第45讲 实验：用单摆测重力加速度（复习讲义）（福建专用）（教师版）

第45讲实验：用单摆测重力加速度目录TOC\o"1-4"\h\z\u01考情解码·命题预警 102体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 4考点一基本原理与操作 4知识点1实验原理与操作 4知识点2数据处理与误差分析 4知识点3注意事项 5考向1实验原理与操作 5考向2数据处理与误差分析 8考点二创新实验方案 13知识点创新方案 13考向1实验方法创新 13考向2实验器材创新 1504真题溯源·考向感知 18

考点要求考频2025年2024年2023年用单摆测量重力加速度的大小理解低频\\\考情分析：1.命题形式：单选题非选择题2.命题分析：各地高考对用单摆测量重力加速度的大小这个实验的考查近几年频度不是太高，考查难度不大。3.备考建议：本讲内容备考时候，注意理解单摆的规律及周期公式，掌握用单摆测量重力加速度的原理与操作会进行误差分析4.命题情境：教材原型实验、以原型为基础的创新实验5.常用方法：极限法复习目标：1.理解和掌握用单摆测量重力加速度的大小实验原理，并会做出必要的误差分析。2.能够在原型实验基础上，通过对实验的改进或者创新，做出同类探究。考点一基本原理与操作知识点1实验原理与操作1．原理装置图(如图所示)(1)摆角很小时，单摆做简谐运动，周期T＝2πeq\r(\f(l,g))。(2)由g＝eq\f(4π2,T2)l可知，只要测出l、T即可计算当地重力加速度。2．操作要领(1)做单摆：用约1m长的细线穿过小球上的小孔，并打一个比孔大的结，并把细线另一端固定在铁架台上。(2)测摆长：用毫米刻度线测摆线长l′，用游标卡尺测小球直径D，则摆长l＝l′＋eq\f(D,2)。(3)测周期：让摆球偏离一个角度(不大于5°)，释放后让单摆自由摆动，测出单摆振动30～50次的总时间，求出周期，反复测量三次，求出周期的平均值。知识点2数据处理与误差分析1．数据处理公式法将测得的几组周期T和摆长l代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值图像法由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得l＝eq\f(g,4π2)T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l­T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝eq\f(l,T2)＝eq\f(Δl,ΔT2)2．误差分析(1)系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可视为质点，球、线是否符合要求，振幅是否足够小，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。(2)偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1,2，…在数“0”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应多次测量后取平均值。知识点3注意事项(1)选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm。(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角要不大于5°。可通过估算振幅的办法掌握。(4)摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。(5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过平衡位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在数“0”的同时按下秒表，开始计时计数。考向1实验原理与操作例1（2025·福建·一模）某实验小组利用如图甲所示装置测定当地的重力加速度。所用实验器材有钢制摆球，长度可调的轻质细线、刻度尺、游标卡尺等。(1)实验中，摆线长度为l，用游标卡尺测量摆球直径，示数如图乙所示，其读数为mm；(2)当单摆振动稳定且某次到达最低点时开始计时并计数为“1”，单摆每经过最低点计1次数，当计数到“51”时，秒表的示数为50.5s，则该单摆的周期为s（结果保留三位有效数字）；(3)求得当地重力加速度（结果用“l、d、T、”表示）；(4)某次实验中计算得出的重力加速度g小于当地重力加速度，则原因可能是__________（填正确答案标号）A．将悬点到小球下端的距离记为摆长B．将细线长度记为摆长C．误将29次全振动记为30次D．误将31次全振动记为30次【答案】(1)15.5(2)2.02(3)(4)BD【详解】（1）图乙可知该游标卡尺精度为0.1mm，故读数（2）题意可知50.5s内单摆完成的周期个数为个故单摆周期（3）根据单摆周期解得（4）A．根据单摆周期整理得可知将悬点到小球下端的距离记为摆长，则测量摆长偏长，g的测量值偏大，故A错误；B．将细线长度记为摆长，则测量摆长偏小，g的测量值偏小，故B正确；CD．结合第二问分析可知，误将29次全振动记为30次，则周期偏小，g的测量值偏大；误将31次全振动记为30次，则周期偏大，g的测量值偏小，故C错误，D正确。故选BD。【变式训练·变载体】（2024·福建泉州·一模）某同学自己在家里做单摆测定重力加速度的实验，由于没有摆球，他用一块不规则的石块代替，用细线将石块系好，结点为A，细线上端固定于O点，如图甲所示，然后用刻度尺测量细线的长度L作为摆长，将石块拉开一个小角度（约）并由静止释放，石块摆到最低点时开始计时，用秒表测量完成50次全振动的总时间t，由求出周期，改变OA间细线的长度，再做几次实验，记下相应的L和T如下表：实验次数12345摆线长L（cm）50次全振动时间t（s）周期T（s）(1)第4次实验时的秒表示数如图乙所示，它的示数为s；(2)该同学根据实验数据作出的图像如图丙所示，图丙中图像没有通过原点的原因是；(3)取，由图丙求出重力加速度（结果保留三位有效数字）；(4)把细线的长度作为摆长，并由图丙求出的g值（选填“大于”“小于”或“等于”）当地的真实值。【答案】(1)95.9(2)以细线长作为摆长(3)9.77(4)等于【详解】（1）根据秒表的读数规律，该读数为（2）摆长为悬点到石块重心之间的间距，图丙中图像没有通过原点的原因是以细线长作为摆长，没有考虑结点A到石块重心的间距。（3）令结点A到石块重心的间距为d，则有解得结合图丙有解得（4）结合上述，可知，根据图像的斜率求解重力加速度与结点A到石块重心的间距无关，即把细线的长度作为摆长，并由图丙求出的g值等于当地的真实值。考向2数据处理与误差分析例2（2023·福建宁德·模拟预测）某智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。宁德某中学的小宁在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下；①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。③运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。（1）如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为。（2）实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为cm。（3）得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了图形，如图丁所示，根据图中数据可得当地重力加速度g=。（结果保留三位有效数字）（4）查表可知宁德地区的重力加速度为，则本实验的相对误差为%。（结果保留2位有效数字）【答案】2.009.961.7【详解】（1）[1]测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为（2）[2]实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为（3）[3]据单摆周期公式可得整理可得其中对比图丁可得解得（4）[4]查表可知宁德地区的重力加速度为，则本实验的相对误差为【变式训练1·变考法】（2023·福建莆田·二模）某实验小组利用如图甲装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。在铁架台上端用摆线悬挂一摆球，铁架台下端固定一个激光源，发出的激光方向与水平面平行，在摆球的右边与摆球中心等高的位置固定一智能手机，使得激光的中心与摆球的中心以及智能手机的光线接收口在同一水平直线上。利用手机光线传感器接收到的光照强度随时间变化情况，测出摆球的周期。（1）实验主要过程如下：①按图甲安装实验装置，下列有关器材的选择和安装最合理的是；A．

