初中数学题型专练《几何变换》含答案

初中专题13几何变换综合（旋转、折叠）内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01三角形中的折叠问题题型02平行四边形中的折叠问题题型03菱形中的折叠问题题型04矩形中的折叠问题题型05正方形中的折叠问题题型06三角形中的旋转问题题型07特殊平行四边形中的旋转问题第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01三角形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（

）．A． B． C． D．【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（

）A． B． C． D．方法透视考向解读基础必考题，全题型覆盖，多为三角形边/角的折叠（沿中线、角平分线、高），考查折叠的全等性质、边角等量转化，常结合等腰/直角三角形性质求边长、角度，侧重折叠前后的不变量分析。方法技能①核心：折叠前后对应边相等、对应角相等（折痕为对称轴，两部分全等）；②标注折叠后的等量边/角，结合三角形内角和、勾股定理、等腰三角形“三线合一”列等式；③遇直角三角形折叠，优先用勾股定理设未知数列方程求解。变式演练【变式01】（2025·广东广州·二模）如图，等边三角形的顶点，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点到的距离为（）A． B．2 C． D．【变式02】（2025·广东韶关·模拟预测）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（

）A． B． C．2 D．【变式03】（2025·广东江门·一模）如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型02平行四边形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东广州·二模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，的边，点是边的中点，，连接，将沿着折叠，点落在．若，则点到边的距离是（

）A． B． C． D．方法透视考向解读中档综合题，选择/解答为主，沿边、对角线、折痕折叠平行四边形，考查折叠性质与平行四边形对边平行且相等、对角相等的结合，常求边长、角度、重叠部分面积，侧重折叠后平行线的内错角转化。方法技能①由折叠得全等+平行四边形得边/角等量，推导等腰三角形（折叠后平行线形成等角）；②设未知量表示相关边长，结合勾股定理/平行四边形面积公式计算；③重叠部分面积用“整体减部分”或直接利用等腰三角形/三角形面积公式求解。变式演练【变式01】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为______．【变式02】（2025·广东深圳·三模）如图，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点（），若，，，则______．【变式03】（2025·广东江门·一模）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则的周长为_________．题型03菱形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（

）A． B． C． D．【典例02】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上一点，把四边形沿折叠后得到四边形，，则的长为（

）A． B．3 C． D．方法透视考向解读中档综合题，选择/解答为主，沿对角线、对称轴、边折叠菱形，考查折叠性质与菱形邻边相等、对角线垂直平分的特殊性质结合，常求边长、对角线长、角度、面积，侧重直角三角形的构造与计算。方法技能①折叠+菱形性质得全等三角形+直角三角形（对角线垂直）；②利用菱形对角线平分内角、垂直平分的性质，结合折叠的等量关系，在直角三角形中用勾股定理/三角函数求解；③折叠后重叠部分多为等腰三角形/菱形，利用对称性简化计算。变式演练【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（

）A． B． C．6 D．【变式02】（2025·广东中山·模拟预测）已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（

）A． B． C． D．【变式03】（2025·广东珠海·模拟预测）如图，在菱形中，．为边中点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：；；；，则正确结论有（

）A． B． C． D．

题型04矩形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【典例02】（2025·广东广州·一模）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（

）A． B． C． D．方法透视考向解读高频压轴题，全题型覆盖，沿边、对角线、任意折痕折叠矩形，中考核心考点，考查折叠性质与矩形直角、对边相等的结合，常求折痕长、边长、重叠部分面积，侧重勾股定理的方程思想应用。方法技能①折叠得对应边相等、对应角相等，标注等量，结合矩形直角构造直角三角形；②设未知量（如折叠后重合的边长），利用勾股定理列一元二次方程求解；③折痕长可通过“构造直角三角形求斜边”，重叠部分面积优先找底和高（多为等腰三角形）。变式演练【变式01】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，矩形中，，，P是边中点，将顶点D折叠至线段上一点，折痕为，此时，点C折叠至点．下列说法中错误的是（

）A． B．当时，C．当时，是等腰三角形 D．【变式02】（2025·广东河源·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②PC＝MP；③tan∠NMF＝；④点F是△CMP外接圆的圆心；⑤S四边形PMCG＝6S△PNM．其中正确的是（）A．①④ B．②④⑤ C．②⑤ D．①②④【变式03】（2025·广东梅州·模拟预测）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（

）A．是等腰三角形 B．C．平分 D．折叠后的图形是轴对称图形题型05正方形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东韶关·一模）如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿折叠得到，延长交于点．若，则的长为（

）A．1.5 B．1 C． D．【典例02】（2025·广东肇庆·一模）如图，在正方形中，E为的中点，F为上一点（不与B，C重合），将沿所在的直线折叠，得到，连接．当时，的值是（

