2026年辽宁鞍山市高三下学期5月份质量检测数学试卷解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页26届高三5月份质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足，则复数虚部为（

）A．1 B． C． D．3．为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（

）346722.54.5A．5 B．6 C．7 D．84．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（

）A． B． C． D．5．已知是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，∥，∥，则“与为异面直线”是“∥”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前100项和为（

）A． B． C． D．8．定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（

）A．函数的最小正周期B．是函数的一个对称中心C．函数在区间上的值域为D．将函数的图象向左平移后得到的图象，则10．已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A． B．是等比数列C． D．11．函数的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（

）A．的极小值点为B．当时，C．过原点且与曲线相切的直线仅有2条D．若，，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）13．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则__________．14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，实地测量中，在岸边选了3个位置在对岸处，下面得到了一些参数．已知：，，，．(1)求的长度；(2)求的值．16．如图，在直三棱柱中，底面三角形是边长为2的等边三角形，是棱上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到达点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为.(1)求证：平面；(2)求平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值.17．年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立.(1)当时记系统中正常工作的元件个数为随机变量，回答以下问题：①求的分布列及数学期望；②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.(2)该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表：正常工作故障合计模拟太空地面实验室合计请根据小概率值独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？附：，.18．在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”．(1)请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用表示）；(2)当，时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C上，过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点．（ⅰ）求椭圆的方程；（ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由．19．已知函数.(1)当时，求证：；(2)若对于恒成立，求的取值范围；(3)若存在，使得，求证：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】因为，，所以.2．C【详解】由题意可得，所以复数虚部为.3．C【详解】由题意可得，，所以样本中心点为，又与的线性回归方程，所以，解得.4．D【分析】根据抛物线的定义，将焦半径转化为点到准线的距离即得.【详解】由可得：，则抛物线的准线方程为：直线，又，则.故选：D.5．A【解析】根据面面平行的判定定理分析即可.【详解】过作平面，使平面平面，由线面平行的性质定理可得∥，因为与为异面直线，所以与必然相交，（否则有∥，∥得到∥，与与是异面直线矛盾），所以由面面平行的判定定理知∥；反过来若∥，则与不一定为异面直线，可能∥，故“与为异面直线”是“∥”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到面面平行的判定定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.6．C【分析】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值.【详解】因为是的中点，所以，由于三点共线，所以，其中，，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.7．B【分析】先求出的通项公式，再求其前100项的和.【详解】当为偶数时，设，，，所以；当为奇数时，设，，，所以；所以的前100项和为.8．D【分析】根据函数的周期性画出函数的图象，利用对称性判断轴两个函数图象交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围.【详解】由已知满足，且函数为偶函数，所以，令，所以函数是周期为的周期函数.又因为与函数都是偶函数，由对称性可知由于关于的方程至少有8个实数解，故当时，与至少有个交点.函数与图象如图所示.由图可知：当时，只需，解得，当时，只需，解得，当时，显然符合题意.综上所述：.9．AD【分析】先根据图象得到解析式，再根据三角函数性质和三角变换逐项判断.【详解】由图，，所以，所以，图象经过点，代入解析式得，所以，解得，又，所以，所以，对于A：由上分析可知，A正确；对于B：将代入解析式得，正弦函数的对称中心是其函数值为0的点，B错误；对于C：因为，所以，当，即时，取得最小值，C错误；对于D：将函数的图象向左平移后得到，则，D正确；故选：AD.10．BC【详解】依题意，，故A错误；因为，，所以是以6为首项，2为公比的等比数列，故正确；所以，所以，所以，故C正确；，故D错误．11．BD【分析】对函数求导，由导数确定极小值点即可判断选项A；按与的大小化简即可判断选项B；设切点坐标，由导数的几何意义求出切点坐标即可判断选项C；化简，并将转化为一新变量的函数，求其最小值即可判断选项D.【详解】由函数知，，求导得：，对于A选项：，，则的极小值点为，A不正确；对于B选项：时，，时，时，，即时，恒有，B正确；对于C选项：设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，而切线过原点，则有，解得，即过原点且与曲线相切的直线有一条，C不正确；对于D选项：时，，，令，则，，时，时，函数在上递增，在上递减，时即有最小值3，的最小为，D正确.故选：BD【点睛】结论点睛：区间D上的可导函数f(x)的导函数为，则函数f(x)在x0(x0∈D)处的切线方程为：.12．135【分析】根据给定条件，利用赋值法求出n值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.【详解】在中，令得所有项的系数之和为，依题意，，解得，因此的展开式的通项为，令得：，所以项的系数是135.故答案为：13513．【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可；【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以，，所以，所以，所以，即，因为，，所以，所以，所以，所以.故答案为：.14．【分析】设，先根据双曲线的定义得到，，利用三角形的面积公式可得，，进而得到，再由及余弦定理可得，进而求解即可.【详解】由双曲线，得，则，，设，则，所以，，则．在与中，，即，整理得，所以，解得，所以．15．(1)(2)．【分析】（1）利用余弦定理即可求出；（2）延长交于点，先在中，求出的值，再利用正弦定理求出的长，最后设，由即可求出.【详解】（1）在中，，．（2）延长交于点，则，所以为等边三角形，，，由，得，在中，，在中，由正弦定理可得，，则，在中，设，由，可得，则．故的值为．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用平面展开图求出点的位置，再取线段的中点，以为原点建系，求出平面的法向量，根据即可求证；（2）利用坐标计算夹角的余弦值，再根据同角三角函数的关系求出.【详解】（1）由题意可知，，点的路径所在平面的展开图如图，其中最短路径为，得，则点为的中点，因为，所以，得，则点为上靠近点的四等分点，分别取线段的中点，连接，易知平面，，故以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为等边的边长为，所以，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，则，即，又平面，所以平面；（2）易得，平面的法向量为，则，则平面和平面所成的二面角（锐角）的余弦值为，故平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值为.17．(1)①分布列见解析，；②答案见解析(2)没有的把握认为元件工作状态与测试环境有关联.【分析】（1）①由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值；②方法一：计算出时系统的可靠性，时系统的可靠性，比较大小后可得出结论；方法二：记时系统的可靠性为，记时系统的可靠性为，根据题意得出与之间的关系，比较大小后可得出结论；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）①由题意可知，所以，，，，，，则的分布列如下：故；

