2026年高考数学终极冲刺：秘籍13 空间几何体截面问题与动点轨迹问题（原卷版）

4/4秘籍13空间几何体截面问题与动点轨迹问题题型考情分析考向预测1.截面形状与作图判断2023年新高考卷Ⅰ：12题考查了正方体中最大截面2023年新高考卷Ⅱ：14题考查了正四棱锥中截面问题2024年天津高考卷：14题考查正方体中动态问题2025年新高考卷Ⅱ：14题考查圆柱中两球相切截面问题2026年高考，空间几何体截面与动点轨迹仍为选填压轴热点，难度中高档.1.截面：以正方体、棱锥、球为载体，考形状判定、面积或周长最值.2.动点轨迹：常见线段、圆弧、椭圆、抛物线，结合等距、垂直、平行条件；常与最值、范围、体积/距离综合2.截面周长面积计算与最值3.截面分割几何体的体积、面积比4.动点在几何体表面、内部的轨迹问题及动点轨迹长度、周长、面积5.与动点有关的最值问题6.动点的存在性与唯一性问题题型1截面形状与作图判断1..高频几何体的截面问题(1)正方体的基本斜截面：正六面体的斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．(2)圆柱体的基本截面：圆柱体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面垂直于底面去截时，得到的截面是矩形；当平面既不平行也不垂直于底面去截时，得到的截面是椭圆或椭圆的一部分圆锥体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面通过圆锥的顶点且垂直于底面去截时，得到的截面是等腰三角形；当平面既不平行于底面，也不通过顶点去截时，得到的截面是椭圆或抛物线或双曲线的一部分（3）.球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.2.常见空间几何体截面的作法技法1直接法若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.技法2平行线法若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.【例1】（2026高三·全国·专题练习（多选）已知正方体的棱长为2，若平面，则下列关于平面截此正方体所得截面的判断中正确的是（

）A．截面形状可能为正三角形B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正五边形D．截面面积最大值为【变式1-1】（2026·辽宁抚顺·一模）已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（

）六边形B．五边形C．四边形D．三角形题型2截面周长，面积计算与最值1.利用平行线法，相交线法作出截面形状，结合正弦定理，余弦定理求解截面的周长与面积。2.用函数思想求截面面积的最值。【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为3，点分别在棱，，则过，，三点的平面截正方体所得多边形的面积为【变式2-1】（2026·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（

） B． C． D．【变式2-2】（2026福建泉州·月考）（多选）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（

）A．平面B．点到平面的距离为1C．过作与该正方体所有棱都相切的球的截面，所得截面的面积的最小值为D．若为直线上的动点，则为定值题型3截面分割几何体的面积，体积比1.截面分割几何体时，找出分割后两部分中特殊几何体如棱柱，棱锥，棱台等，再利用求棱柱，棱锥，棱台公式求体积【例3】（2026江西宜春十校联考）（多选）在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（）A．直线与所成的角的大小为B．直线平面C．平面平面D．平面将正方体截成的两部分（较大部分与较小部分）的体积之比为【变式3-1】(2026成都诊断联考)正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2,侧棱长为2,过点A作一个与侧棱PC垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为.题型4动点在几何体表面、内部的轨迹问题1对于翻折问题的动点及轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.2判断轨迹的类型问题，常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等.在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问【例4】（2026郑州一模）（多选）在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，点Q在侧面内运动，则下列结论正确是（

）A．若，则动点Q的轨迹是线段B．若，则动点Q的轨迹是圆的一部分C．若，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分D．若点Q到与的距离相等，则动点Q的轨迹是双曲线的一部分【变式4-1】（25-26高三上·辽宁·月考）（多选）如图，是棱长为2的正方体的侧面上的一个动点，是棱的中点，则下列说法正确的是（

）A．若点与点重合，则异面直线与所成角的大小为B．若点满足，则动点的轨迹长度为2C．三棱锥体积的最大值为D．当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为【变式4-2】如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（

）A．圆锥的侧面积为B．三棱锥的体积的最大值为C．的取值范围是D．若，为线段上的动点，则的最小值为题型5与动点有关的最值、范围问题(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值.(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.【例5】(2026·西安调研)（多选）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的有（

）A．异面直线与所成的角为45°；B．此八面体的外接球与内切球的体积之比为；C．若点为棱上的动点，则的最小值为；D．若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.【变式5-1】（25-26高三上·天津西青·月考）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（

）A．当时，点一定在线段上B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为C．当点在棱上运动时，的最小值为D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为【变式5-2】(2026河南名校联考)已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是．题型6动点的存在性与唯一性问题1.直接法，利用特殊性直接找出特殊点，判断存在性2.向量法，通过向量计算判断唯一性【例6】(2026江西名校联考）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点P在线段AC上运动，则（

）A．平面B．与平面所成的角随AP的增大先变大再变小C．存在唯一点P，使得与所成角的大小为30°D．若Q为棱BC上一动点，则的周长的最小值为【变式6-1】（2026·广东名校联考）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．当时，点的轨迹长度为C．存在唯一，使D．若，则三棱锥外接球的半径为一、单选题1在正方体中，P、Q、R分别是棱BC、、的中点，过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形的形状是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形2.已知正四面体棱长为4，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面之和为（

）A．4 B． C． D．3．（2025·广西·三模）如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（

）A． B． C． D．4（2026·北京丰台·一模）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论：①存在唯一的点，使得，，，四点共面；②的最小值为；③存在点，使得；④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为.其中所有正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45.在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．多选题6.（2026·甘肃武威·模拟预测）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点，则（

）

A．异面直线与所成角的余弦值为B．三棱锥体积的最小值为2C．当平面时，线段的最小值为D．存在点，，使得7.（25-26高三上·浙江温州·月考）.如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（

）

A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形B．平面平面C．若，则的最小值为D．若，则点的轨迹长度为8,。（多选）已知三棱锥，三棱锥的外接球为球，则下列选项中正确的是（

）A．与可能垂直B．与可能垂直C．过棱作球的截面，截面面积可能为D．二面角的余弦值可能为9.（2026·江苏泰州·二模）（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体的棱长为3，则下列说法正确的是（

）A．勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值大于3B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是C．勒洛四面体四个曲面交线长的和为D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为三、填空题10.如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为．11.已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是.12.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为．13已知直四棱柱中高为