）A．1 B． C． D．方法透视考向解读压轴难题，选择/解答压轴为主，沿对角线、对称轴、任意折痕折叠正方形，融合折叠性质与正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等的所有特殊性质，常结合旋转、全等考查，求边长、角度、面积、折痕长，侧重综合推理与方程思想。方法技能①折叠+正方形性质得等腰直角三角形、全等直角三角形，充分利用对角线与边长的2倍关系；②设未知量，用勾股定理/三角函数列方程，复杂图形用“割补法”求面积；③折痕问题结合对称性，作垂线构造直角三角形求解，重叠部分利用全等简化计算。变式演练【变式01】（2025·广东清远·模拟预测）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（）A．1 B． C．3 D．2【变式02】（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．则_______．【变式03】（2025·广东广州·二模）如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是______．题型06三角形中的旋转问题典例引领【典例01】（2025·广东佛山·三模）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转到，连接．(1)绕点旋转过程中，求证：；(2)绕点旋转过程中，延长交线段于点，当四边形为平行四边形时，求线段的长度；(3)在绕点旋转过程中，是否存在以、、为顶点，且为腰的等腰三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，说明理由．【典例02】（2025·广东珠海·三模）在，中，，，，连接、，取的中点(1)【观察猜想】如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______．(2)【探究证明】若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由．(3)【拓展延伸】设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由．方法透视考向解读中档综合题，解答题为主，多为绕顶点旋转（含30°/60°/90°特殊角），考查旋转的性质、全等三角形构造，常求边长、角度、旋转角，侧重旋转前后的不变量与特殊角的应用。方法技能①核心：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等；②绕顶点旋转则公共顶点为旋转中心，构造旋转型全等三角形，转移分散的边/角；③特殊角旋转（60°/90°）可构造等边三角形/等腰直角三角形，利用其性质直接推导边角关系。变式演练【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图①中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，将和按图②所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，则四边形的形状为．

深入探究：老师将图②中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．（1）“巧思小组”提出问题：如图③，当时，过点A作交的延长线于点与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．（2）“聪慧小组”提出问题：如图④，当时，过点A作于点H，若，则．

【变式02】（2025·广东东莞·模拟预测）如图（1），在中，．点D是边上任意一点（不与B，C重合），连接，过点D作于点E，连接，点F为中点，连接．(1)当时，判断四边形的形状，并证明．(2)点D在线段上的什么位置时，的面积最大？请说明理由．(3)如图（1）中的绕点B旋转到如图（2）所示位置，得到，使得点A在直线上，连接，点为中点，与交于点G，其他条件不变．求证：．

【变式03】（2025·广东深圳·模拟预测）【问题初探】（1）如图1，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，．连接，，点为的中点，连接．猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．【深入探究】（2）在（1）的条件下，如图2，将等腰绕点旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【拓展迁移】（3）如图3，等腰中，，．在中，，．连接，，点为的中点，连接．绕点旋转过程中，①线段与的数量关系为：__________；②若，，当点在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为__________．

题型07特殊平行四边形中的旋转问题典例引领【典例01】（2025·广东惠州·模拟预测）综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动．智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和．观察发现：（1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________．操作探究：（2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由．拓展延伸：（3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长．

【典例02】（2025·广东江门·二模）综合运用如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，以，为邻边构造矩形，以点A为旋转中心，顺时针旋转矩形(旋转角为α，)，得到矩形，点B，C，O的对应点分别为点D，E，F．连接，，．(1)当点F在线段上时，求的度数；(2)当点B在直线上时，求点F的坐标；(3)当与矩形的任意一条边垂直时，求的面积．方法透视考向解读压轴难题，解答题压轴为主，绕中心、顶点、对角线交点旋转矩形/菱形/正方形（多为90°/180°），考查旋转性质与特殊平行四边形性质的综合，常求动点轨迹、边长、面积、重叠部分形状，侧重分类讨论与数形结合。方法技能①绕中心/对角线交点旋转180°为中心对称，旋转后与原图形重合；绕顶点旋转90°优先构造全等直角三角形；②利用特殊平行四边形的边/角/对角线性质，结合旋转角标注等量，用勾股定理/三角函数/相似三角形求解；③重叠部分多为特殊图形（正方形、矩形、等腰三角形），根据旋转角度分类讨论其形状与面积变化。变式演练【变式01】（2025·广东湛江·模拟预测）综合与实践问题情境：如图1，正方形和正方形有公共顶点，，，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为，连接，．

(1)猜想证明：猜想图2中与的数量关系并证明；(2)探究发现：如图3，当时，连接，延长交于点，求证：垂直平分；(3)拓展延伸：在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积．【变式02】（2025·广东揭阳·模拟预测）阅读下面活动内容，完成探究1-3的问题：将一个矩形绕点A顺时针旋转α，得到矩形，连结．

[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．[探究2]如图2，连结，过点作交于点M，线段与相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），发现线段存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．【变式03】（2025·广东云浮·模拟预测）如图，四边形ABCD和四边形GHIJ都是正方形，点E同时是边BC和HI的中点，点F是边AD的中点，点K是边GJ的中点，连接BH，FK．(1)如图1，当HI与BC在同一条直线上时，直接写出BH与FK的数量关系和位置关系；(2)正方形ABCD固定不动，将图1中的正方形GHIJ绕点E顺时针旋转角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明：若不成立，说明理由；(3)正方形ABCD固定不动，将图1中的正方形GHIJ绕点E旋转角，作于点L.设，线段AB，BH，HG，GK，KF，FA所围成的图形面积为S.当，时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．

题●型●训●练1．（2025·广东中山·模拟预测）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：①是等腰三角形，；②折叠后和一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④和一定是全等三角形．其中正确的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，菱形的对角线交于原点O，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（）A． B． C． D．3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则（）A．2 B． C． D．1

4．（2025·广东汕尾·模拟预测）如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点M处．折痕为；再将分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点N处．下面结论中正确的个数为（

）①M是的中点；②；③；④当时，A．1 B．2 C．3 D．45．（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（

）A． B． C． D．6．（2025·广东汕头·模拟预测）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．根据以上的操作，若，，则线段的长是_____．

