安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二下学期第四次联合教研素质评价数学试卷（含解析）

安徽蚌埠市A层高中2025-2026学年第四次联合教研素质评价高二数学试卷一、单选题1．物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为，则F对于r的瞬时变化率为（

）．A． B． C． D．2．已知数列满足，若，则为（

）A．3 B．9 C．27 D．813．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.44．的二项展开式中x的系数是（

）A． B． C． D．5．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（

）A．种 B．种 C．种 D．种6．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（

）A．2 B．3 C．4 D．57．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（

）A．最大 B．最大 C．最大 D．8．已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列结论正确的是（

）A．若随机变量，则时，概率最大B．若，，且，则，相互独立C．，，，则的值为D．已知，，，则10．已知函数，则（

）A．，是增函数B．，是奇函数C．若有三个不同的零点，，，则D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则11．将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．已知，则__________．13．某学校田径队有甲乙等8名运动员，现将这8人平均分成、两组集训，求甲乙两人同在组的概率为________．14．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，，则的最小值为________．四、解答题15．已知等比数列的前项和满足，且，，成等差数列．数列满足：．(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和．16．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上.(1)求的方程；(2)过点的直线与相切于点（异于点），证明：.17．如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面.(1)求的长；(2)求三棱锥的体积；(3)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知函数．(1)当求在处的切线方程；(2)当时，证明；(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．19．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；(3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式．参考答案1．D【详解】由题意可知，则F对于r的瞬时变化率为．故选：D2．B【详解】因为，所以，所以数列为等比数列，公比为，因为，所以，则，即，解得，所以，，所以.3．B【详解】由题可设，则，，所以，解得．所以．4．B【详解】的二项展开式的通项公式为，化简得，令，得，所以，所以的展开式中x的系数是．5．B【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，其中第一类的排法有种，第二类的排法有种，由分类加法原理可得总的排法数为504，故选：B.6．B【详解】依题意，服从超几何分布，则，当取得最大值时，，即，解得，，所以.故选：B7．D【详解】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此；计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况：甲中奖后乙中奖：概率为；甲未中奖后乙中奖：概率为；；计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况：甲中、乙中、丙中：；甲中、乙不中、丙中：；甲不中、乙中、丙中：；甲不中、乙不中、丙中：；；因此.8．A【详解】，∵存在，对于任意都有，∴在左侧附近，函数小于0.，，①当时，，∴存在，对于任意都有，，函数单调递增，∴当时，，满足题意.②当时，，，∴当时，，函数单调递减，∴不存在，对于任意都有，③当时，，∴存在，对于任意都有，函数单调递减，∴当时，，不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.9．BD【详解】选项A：若随机变量，，由于要使最大，则,故时，概率最大，故A错误；选项B：根据条件概率公式，由，得，所以，则，相互独立，故B正确；选项C：由，即，解得，故C错误；选项D：由题意知，．因为，所以，因此，．又，所以，故D正确．10．ACD【详解】已知，则.选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以.所以，是增函数，故A正确.选项B：，，则，故不是奇函数，故B错误.选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根.其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则.所以，故C正确.选项D：设切点为，，所以切线方程为.又切线过，所以，即.切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点..令，即，解得或.当时，，当时，，所以在、上单调递减，在上单调递增，所以极小值为，极大值为，所以当时，与有3个交点.所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确.11．ABD【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确；对于B，，，，，则，B正确；对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的.严格计算：，，，C错误；对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数，于是，则，则，于是，D正确.故选：ABD12．19【详解】由得，所以，∴，解得，故．故答案为：19．13．【详解】先从8人中选4人进组，其余4人进，总事件数为，甲乙同在组时，只需从剩余6人中选2人补足组，其余4人进，符合要求事件数为，所以所求概率.14．/【详解】由题意得，令，则最小值在对称轴处取得，所以，因此对于固定的，的最小值为，令，求导得，又，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，所以，综上所述，的最小值为．15．(1)，，，．(2)．【详解】（1）∵，，成等差数列，∴，解得：，又∵，当时，，得：，∴，∴，；因为，当时，，两式相减得，则时，；当时，由得，解得符合该式；所以，．（2）由于，，所以．16．(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为点在直线上，所以.因为的渐近线方程为，所以，故.所以的方程为.（2）设，由，得，则.易知直线的斜率存在（另一条过点的切线为），设其方程为，即.由消去，得.因为直线与相切，所以，且，得，所以直线的方程为，方程的根为，所以，所以直线的方程为.又因为点到直线的距离，等于点到轴的距离，又点在内部，所以.17．(1)(2)(3)【详解】（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因为平面，平面，所以，所以在中，，在中，，在中，由余弦定理，得，所以在中，由余弦定理，得.（2）所以在中，，在中，，在中，由余弦定理，得，所以，设点到平面的距离为，由三棱锥的体积公式和性质，得，所以.（3）由上可知：，取的中点，显然，因为平面，平面，所以，因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：，由上可知：是棱中点，，所以可得，，即设平面的法向量为，，所以，所以取该平面的一个法向量为，设直线BC与平面PAB所成角为，所以.18．(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）当，故且，故，故切线方程为，即.（2）的定义域为，；当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；故；要证，只需证，即证；设，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，.又，，故.（3）不妨设，则由得：，即，令，则，故在上单调递增，在上恒成立，即，又，（*）；设，则，由解得：（舍）或，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，由（*）可得，解得：，的取值范围为.19．(1)分布列见解析；(2)(3)【详解】（1）的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分；既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．随机变量的可能取值为2，3，4，可得，的