B．

C．

D．②如图乙，用游标卡尺测出摆球的直径d=cm；用刻度尺测出摆线长度l，算出摆长L；③打开激光光源和手机传感器，运行软件；④让单摆做简谐运动，采集数据；⑤改变摆线长度l，重复步骤④；⑥导出数据获得单摆振动周期T，从而得到对应的与L的数据如下表：次数数据123456L/cm38.0048.0058.0068.0078.0088.00T/s1.241.391.531.661.781.89/1.541.932.342.763.173.57⑦根据表中数据在坐标纸上描点，如图丙：⑧请在图丙中绘出图线，并根据图像求出当地的重力加速度g＝。（取9.87，结果保留三位有效数字）（2）下列关于本实验的误差中，属于系统误差的有。A．测量摆长引起的误差

B．描绘图线引起的误差C．摆线具有伸缩性引起的误差

D．利用手机测量周期引起的误差【答案】B1.149.72CD/DC【详解】（1）①[1]摆线悬点应固定，摆线应选择质量小、不易伸长的细丝线，摆球应选择体积小、质量大的铁球。故选B。②[2]摆球直径为⑧[3][4]根据数据绘出图线由得图线斜率为得（2）[5]AB．测量摆长引起的误差和描绘图线引起的误差是由于不稳定随机因素造成，属于偶然误差，AB错误；CD．摆线具有伸缩性和手机测量周期引起的误差是由于仪器不完善、测量方法不准确等因素造成，属于系统误差，CD正确。故选CD。考点二创新实验方案知识点创新方案(1)实验原理的改进：借助光敏电阻测时间(2)实验器材的改进：用杆线摆替代线摆考向1实验方法创新例1（2025·福建·模拟预测）团队成功与否很大程度取决于各部门合作。A小组做“利用单摆测g”实验，B小组做“验证机械能守恒”实验，于是两个小组合作共同完成实验。装置如甲图，首先用游标卡尺测量小球直径，乙图为所测直径的示数cm，悬挂单摆于P点，测出摆线长为，让单摆在同一竖直面内摆动，测得50次全振动的时间如丙图，则单摆周期s（保留2位有效数字），由此A小组利用公式得到（保留3位有效数字）；接着，把摆球拉开至A点测出A到竖直线OP的垂直距离x、悬点P至球心的距离l、小球经过最低点O处光电门的时间t，若机械能守恒则应满足关系式：。（用已测得量l、x、d、t表示，）【答案】1.172.09.81【详解】[1]乙图为所测直径的示数[2]由丙图可知50次全振动的时间则周期[3]摆长由，解得[4]小球经过最低点O处的速度大小为摆球从A点最低点O处的高度差由，可得【变式训练·变考法】（2024·福建·一模）一同学利用如图所示装置来测定当地的重力加速度。已知光滑圆弧凹槽ABC的半径为R，B为圆弧轨道最低点，A、C等高，θ很小。钢球的半径为r，当钢球经过圆弧轨道最低点B时，钢球的球心恰好经过光电门（图中未画出）。现将钢球从A点由静止释放，沿凹槽ABC自由往复运动，当光电门第一次被挡光时计数为“0”并开始计时，之后每挡光一次计数增加1，当计数为20时，计时为t。(1)钢球往复运动的周期为；(2)钢球在圆弧轨道上的运动与单摆运动相似，根据“用单摆测量重力加速度”实验原理，可得当地的重力加速度的表达式为。(3)由于在计数时误将“19”计为“20”，由此测得重力加速度值与真实值相比是。