7．（2025·广东广州·三模）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为______．8．（2025·广东深圳·模拟预测）菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是_____．9．（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在菱形中，，的长为6，点E是边上的动点，连接，将菱形沿着折叠，将菱形沿DE折叠，得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点．连接，延长交于点F，连接，若为直角三角形，且时，的长为________．10．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，在矩形中，，把沿对角线折叠，使点C落在处，交于点G，E、F分别是和上的点，线段交于点H，把沿折叠，使点D落在点A处，线段交于点M，则线段的长为_____．11．（2025·广东珠海·三模）综合与实践【发现问题】在进行综合与实践活动时，真智学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形．【定义】若一个四边形为矩形，且相邻边的比为，则这个四边形为类矩形．【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形？【分析并解决问题】（1）真智学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，求证：四边形是类矩形；（2）真智学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形；【拓展】（3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点，，，分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上，再沿折叠，使得点的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．12．（2025·广东深圳·二模）综合与实践【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形．【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形．【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形?【分析并解决问题】（1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形；（2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形；【拓展】（3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．

13．（2026·广东佛山·一模）【问题情境】折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动．活动一：矩形可折叠矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示．活动二：折叠可得矩形如图2，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4．【提出问题】（1）如图1，的度数为；（2）如图1，若，，求的最大值；（3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长；【解决问题】（4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度．

14．（2025·广东茂名·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，．【初步感知】（1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分；【深入探究】（2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长；【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．15．（2025·广东深圳·一模）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．(1)填空：①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）；②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________；(2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形．(3)如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________．

专题13几何变换综合（旋转、折叠）内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01三角形中的折叠问题题型02平行四边形中的折叠问题题型03菱形中的折叠问题题型04矩形中的折叠问题题型05正方形中的折叠问题题型06三角形中的旋转问题题型07特殊平行四边形中的旋转问题第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01三角形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键．由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，因此．结合可计算出，最后利用三角形的内角和定理求出．【详解】解：由折叠的性质可得，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，三角函数，掌握相关知识点是解题的关键．由折叠，推导出，根据勾股定理，得到，求出，则，即可解答．【详解】解：由折叠，得，∵，∴，即，解得，∴．故选A．方法透视考向解读基础必考题，全题型覆盖，多为三角形边/角的折叠（沿中线、角平分线、高），考查折叠的全等性质、边角等量转化，常结合等腰/直角三角形性质求边长、角度，侧重折叠前后的不变量分析。方法技能①核心：折叠前后对应边相等、对应角相等（折痕为对称轴，两部分全等）；②标注折叠后的等量边/角，结合三角形内角和、勾股定理、等腰三角形“三线合一”列等式；③遇直角三角形折叠，优先用勾股定理设未知数列方程求解。变式演练【变式01】（2025·广东广州·二模）如图，等边三角形的顶点，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点到的距离为（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质，由等边三角形的性质可得，，求出，由折叠的性质可得，推出点在以为圆心，2为半径的圆上，作交于，交于，此时最小，得出的面积最小，解直角三角形得出，，即可得解．【详解】解：∵等边三角形的顶点，，∴，，∵，∴，∵点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，∴，∴点在以为圆心，2为半径的圆上，作交于，交于，如图，，此时最小，∵，∴此时的面积最小，∵，∴，∴，∴当的面积最小时，点到的距离为．故选：D．【变式02】（2025·广东韶关·模拟预测）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【详解】解：∵是的中点，∴，设，∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，∴，∵，在中，，即解得：即线段的长为故选：B．【变式03】（2025·广东江门·一模）如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，又由折叠可得，，由此判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，由三角形三边关系可得，即可求解，判断出点在以点为圆心，为半径的圆上是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，，∴，，∴，，∵，∴为直角三角形，，由折叠可得，，，∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，∵，∴，∴的最小值为，故选：．题型02平行四边形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东广州·二模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质及三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质和折叠的性质得，再由三角形的外角性质得到，然后根据三角形内角和定理解答即可求解，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，由折叠的性质得，，，，，，故选：．【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，的边，点是边的中点，，连接，将沿着折叠，点落在．若，则点到边的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别过点E、A作于点F，于点H，由题意易得，，进而可得∠FCE=∠AEH，则，设，点到边的距离是h，则，然后根据勾股定理可求解x，最后根据等积法可求解．【详解】解：分别过点E、A作于点F，于点H，如图所示：∵点是边的中点，，∴，∵，∴，∴，由折叠的性质可得，∵，∴，∴，设，点到边的距离是h，则，∵，∴在Rt△ABH中，，即，解得：（不符合题意，舍去），∴，∴根据△ABE的面积可得：，即，∴，即点到边的距离是；故选A．方法透视考向解读中档综合题，选择/解答为主，沿边、对角线、折痕折叠平行四边形，考查折叠性质与平行四边形对边平行且相等、对角相等的结合，常求边长、角度、重叠部分面积，侧重折叠后平行线的内错角转化。方法技能①由折叠得全等+平行四边形得边/角等量，推导等腰三角形（折叠后平行线形成等角）；②设未知量表示相关边长，结合勾股定理/平行四边形面积公式计算；③重叠部分面积用“整体减部分”或直接利用等腰三角形/三角形面积公式求解。变式演练【变式01】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为______．【答案】108°/度【分析】此题考查平行四边形的性质和折叠问题，由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果．【详解】解：∵是平行四边形，∵，∴，由折叠可得，∴，又∵，∴，又∵，∴中，，∴，故答案为：．【变式02】（2025·广东深圳·三模）如图，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点（），若，，，则______．【答案】【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，根据三角函数的定义得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，根据平行四边形的性质得到，，求得，得到，得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过作于，，，，设，，，，，，四边形是平行四边形，，，，点是边上的三等分点，，，，，四边形是矩形，，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点，，，，，故答案为：．【变式03】（2025·广东江门·一模）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则的周长为_________．

