《力学教材》-《力学教材》-15 船用起重机吊臂失稳分析

问题与思考克令吊（Crane），又称船用吊机、船用起重机，是船上的一种大甲板机械，它是一种船舶装卸货物的设备，如图所示。按照吊臂形式分为：直臂、伸缩臂、折臂三种类型。按照动力源分为：手动、电动、液压三种类型。克令吊工作时，吊臂仰角一般控制在27°~79°之间。吊臂在不同仰角的工作状态下，受力均会发生变化，从而失效的形式也会随之变化。其中，在大仰角状态下的稳定性失效是本次任务主要研究的内容。1构件稳定性失效分析一根宽30mm、厚5mm的矩形截面木杆，对其施加轴向压力，如果材料的抗压强度极限σb

=40MPa，当杆长为30mm时，杆能承担的外力可当杆的长度为1m时，它只能承受30N的外力，若压力继续增大，杆件就会显著弯曲而丧失工作能力。因为两根杆的材料、横截面尺寸都一样，只有杆件的长度是不一样的，显然失效的本质原因是不同的。这种情况表明，此时杆件丧失正常工作能力的本质发生了变化，在折断之前杆件的轴线已经不再是直线了，而是曲线了。也就是杆件失去了原有的直线平衡状态，这种现象在工程上称为丧失稳定性，简称为失稳。1.1压杆稳定性的基本概念1构件稳定性失效分析PF【稳定的直线平衡状态】

细长压杆在力P作用下处于直线形状的平衡状态，当力P不过大时，在受外界（水平力F）干扰后，杆经过若干次摆动，仍能回到原来的直线形状平衡位置，杆原来的直线形状的平衡状态称为稳定平衡。FP【不稳定的直线平衡状态】细长压杆在力P作用下处于直线形状的平衡状态，当力P过大超过某一限度时，若受外界干扰后，杆不能恢复到原来的直线形状而在弯曲形状下保持新的平衡，则杆原来的直线形状的平衡状态称为非稳定平衡。1构件稳定性失效分析受压杆件由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态，即发生失稳现象。（1）对象：仅发生在受压缩杆件上；（2）原因：丧失了保持原有直线平衡状态的能力；（3）现象：杆件突然弯曲最终折断。压杆能否保持稳定，与压力P的大小有着密切的关系。随着压力P的逐渐增大，压杆就会由稳定平衡状态过度到不稳定平衡状态。【压杆失稳】1构件稳定性失效分析1.2临界力与临界应力压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时的压力称为临界力或临界载荷，以Pcr表示。显然，当杆件所受的外力达到临界值时，压杆即开始丧失稳定。压杆能否保持稳定，与压力P的大小有着密切的关系。随着压力P的逐渐增大，压杆就会由稳定平衡状态过度到不稳定平衡状态。临界力的欧拉公式：式中:

I——杆件横截面对中性轴的惯性矩；

μ——与杆件两端支承情况有关的长度系数；

l

——杆件的长度。（1）

临界力1构件稳定性失效分析（2）

临界应力压杆在临界力作用下横截面上的压应力，称为临界应力，用σcr表示。设作用于压杆上的临界力为Pcr，压杆的横截面面积为A，则其临界应力为压杆截面的惯性半径为将其代入上式，则得令则有临界应力的影响因素只有一个λ，λ为柔度，又称为压杆的长细比。σcr与λ2成反比，λ越大，压杆越细长，其临界应力σcr越小，压杆越容易失稳。反之，λ越小，压杆越短粗，其临界应力越大，压杆越不易失稳。1构件稳定性失效分析（3）欧拉公式的适用范围因为欧拉公式是在材料服从虎克定律的条件下导出的，所以，必须在临界应力小于比例极限的条件下才能应用，即由此可以求得对应于比例极限的柔度λ为这样就可以用λp

来表示欧拉公式的适用范围。显然，只有当压杆的实际柔度大于对应于比例极限的柔度时，即λ≥λp时，欧拉公式才能适用。这样的杆件称为大柔度杆或细长杆。1构件稳定性失效分析直线经验公式临界应力总图（4）不同柔度压杆临界应力计算公式a:对于大柔度杆或细长杆（λ≥λp）其失效以失稳为主，其临界应力用欧拉公式计算，即b:对于中柔度杆或中长杆（λs<λ<λp），其临界应力用经验公式计算，即σcr