（填“偏大”或者“偏小”）【答案】(1)(2)(3)偏大【详解】（1）根据题意可得解得钢球往复运动的周期为（2）根据题意可知，单摆的摆长，结合单摆周期公式有结合上述解得（3）由于计数失误使测量的周期偏小，根据上述可知，测得重力加速度值与真实值相比是偏大。考向2实验器材创新例2（2024·福建漳州·三模）在“探究单摆摆长和周期关系”实验中：(1)如图甲为实验装置示意图，小金用秒表记录下单摆50次全振动所用时间如图乙所示，其示数为s；(2)图甲中A为小球摆动的平衡位置，B为摆动的最高点，则应选（填“A”或“B”）位置作为计时起点；(3)小金同学以摆线的长度（L）作为纵坐标，以单摆周期的平方（）作为横坐标，作出的图像如图丙所示，若作出的图线斜率为k，则根据图像得到当地的重力加速度（用题中已知物理量符号表示），图线不过坐标原点的主要原因是。【答案】(1)96.1(2)A(3)漏掉小球半径或把摆线长度L作为摆长【详解】（1）小盘的读数加上大盘的读数即可（2）通常在平衡位置开始计时，此时小球的速度最大，特征明显。即在A位置开始计时。（3）[1]设小球的直径为，由单摆的周期可知解得故在图像中，其斜率为，则有所以或[2]由上述分析可知，图线不过坐标原点的主要原因是漏掉小球半径或把摆线长度L作为摆长。【变式训练】（2022·福建龙岩·模拟预测）某小组同学用如图1所示的DIS二维运动实验系统研究单摆在运动过程中机械能的转化和守恒（忽略空气阻力）。实验时，使发射器（相当于摆球）偏离平衡位置后由静止释放，使其在竖直平面内摆动。系统每隔0.02s记录一次发射器的位置，多次往复运动后，在计算机屏幕上得到的发射器在竖直平面内的运动轨迹如图2所示。（当地的重力加速度g=9.8m/s2）（1）在运动轨迹上选取适当区域后。点击“计算数据”，系统即可计算出摆球在所选区域内各点的重力势能、动能及总机械能，并绘出对应的图线，如图3所示。由图3可知，此单摆的周期为s。是否可以根据单摆的周期公式计算此摆的摆长大小，如若能，请计算摆长大小：若不能请说明理由。。（2）图3中的C点对应在图2中圆弧轨迹AB上的某一点，该点在()A．圆弧AB中点的左侧

B．圆弧AB中点的右侧C．圆弧AB的中点

D．信息不够，不能确定【答案】1.12见解析A【详解】（1）[1]由图3可得，经2.8s时间，摆球重力势能从零增大到最大，动能从最大减小为零，可知[2]由可知，假设可以计算其摆长，则代入数据得摆长为因摆球的振幅约为0.20m，此时摆角远大于5度，则不能根据单摆周期公式计算此摆长大小。（2）[3]由图可知，图3中的C点动能和势能相等，根据即根据几何知识可知，该点在圆弧AB中点的左侧。故选A。1．（2025·海南·高考真题）小组用如图所示单摆测量当地重力加速度(1)用游标卡尺测得小球直径，刻度尺测得摆线长，则单摆摆长（保留四位有效数字）；(2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为（），无初速度的释放小球，小球经过点（选填：“最高”或“最低”）时，开始计时，记录小球做了次全振动用时，则单摆周期，由此可得当地重力加速度（）。【答案】(1)(2)最低【详解】（1）单摆的摆长为（2）[1]为减