【答案】24【分析】根据平行四边形性质得到，再由折叠性质，确定垂直平分，从而得到为等边三角形，即可得到答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，∴垂直平分，∴，∴，∴等腰为等边三角形，∴的周长为，故答案为：24．题型03菱形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，根据菱形的性质得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得的长，进而求得，根据折叠的性质可得，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是菱形，，∴，则是等边三角形，∵，为的中点，∴，，∴，∴，∵折叠，∴，∴图形的面积是，(此时点重合)故选：B．【典例02】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上一点，把四边形沿折叠后得到四边形，，则的长为（

）

A． B．3 C． D．【答案】D【分析】本题考查折叠，菱形的性质，正方形的判定和性质，三角函数，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键；根据题意，连接，延长到于点，延长到于点，证明为正方形，根据三角函数求出，的长度，即可求解；【详解】解：连接，延长到于点，延长到于点，

因为四边形沿折叠后得到四边形，，，为正方形，，，，，，，故选：D方法透视考向解读中档综合题，选择/解答为主，沿对角线、对称轴、边折叠菱形，考查折叠性质与菱形邻边相等、对角线垂直平分的特殊性质结合，常求边长、对角线长、角度、面积，侧重直角三角形的构造与计算。方法技能①折叠+菱形性质得全等三角形+直角三角形（对角线垂直）；②利用菱形对角线平分内角、垂直平分的性质，结合折叠的等量关系，在直角三角形中用勾股定理/三角函数求解；③折叠后重叠部分多为等腰三角形/菱形，利用对称性简化计算。变式演练【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（

）

A． B． C．6 D．【答案】D【分析】过作于，过作于，由菱形性质和正切定义求出，，再由折叠证明，得到，从而得到，则，则问题可解．【详解】解：过作于，过作于，

由已知，，，∴，，∴设，则，∴在中，，，解得，∴，，由折叠可知，，，∵，∴，∵，∴，∴∴∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴点到的距离是．故选：D．【变式02】（2025·广东中山·模拟预测）已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度．【详解】是菱形，，，，由拆叠可知，，，，，，，故选A．【变式03】（2025·广东珠海·模拟预测）如图，在菱形中，．为边中点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：；；；，则正确结论有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据菱形的性质得到，，推出和是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，从而判断；根据三角函数的定义得到，从而判断；易得，通过线段之间的数量关系，证明，再根据全等三角形的性质得到，从而判断；过作于，求得，易证得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图所示，连接，交于点，四边形是菱形，，，和是等边三角形，是边的中点，，将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，，，，，故正确；，，，故正确；，，，，，，，，，，，，故正确；过作于，，，，，，，，，，，，，，，，故错误．故正确结论有：．故选：B．题型04矩形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明出．先证明，则由可得，设，则，，然后对运用勾股定理建立方程求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∵折叠，∴，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴设，则，，∴在中，由勾股定理得，解得：或（舍），∴，故选：C．【典例02】（2025·广东广州·一模）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，由折叠得是解题的关键．根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解．【详解】解：在矩形中，，，，，由折叠可知：，，，．故选：B．方法透视考向解读高频压轴题，全题型覆盖，沿边、对角线、任意折痕折叠矩形，中考核心考点，考查折叠性质与矩形直角、对边相等的结合，常求折痕长、边长、重叠部分面积，侧重勾股定理的方程思想应用。方法技能①折叠得对应边相等、对应角相等，标注等量，结合矩形直角构造直角三角形；②设未知量（如折叠后重合的边长），利用勾股定理列一元二次方程求解；③折痕长可通过“构造直角三角形求斜边”，重叠部分面积优先找底和高（多为等腰三角形）。变式演练【变式01】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，矩形中，，，P是边中点，将顶点D折叠至线段上一点，折痕为，此时，点C折叠至点．下列说法中错误的是（