②（方法1）当时记系统中正常工作的元件数为随机变量，则，记时系统的可靠性为，记时系统的可靠性为，故，

，

故，故时增加一个量子芯片元件即，能提高系统的可靠性；（方法2）记事件为新增加的这个量子芯片元件正常工作，当时记系统中正常工作的元件数为随机变量，当时记系统的可靠性为，当时记系统的可靠性为，有，.

则即即，故时增加一个量子芯片元件即，能提高系统的可靠性.（2）由已知有，故没有的把握认为元件工作状态与测试环境有关联.18．(1)“曼哈顿椭圆”关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称；.(2)（ⅰ）；（ⅱ）直线与圆相切，理由见解析.【分析】（1）根据曼哈顿距离定义推导轨迹方程，利用绝对值性质判断对称性，分段讨论第一象限图形并求总面积；（2）代入顶点坐标求椭圆标准方程；设切线联立方程，用韦达定理与距离公式判断直线与圆的位置关系.【详解】（1）设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则，即，即，所以“曼哈顿椭圆”的方程为.将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称；将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称；同时将方程中替换为，替换为，方程仍不变，所以“曼哈顿椭圆”也关于原点对称．只需分析出第一象限的图象即可，当，时，方程为；当，时，方程为，“曼哈顿椭圆”图形如图所示．其面积为．（2）（ⅰ）∵，，∴椭圆的左右顶点分别为，.设椭圆的方程为，过点则，即，所以椭圆的方程为．（ⅱ）直线与圆相切，理由如下：设过点与圆相切的直线方程为．则，，，解得或．设点，．则，．直线的斜率为．故直线的方程为，又，化简得直线方程为．因此，圆心到直线的距离为，即直线与圆相切．【点睛】根据距离定义建立方程；韦达定理处理斜率；圆心到直线的距离可以用于判断直线与圆位置关系.19．(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果;（2）求解令，则，分类讨论求解的范围;（3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证（*）进而证明结果.【详解】（1）由，得.要证，只需证.令，则.当时，，则单调