=a-bλ

c:对于小柔度杆或粗短杆（λ≤λs），其失效是强度不足所致，用压缩强度公式计算，即

σcr

=σs1构件稳定性失效分析1.3压杆的稳定性设计（1）稳定安全准则压杆具有足够的稳定性，不仅要使在压杆上的工作压力小于临界力，而且还应有一定的安全余度。为了保证这个余度，压杆所承受的工作载荷必须满足下述条件：或上式即为稳定安全准则。

Pcr、σcr是压杆的临界力和临界应力，P、σ是压杆的工作压力和工作压应力，[nW]称为压杆的稳定安全系数。1构件稳定性失效分析（2）安全系数法或上式中Pcr和σcr分别为临界应力和临界力，nW为压杆的工作安全系数；σ和P分别为杆件的工作应力和工作载荷。在工程中，对于构件的稳定安全储备都有一定的要求，[nW]常用来表示受压构件必须达到稳定储备程度，称为规定的稳定安全系数。要使受压杆件具有足够的稳定性，就必须是工作稳定安全系数大于规定的稳定安全系数，即上式称为压杆的稳定条件。其中，[nW]称为规定的稳定安全系数。2

船用起重机吊臂失稳分析2.1吊臂变形分析

克令吊工作时，吊臂仰角一般控制在27°~79°之间。吊臂在不同仰角的工作状态下，受力均会发生变化，从而失效的形式也会随之变化，如图所示。吊臂在工作中，无论在何种仰角状态下，变形形式均为压缩、弯曲组合变形状态。失效形式主要有压缩强度与刚度失效、弯曲强度与刚度失效以及稳定性失效。在实际工程中，吊臂的受力是及其复杂的，而且还要考虑多种因素的影响。这里仅从理论上以及在理想状态下，从工程力学角度上对其做简单分析。2船用起重机吊臂失稳分析2.2吊臂失效分析

大仰角下吊臂受力如图（a）所示，吊臂的自重为W、吊重G、钢丝绳拉力T（包括起重和变幅）以及支座反力Rx、Ry的作用。吊臂在W、G、T这三个力的x轴向的分力以及力Rx作用下产生压缩变形，在W、G、T这三个力的y轴向的分力以及力Ry作用下产生弯曲变形，如图（b）所示。（a）

（b）2船用起重机吊臂失稳分析（1）强度计算式中

N——轴力，单位N；A——横截面面积，单位mm2；M——弯矩，单位N·mm；Wj——净截面抗弯模量，单位mm3；[σ]——材料许用正应力，单位MPa。（2）稳定性计算

压弯组合变形稳定性计算公式有两种，一种是理论公式、另一种是经验公式（即雅辛斯基公式），在这里只介绍经验公式，即式中

φp——实腹式杆件的稳定系数，可查询相关设计手册；W——杆件的毛截面抗弯模量。能力拓展【实例分析1】

有一长l=300mm矩形截面宽b=2mm，高h=10mm的压杆。两端铰接，材料为A3钢，E=200GPa，计算压杆的临界应力和临界力。解（1）求惯性半径I矩形截面，如果失稳必在刚度较小的平面内产生微弯曲，故应求出最小惯性半径（2）求柔度λ，

可知μ=1（两端铰支）（3）用欧拉公式计算临界应力（4）计算临界力能力拓展(a)(b)【实例分析2】

螺旋千斤顶如图（a）所示，丝杠的长度375毫米，直径40mm，材料为45号钢，最大起重量P为80千牛，规定的安全稳定系数围，试校核丝杠的稳定性。解（1）计算柔度丝杠可简化为下端固定上端自由的压杆如图（b）所示，故支撑系数μ=2。因（2）计算临界力因，故此丝杠为中长杆，应采用经验公式计算临界压力。查表得：a=589MPa，b=3.82MPa。可得（3）校核压杆的稳定性能力拓展【实例分析3】受压杆件失稳方向的判断。如图所示，矩形截面梁在力P的作用下，有两种失稳的可能，一是绕中性轴z轴的方向失稳，而是绕中性轴y轴方向失稳，究竟是先先向哪个方向失稳，这要通过截面绕中性轴z、y的两个方向上的临界应力来进行比较，分析如下Phbyzzy左右弯曲方向前后弯曲方向其中：

iz>iy

λz<λy

>所以该杆件首先发生失稳的方向是以y轴为中性轴的方向（即图示左右方向首先失稳）。能力拓展【知识拓展】能力拓展【知识拓展】除压杆外，其他构件也存在稳定失效问题。例如在内压作用