）A． B．当时，C．当时，是等腰三角形 D．【答案】C【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形中，，，P是边中点，∴，，∴，∴，故A正确；∵矩形，∴，∴，∴，故D正确；设，根据题意，得，，∵，∴，解得，∴，故B正确；当时，设，根据题意，得，∴，解得；此时重合，三角形不存在，不符合题意；当时，过点作于点N，则；∵矩形，∴，∴，∴，设，根据题意，得，，∴，解得；∴，解得；∴；当时，过点作于点H，设，根据题意，得，∴，，∴，根据勾股定理，得，∴解得；∴；综上所述，或，故C错误，故选C．【变式02】（2025·广东河源·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②PC＝MP；③tan∠NMF＝；④点F是△CMP外接圆的圆心；⑤S四边形PMCG＝6S△PNM．其中正确的是（）A．①④ B．②④⑤ C．②⑤ D．①②④【答案】A【分析】根据折叠的性质得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME+∠CME＝180°＝90°，求得△CMP是直角三角形，①正确，符合题意；由折叠可得∠DMC＝∠MCP，易得△DMC∽△MCP，则，易得CP＝MP，故②错误，不符合题意；由图形可知∠NMF＝∠ECF，则tan∠NMF＝tan∠PCG＝＝，故③错误，不符合题意；由折叠易得∠EMC＝∠MCP，∠EMP＝∠MPC，所以PF＝FM＝FC，即点F是△CMP的外接圆的圆心，故④正确，符合题意；由图形可知，S四边形PMCG＝S梯形PMEG+S△MCE＝S梯形PMAB+S△MCD，可表示四边形PMCG的面积和△PNM的面积，可得S四边形PMCG＝5S△PNM，故⑤错误，不符合题意．【详解】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确，符合题意；在矩形ABCD中，AD＝2AB，设AB＝a，则CD＝a，AD＝BC＝2a将矩形ABCD对折，得到折痕MN，∴AM＝DM＝BN＝CN＝a，在Rt△CDM中，∠D＝90°，CM＝a，由①知，∠CMP＝90°，∴∠CMP＝∠D，∵AD∥BC，∴∠DMC＝∠MCP，∴△DMC∽△MCP，∴，∴＝，即CP＝MP，故②错误，不符合题意；由上可知，△DMC∽△MCP，∴MC2＝CP•DM，即（a）2＝a•CP，∴CP＝a，∴BP＝a，由折叠可知，PG＝BP＝a，∠G＝∠B＝90°，∠MEG＝∠A＝90°，∠MEC＝∠D＝90°，GE＝AB＝a，CE＝CD＝a，∴点C，E，G三点共线，∴CG＝2a，∴tan∠PCG＝＝＝，又∠MNC＝∠MEC＝90°，∠MFN＝∠EFC，∴∠NMF＝∠ECF，∴tan∠NMF＝tan∠PCG＝，故③错误，不符合题意；由折叠可知，∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，又∵AD∥BC，∴∠DMC＝∠MCP，∠AMP＝∠MPC，∴∠EMC＝∠MCP，∠EMP＝∠MPC，∴PF＝FM＝FC，即点F是△CMP的外接圆的圆心，故④正确，符合题意；如图，S四边形PMCG＝S梯形PMEG+S△MCE＝S梯形PMAB+S△MCD，∵S梯形PMAB＝•（BP+AM）•AB＝×（a+a）×a＝a2，S△MCD＝•MD•CD＝×a•a＝a2，∴S四边形PMCG＝a2，又S△PNM＝•MN•PN＝a•a＝a2，即S四边形PMCG＝5S△PNM，故⑤错误，不符合题意．∴符合题意的有2个．故选：A．【变式03】（2025·广东梅州·模拟预测）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（

）A．是等腰三角形 B．C．平分 D．折叠后的图形是轴对称图形【答案】C【分析】由折叠前后的两个图形全等可以得出∠FBD=∠DBC，由长方形的性质可以得出AD∥BC，所以∠FDB=∠FBD=∠DBC,故得出是等腰三角形，根据折叠的性质可证的，折叠前后的两个图形是轴对称图形.【详解】解：∵∴∠FBD=∠DBC∵AD∥BC∴∠FDB=∠FBD=∠DBC∴是等腰三角形∴A选项正确；∵∴AB=ED在△AFB和△FED中∴∴B选项正确；折叠前后的图形是轴对称图形，对称轴为BD∴D选项正确；故选：C.题型05正方形中的折叠问题典例引领【典例01】（2025·广东韶关·一模）如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿折叠得到，延长交于点．若，则的长为（

）A．1.5 B．1 C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．连接，根据折叠的性质和正方形的性质可得，，即可证明得到，设，则，，在中，由勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，由折叠的性质可得，，，∵，∴，又∵，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，，∴，解得，即，故选：D．【典例02】（2025·广东肇庆·一模）如图，在正方形中，E为的中点，F为上一点（不与B，C重合），将沿所在的直线折叠，得到，连接．当时，的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由正方形的性质得，由E为的中点，得，由折叠得，则，而，可证明是等边三角形，则，求得，，则，所以，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，由折叠得，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴∴，∵，∴，故选：B．方法透视考向解读压轴难题，选择/解答压轴为主，沿对角线、对称轴、任意折痕折叠正方形，融合折叠性质与正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等的所有特殊性质，常结合旋转、全等考查，求边长、角度、面积、折痕长，侧重综合推理与方程思想。方法技能①折叠+正方形性质得等腰直角三角形、全等直角三角形，充分利用对角线与边长的2倍关系；②设未知量，用勾股定理/三角函数列方程，复杂图形用“割补法”求面积；③折痕问题结合对称性，作垂线构造直角三角形求解，重叠部分利用全等简化计算。变式演练【变式01】（2025·广东清远·模拟预测）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（）A．1 B． C．3 D．2【答案】D【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据可得，根据折叠前后对应角相等、对应边相等，可得，，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，，列方程即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∴，∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上，∴，，∴，∴，∴，设，则，，∴，解得．故选D．【变式02】（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．则_______．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识并正确作出辅助线是解题关键．证明，从而可证明，设，正方形的边长设为，在中利用勾股定理建立方程，解得，进而可求出结论．【详解】解：如图，连接，∵在正方形纸片中，E是边的中点，．由折叠性质可得，，由折叠可得，．，设，正方形的边长设为，，∴由勾股定理可得：，解得：，∴，由折叠性质可得，∴，即故答案为：．【变式03】（2025·广东广州·二模）如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是______．【答案】①②③④【分析】由正方形的性质得，，，，，则，所以，由折叠得，，，则，，可判断正确；所以，则，所以，则四边形是菱形，可判断正确；可证明，，则，求得，，则，可判断正确；再证明，则，所以，可判断正确，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是正方形，对角线、交于点，，，，，，，，，由折叠得，，，，，故正确；，，，四边形是菱形，故正确；，，，，，，，，，，，，故正确；，，，，，故正确，故答案为：．题型06三角形中的旋转问题典例引领【典例01】（2025·广东佛山·三模）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转到，连接．(1)绕点旋转过程中，求证：；(2)绕点旋转过程中，延长交线段于点，当四边形为平行四边形时，求线段的长度；(3)在绕点旋转过程中，是否存在以、、为顶点，且为腰的等腰三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析；(2)；(3)存在，或．【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，掌握以上知识是解答本题的关键．（1）可得出，，进而得出，从而；（2）连接，根据，得出，，从而点、、、共圆，从而，从而得出，进而得出，进一步得出结果；（3）作于，作于，设，当时，可得出，，，从而得出，，，在中根据勾股定理得出的值，进而得出的值；同样方法求得当时的结果．【详解】（1）解：∵绕点顺时针旋转到，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：连接，如图：，∵，，，∴，，由（1）知，，∴，，即，∴点、、、共圆，∵，∴，∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：作于，作于，设，如图：，当时，∵，∴，由（2）知，，，点、、、共圆，∴，，∴，，∴，，∴，在中，由勾股定理得，，即，∴，；当时，如图：，∵，∴，∴，在中，，由勾股定理得，，∴，∴，∴，综上所述：或；【典例02】（2025·广东珠海·三模）在，中，，，，连接、，取的中点(1)【观察猜想】如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______．(2)【探究证明】若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由．(3)【拓展延伸】设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)（1）的结仍然成立，理由见解析；(3)或．【分析】（1）先由证得，得到和，再结合是的中点得出，进而得，最后通过角的等量代换证明．（2）通过延长至使，先由证得且，进而推出，再由证，最后通过角的关系证明结论．（3）分两种情况，通过作于，利用解直角三角形和直角三角形中角的性质求出相关线段长度，再根据不同情况的面积和差关系计算的面积．【详解】（1）解：，，，，，，点是的中点，，，，，，．故答案为：，．（2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下：如图2中，延长到，使得，设交于，交于，，，，，，，，，，，，，，，∵，，，，，∴．综上，（1）的结论，仍然成立．（3）解：①如图，当，作于，连接，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，即，，；②如图，过点作的延长线于，连接，同①可知，，，∵，∴，∴，．综上所述，的面积为或．方法透视考向解读中档综合题，解答题为主，多为绕顶点旋转（含30°/60°/90°特殊角），考查旋转的性质、全等三角形构造，常求边长、角度、旋转角，侧重旋转前后的不变量与特殊角的应用。方法技能①核心：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等；②绕顶点旋转则公共顶点为旋转中心，构造旋转型全等三角形，转移分散的边/角；③特殊角旋转（60°/90°）可构造等边三角形/等腰直角三角形，利用其性质直接推导边角关系。变式演练【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图①中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，将和按图②所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，则四边形的形状为．

