表达式;(2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看作f(x)＝ax的抽象表达式(a>0,且a≠1);(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看作f(x)＝logax的抽象表达式(a>0,且a≠1);(4)f(xy)＝f(x)f(y)可看作f(x)＝xα的抽象表达式.抽象函数微点突破一、抽象函数求值例1已知函数f(x),对任意x,y∈R,满足f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y),且f(1)＝2,f(2)＝0,则f(1)＋f(2)＋…＋f(90)的值为(

)A.－2 B.0C.2 D.4C在f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)中,令x＝2,y＝1,得f(3)f(1)＝f2(2)－f2(1),因为f(1)＝2,f(2)＝0,所以f(3)＝－2;令x＝3,y＝2,得f(5)f(1)＝f2(3)－f2(2)＝4,所以f(5)＝2;令x＝4,y＝1,得f(5)f(3)＝f2(4)－f2(1),所以f(4)＝0.在f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)中,令y＝2,得f(x＋2)f(x－2)＝f2(x),所以令x＝5,得f(7)＝－2,令x＝7,得f(9)＝2.在f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)中,令x＝6,y＝1,得f(7)f(5)＝f2(6)－f2(1),所以f(6)＝0;令x＝8,y＝1,得f(9)f(7)＝f2(8)－f2(1),所以f(8)＝0.依此类推,可得f(2k－1)＝(－1)k＋1·2,f(2k)＝0(k∈N*),且f(n)＋f(n＋1)＋f(n＋2)＋f(n＋3)＝0(k∈N*).所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(90)＝22×0＋f(89)＋f(90)＝0＋2＋0＝2.

ACDA中,令x＝y＝0,得f(0)＝0,故A正确;

A

(3,4]一、单选题1.(2026·北京西城区模拟)给出下列函数其中是偶函数的有(

)A.f(x)＝(x－1)2 B.f(x)＝2xC.f(x)＝x4＋x2 D.f(x)＝|lnx|CA中,f(x)＝(x－1)2的定义域为R,且f(－x)≠f(x),f(－x)≠－f(x),故为非奇非偶函数;B中,f(x)＝2x的定义域为R,且f(－x)≠f(x),f(－x)≠－f(x),故为非奇非偶函数;C中,f(x)＝x4＋x2的定义域为R,且f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝f(x),所以f(x)为偶函数,D中,函数定义域为(0,＋∞),非奇非偶函数.

A

3.设f(x)为偶函数,当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝x－1,则使f(x)>0的x的取值范围是(

)A.{x|x>1} B.{x|－1<x<0}C.{x|x<－1或x>1} D.{x|1<x<0或x>1}C∵当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝x－1单调递增,又∵f(x)为偶函数,故可以作出f(x)的图象如图所示.由图象可知,若f(x)>0,则x<－1或x>1.4.已知函数f(x)满足:∀x∈R,f(x)·f(x＋6)＝2,且f(4)＝1,则f(2026)＝(

)A.1 B.2C.3 D.4B

5.(2026·金华调研)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)·sinx－2在[－2,2]上的最大值和最小值分别为M,N,则M＋N＝(

)A.－4 B.0C.2 D.4A令g(x)＝f(x)＋2＝(ex＋e－x)sinx,其定义域为R,因为f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值分别为M,N,所以g(x)在[－2,2]上的最大值和最小值分别为M＋2,N＋2.因为g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(e－x＋ex)sinx＝－g(x),所以g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点对称,所以g(x)在[－2,2]上的最大值和最小值互为相反数,即M＋2＋N＋2＝0,所以M＋N＝－4,故选A.

B

D

8.(2025·辽宁名校联考)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,f(x＋1)是偶函数,则(

)A.f(0)＝1 B.f(x)是周期函数C.f(x＋3)为偶函数 D.f(x＋5)为奇函数BC法一对于A,B,因为f(x＋1)是偶函数,所以f(x＋1)＝f(－x＋1),即f(－x)＝f(2＋x),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),f(0)＝0,于是f(2＋x)＝－f(x),即f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,故A错误,B正确;二、多选题对于C,设g(x)＝f(x＋3),则g(x)的定义域为R,因为f(－x)＝f(2＋x),所以f(－x＋3)＝f(－1＋x),则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3),即g(x)＝g(－x),所以f(x＋3)为偶函数,故C正确;对于D,设h(x)＝f(x＋5),则h(x)的定义域为R,因为f(－x)＝f(2＋x),所以f(－x＋5)＝f(x－3),则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5),即h(x)＝h(－x),所以f(x＋5)为偶函数,故D错误.故选BC.法二对于A,f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)＝0,故A错误;对于B,因为f(x＋1)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x＝1对称,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)是以4为周期的周期函数,故B正确;对于C,由B知,f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1),由f(x＋1)为偶函数得,f(－x＋1)＝f(x＋1),又f(x)是奇函数,所以f(－x－1)＝－f(x＋1)＝－f(－x＋1)＝f(x－1),所以f(x－1)＝f(x＋3)为偶函数,故C正确;对于D,f(x＋5)＝f(x＋5－4)＝f(x＋1)为偶函数,故D错误.故选BC.9.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)满足(

)A.f(0)＝0 B.y＝f(x)为奇函数C.f(x)在R上单调递增 D.f(x－1)>0的解集为{x|<1}ABD由题意,定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),对于A,令x＝y＝0,则f(0)＝f(0)＋f(0),即f(0)＝0,故A正确;对于B,令y＝－x,则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0,即f(－x)＝－f(x),所以y＝f(x)为奇函数,故B正确;对于C,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2),因为x1<x2,所以x1－x2<0,所以f(x1－x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上单调递减,故C错误;对于D,f(x－1)>0,即f(x－1)>f(0),由C知函数f(x)在R上单调递减,所以x－1<0,解得x<1,所以f(x－1)>0的解集为{x|x<1},故D正确.

三、填空题1(答案不唯一)011.(2026·大庆模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3,且f(1)＝－1,则f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝____________.

2由f(x＋1)＋f(x－1)＝3,令x＋1代替x,可得f(x＋2)＝3－f(x),则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,可得f(2025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－1,由f(x＋1)＋f(x－1)＝3,令x＝2025,则f(2026)＋f(2024)＝3,所以f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝2.12.若函数f(x)＝log4(24x＋1)＋(x＋a)2满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x,则a＝__________.

-1

13.已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝x2－2x.(1)求f(x)的解析式;

四、解答题当x≥0时,xf(x)＝