2027届新高考数学热点精准复习 排列、组合问题的解题策略题型归纳

2027届新高考数学热点精准复习排列、组合问题的解题策略题型归纳题型一特殊元素与特殊位置优先策略例1

(2025·辽宁大连模拟)据典籍《周礼·春官》记载,“宫”“商”“角”“徵”“羽”这五音是中国古乐的基本音阶.若把这五个音阶全用上,排成一个五音阶音序,要求“宫”不为末音阶,“商”和“羽”之间恰有两个音阶,则可以排成不同音序的种数是(

)A.12 B.20 C.24 D.32B

规律方法

[对点训练1](多选题)(2025·广东深圳模拟)现用0,1,2,3,4共5个数字组成四位数,则(

)A.可以组成84个无重复数字的四位数B.可以组成404个有重复数字的四位数C.可以组成54个无重复数字的四位偶数D.可以组成120个百位为奇数的四位偶数BD

题型二定序问题倍缩、空位插入策略例2

(1)高二(1)班5位同学排成一排准备照相时,又来了2位同学要加入,若保持原来5位同学的相对顺序不变,则不同的加入方法种数为(

)A.42 B.30 C.21 D.15A

(2)(2025·辽宁三模)9本不同的书平均分成三摞,如图所示,现将这9本书全部取走,且每次只能从其中一摞的上面取一本,则不同的取法有(

)

B

规律方法

[对点训练2](1)某中学为了让AI服务教学,组织研究性学习.在研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F共6项成果要汇报,如果B成果不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为(

)A.100 B.120 C.300

D.600A

(2)(多选题)数学中蕴含着无穷无尽的美,尤以对称美最为直观.回文数是对称美的一种体现,它是按照从左到右与从右到左两种顺序读法都一样的正整数,如22,121,3443,94249等.下列说法正确的是(

)A.末尾为1的五位回文数有100个B.十位大于个位的六位回文数有360个C.2n(n∈N*)位回文数有10n个D.2n+1(n∈N*)位回文数有9×10n个ABD

题型三涂色(种植)问题例3

(1)给图中五个区域染色,有4种不同的颜色可供选择,要求有公共边的区域染上不同的颜色,则不同的染色方法有(

)A.216种 B.192种 C.180种

D.168种

D

(2)如图,一环形花坛分成A,B,C,D,E五块区域,现有5种不同的花供选种,要求在每块区域里种一种花,且相邻的2块区域种不同的花,则不同的种法总数为(

)A.420 B.380 C.360

D.320A

规律方法

涂色(种植)问题的解决方法(1)按照一定的顺序涂,注意讨论哪些区域的颜色相同;(2)按照颜色种类涂,根据图形特点,分析最多涂几种颜色,最少涂几种颜色.[对点训练3]某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛,花坛分为5个区域.现有6种不同的花卉可供选择,要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉,且每个区域只布置一种花卉,则不同的布置方案有(

)A.720种 B.1440种

C.1560种 D.2520种C解析

如图,不同的布置方案分两类:当A与C布置相同的花卉时,先安排E,有6种不同的选择,再安排A与C,有5种不同的选择,再安排B,有4种不同的选择,最后安排D,有4种不同的选择,共有6×5×4×4=480(种)方案;当A与C布置不同的花卉时,先安排E,有6种不同的选择,再安排A与C,有5×4种不同的选择,再安排B,有3种不同的选择,最后安排D,有3种不同的选择,共有6×5×4×3×3=1

080(种)方案.所以不同的布置方案有480+1

080=1

560(种).故选C.题型四元素相同隔板法例4

(2024·河南郑州模拟)将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班,其中甲、乙两班至少各有1个名额(其余两个班可以没有名额),则不同的分配方案种数为(

)A.56 B.84

C.126

D.210B

规律方法

[对点训练4](2024·湖南永州三模)为迎接在某市举行的龙舟比赛,一位热情好客的市民准备将9份一样的当地特产分给甲、乙、丙三名幸运观众,若每人至少分得1份,且甲、乙两人分得的份数不相同,则不同的分法总数

为(

)A.26 B.25 C.24

D.23C

题型五圆排问题线排法

ABD

[对点训练5](原创题)(多选题)学校文艺汇演的开场舞环节,有5对双胞胎姐妹(每对包含1位姐姐和1位妹妹)参与队形排列,下列关于站位安排的说法正确的是(

)A.若要求每对双胞胎必须相邻且站成圆形队形,不同的站法有4!×25种B.若队形为直线排列,且每对双胞胎必须相邻,不同的站法有5!×25种C.若要求每对双胞胎必须相邻且站成圆形队形,并且每对双胞胎中姐姐固定在妹妹左侧,不同站法有5!种D.若10位姐妹直接站成圆形队形,不同的站法有10!种AB解析

对于A,将每对双胞胎捆绑为1个“整体”,共5个整体,故5个整体的圆排列数为(5-1)!=4!.每对双胞胎有2种站法,5对共25种,故总站法为4!×25,故A正确;对于B,直线排列中,5个双胞胎整体的排列数为5!,每对双胞胎内部有