深入探究：老师将图②中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．（1）“巧思小组”提出问题：如图③，当时，过点A作交的延长线于点与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．（2）“聪慧小组”提出问题：如图④，当时，过点A作于点H，若，则．【答案】问题情境：正方形；深入探究：（1）；见解析；（2）【分析】问题情境：先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；深入探究：（1）由已知可得，再由等积方法，推出，再结合已知即可证明结论：（2）设的交点为，过作于，则易得，点是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．【详解】解：问题情境：结论：四边形为正方形．理由如下：，，，，，，∴四边形为矩形．∵，，∴矩形为正方形．故答案为：正方形：深入探究：（1）结论：．理由：∵，，，，，即，，，，由（1）得，；（2）解：如图：设的交点为，过作于，

∵，，，，，，，∴点是的中点，由勾股定理得，，，，即，，，，，．【变式02】（2025·广东东莞·模拟预测）如图（1），在中，．点D是边上任意一点（不与B，C重合），连接，过点D作于点E，连接，点F为中点，连接．(1)当时，判断四边形的形状，并证明．(2)点D在线段上的什么位置时，的面积最大？请说明理由．(3)如图（1）中的绕点B旋转到如图（2）所示位置，得到，使得点A在直线上，连接，点为中点，与交于点G，其他条件不变．求证：．【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2)当时，的面积最大，理由见解析(3)见解析【分析】（1）求得，则，证明是的平分线，利用含30度角的直角三角形的性质以及斜边中线的性质推出，即可证明结论；（2）设，，推出，利用二次函数的性质即可求解；（3）作点A关于的对称点，点关于的对称点Ｈ，证明都是等边三角形，推出，再根据三角形中位线定理即可证明结论．【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：∵在中，，∴，则，∵，∴，∴是的平分线，则，∴，∵点F为中点，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）解：当时，的面积最大，理由如下：设，，则，，，，，，∵点F为中点，∴，∵，∴当时，有最大值，此时，即，∴当时，的面积最大；（3）解：作点A关于的对称点，点关于的对称点Ｈ，连接，则，，∴，由题意得，∴都是等边三角形，∵，∴，∴，∵点为中点，∴是的中位线，

∴，∴．【变式03】（2025·广东深圳·模拟预测）【问题初探】（1）如图1，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，．连接，，点为的中点，连接．猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．【深入探究】（2）在（1）的条件下，如图2，将等腰绕点旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【拓展迁移】（3）如图3，等腰中，，．在中，，．连接，，点为的中点，连接．绕点旋转过程中，①线段与的数量关系为：__________；②若，，当点在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为__________．【答案】（1），，理由见解析；（2）结论，，仍然成立，理由见解析；（3）①；②【分析】（1）延长交于点，根据等腰直角三角形的性质先证明，可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，设，则，可得，再由，，，即可；（2）取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰直角三角形的性质可得，可证明，从而得到，，即可；（3）①取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，可得，可证明，即可；②根据题意可得点D在以点B为圆心，长为半径的圆上运动，则可得当时，最大，过点E作，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出，从而得到，在中，再由勾股定理求出，即可求解．【详解】解：（1），，理由如下：如图，延长交于点，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，，，，又，，，在中，点为斜边的中点，，，设，则，，，在，点为斜边的中点，，，，，；（2）结论，，仍然成立，理由如下：如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，，点，分别是，的中点，，，，在等腰中，点是的中点，，，，点，分别是，的中点，，，，，，，，即，，，在和中，，，，即．综上：，；（3）①如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，点，分别是，的中点，，，，在等腰中，点是的中点，，，，，∴，∴，即，，点，分别是，的中点，，，，，，，，∴；故答案为：②∵，，∴点D在以点B为圆心，长为半径的圆上运动，∴当时，最大，过点E作，∴，∴四边形为矩形，∴，在中，，在中，，，∴，∴，在中，，由①得：，．题型07特殊平行四边形中的旋转问题典例引领【典例01】（2025·广东惠州·模拟预测）综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动．智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和．观察发现：（1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________．操作探究：（2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由．拓展延伸：（3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长．【答案】（1）；；（2）成立，见解析；（3）或【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键．（1）由矩形性质得到的长度，求的长度，用勾股定理求解的长度，可得，用勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故．（2）连接和，结合矩形性质和勾股定理可求的长度，求得，且，故，可得、，求得，故，得证；（3）有两种情况，若当点在的延长线上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求；若点在线段上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求．【详解】解：如下图，连接，延长相交于，∵四边形和四边形都是矩形，∴，，∴在中，，同理：，，∴∵，∴是直角三角形，∴，．故答案为：垂直，；（2）成立理由：如下图，连接和．四边形是矩形，，∴，，∴四边形是矩形，，∴，∴在和中，，，∴．，∴，∴，∴，∴∵，，∴，∴，∴（3）的长为或情况一：如下图，当点在的延长线上时，，∴为直角三角形，∴，即，∴，∴．由（2）得，∴．情况二：如图，当点在线段上时，，∴为直角三角形，∴，即，∴，∴．由（2）得，∴．综上所述，当三点共线时，线段的长为或．【典例02】（2025·广东江门·二模）综合运用如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，以，为邻边构造矩形，以点A为旋转中心，顺时针旋转矩形(旋转角为α，)，得到矩形，点B，C，O的对应点分别为点D，E，F．连接，，．(1)当点F在线段上时，求的度数；(2)当点B在直线上时，求点F的坐标；(3)当与矩形的任意一条边垂直时，求的面积．【答案】(1)(2)(3)15【分析】（1）由旋转的性质可得，根据矩形的性质可得，，在中，利用锐角三角函数求得，即可求解；（2）当点B在直线上时，如图，连接、，过点F作轴于点M，交于点H，由旋转的性质得，，，，证明，可得，，再根据等腰三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求得，，证明，得，求得，，从而求得，，即可求解；（3）当时，如图，连接、，过点B作于点N，由旋转的性质得，，，根据等腰三角形的性质可得，证明，得，，设，则，在中，利用勾股定理列方程求得，，证明，可得，从而求得，再利用三角形面积公式求解即可；当时，，即点C、E、D三点共线，故可得与不垂直．【详解】（1）解：如图，由旋转的性质得，，∵四边形是矩形，∴，，在中，，∴；（2）解：当点B在直线上时，如图，连接、，过点F作轴于点M，交于点H，由旋转的性质得，，，，∵，∴，∴，，∵，，∴，设，则，在中，，解得，∴，，∵轴，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，，∴；（3）解：当时，如图，连接、，过点B作于点N，由旋转的性质得，，，∵，∴，∵，，∴，∴，，设，则，在中，，解得，∴，，∵，，∴，∴，即，解得，∴；如图，当时，，∴点C、E、D三点共线，∵矩形绕点A顺时旋转得到，∴点C、E、D三点不共线，∴与不垂直，综上所述，的面积为15．方法透视考向解读压轴难题，解答题压轴为主，绕中心、顶点、对角线交点旋转矩形/菱形/正方形（多为90°/180°），考查旋转性质与特殊平行四边形性质的综合，常求动点轨迹、边长、面积、重叠部分形状，侧重分类讨论与数形结合。方法技能①绕中心/对角线交点旋转180°为中心对称，旋转后与原图形重合；绕顶点旋转90°优先构造全等直角三角形；②利用特殊平行四边形的边/角/对角线性质，结合旋转角标注等量，用勾股定理/三角函数/相似三角形求解；③重叠部分多为特殊图形（正方形、矩形、等腰三角形），根据旋转角度分类讨论其形状与面积变化。变式演练【变式01】（2025·广东湛江·模拟预测）综合与实践问题情境：如图1，正方形和正方形有公共顶点，，，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为，连接，．

(1)猜想证明：猜想图2中与的数量关系并证明；(2)探究发现：如图3，当时，连接，延长交于点，求证：垂直平分；(3)拓展延伸：在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积．【答案】(1)(2)证明见解析(3)，的面积【分析】（1）利用“”证得即可得到结论；（2）由推出，，通过计算得出，即可得证；（3）当点在线段的垂直平分线上时，的面积有最大值，利用等腰直角三角形的性质结合面积公式即可求解．【详解】（1）解：，证明：在正方形中，，，在正方形中，，，，即，，；（2）证明：由（1）知，即，，，垂直平分（3）解：在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，当点在线段的垂直平分线上时，的面积有最大值，作垂直平分于点，如下图：

，，垂直平分，，，，，，，，．【变式02】（2025·广东揭阳·模拟预测）阅读下面活动内容，完成探究1-3的问题：将一个矩形绕点A顺时针旋转α，得到矩形，连结．

[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．[探究2]如图2，连结，过点作交于点M，线段与相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），发现线段存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．【答案】[探究1]：；[探究2]：相等，理由见解析；[探究3]：，证明见解析．【分析】[探究1]证，设，列出比例式并解出即可；[探究2]先证，得，由得；由前两个结论得，然后即可得出；[探究3]连接，证，然后得，证，列出比例式即可；【详解】解：（探究1）如图1，设，

∵矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，∴点A，B，D在同一直线上，∴，，∴，∵，∴，又∵点在的延长线上，∴，∴，∴，解得，（不合题意，舍去），∴．（2）．证明：如图2，连接，

∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（3）关系式为．证明：如图3，连接，

∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，，，∴，∴，∴，∴．【变式03】（2025·广东云浮·模拟预测）如图，四边形ABCD和四边形GHIJ都是正方形，点E同时是边BC和HI的中点，点F是边AD的中点，点K是边GJ的中点，连接BH，FK．(1)如图1，当HI与BC在同一条直线上时，直接写出BH与FK的数量关系和位置关系；(2)正方形ABCD固定不动，将图1中的正方形GHIJ绕点E顺时针旋转角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明：若不成立，说明理由；(3)正方形ABCD固定不动，将图1中的正方形GHIJ绕点E旋转角，作于点L.设，线段AB，BH，HG，GK，KF，FA所围成的图形面积为S.当，时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．【答案】(1)BH与FK的数量关系为FK=2BH，位置关系为FK⊥BH(2)仍然成立，BH与FK的数量关系不变，FK=2BH，位置关系不变FK⊥BH，证明见解析(3)，变量x的取值范围是【分析】（1），根据正方形的性质和中点定义，可知AB=BC，GH=HI，BE=EC，EH=EI，进而得出BH=IC，再根据FK=AB-GH，可得答案.（2），先连接FE，KE，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形形似，得，进而得出，即可得出数量关系.再延长FK，交BC于M，延长BH，交FM于N，由①可得∠HBE=∠KFE，进而得出∠BNM=90°，即可得出位置关系.（3），分两种情况：第一：当正方形GHIJ绕点E顺时针旋转α时，表示EL，再求出，，表示，再根据，得出，最后根据列出关系式，并求出取值范围.第二：当正方形GHIJ绕点E逆时针旋转α时，与第一类似，再根据列出关系式，并求出自变量取值范围，最后确定答案即可.【详解】（1）解：BH与FK的数量关系为FK=2BH，位置关系为FK⊥BH.根据题意可知AB=BC，GH=HI，BE=EC，EH=EI，∴BH=BE-HE，IC=EC-EI，即BH=IC.∴FK=AB-GH=BC-HI=BH+IC=2BH.（2）当正方形GHIJ绕点E旋转α（）角时，其数量和位置关系不变先证FK=2BH连接FE，KE由题意可得到，∠FEB=∠KEH=90°可得∠HEB+∠FEH=∠KEF+∠FEH∴∠HEB=∠KEF∴∴即FK=2BH②再证FK⊥BH延长FK，交BC于M，延长BH，交FM于N由①可得∠HBE=∠KFE∴∠HBE+∠FMB=∠KFE+∠FMB=90°∴∠BNM=90°即FK⊥BH∴BH与FK的数量关系不变，FK=2BH，位置关系不变FK⊥BH（3）正方形GHIJ绕点E旋转α（0°≤α≤90°），有以下两种情况:当正方形GHIJ绕点E顺时针旋转α时，EL=x-3.如图，，∵，∴∴又∵因此自变量x的取值范围是当正方形GHIJ绕点E逆时针旋转α时，EL=3-x.如图，，∵，∴∴又∵因此自变量x的取值范围是.综上所述，.题●型●训●练1．（2025·广东中山·模拟预测）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：①是等腰三角形，；②折叠后和一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④和一定是全等三角形．其中正确的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③④正确；无法判断和是否相等．【详解】解：四边形为长方形，，，在和中，，，，为等腰三角形，折叠后得到的图形是轴对称图形，无法判断和是否相等．故其中正确的是①③④．故选B．2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，菱形的对角线交于原点O，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点在第三象限，过点作轴于点，延长到点，使，过点作轴于点，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解．【详解】解：将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，，旋转4次后回到原来的位置，，第2023次旋转结束时，点在第三象限，如图：过点作轴于点，延长到点，使，过点作轴于点，，，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，，故第2023次旋转结束时，点的坐标为，故选：C．3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则（）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题关键是设正方形边长为未知数，结合勾股定理列方程求解．设正方形边长，由折叠性质得；根据正方形对边中点折痕，得；在中，用勾股定理求出；再由且（），列出方程，解方程得，即．【详解】解：设，则，，∴中，，又∵，，∴，解得，∴，故选：A．4．（2025·广东汕尾·模拟预测）如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点M处．折痕为；再将分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点N处．下面结论中正确的个数为（

）①M是的中点；②；③；④当时，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据折叠性质可知DM=MN=CM可判断①正确；由折叠性质得∠D=∠MNA，∠C=∠MNP，∠DAM=∠MAN=∠PAB，∠CPM=∠MPN，∠B=∠AMP，由平角定义和平行线的判定与性质可判断②和③正确；可证明∠AMP=∠B=∠DAB=90°，进而可证得∠PAB=30°，由平行四边形的判定与性质以及解直角三角形可判断④正确．【详解】解：由折叠性质得：DM=MN=CM，∠D=∠MNA，∠C=∠MNP，∠DAM=∠MAN=∠PAB，∠CPM=∠MPN，∠B=∠AMP，∴M为CD的中点，故①正确；∵∠MNA+∠MNP=180°，∴∠D+∠C=180°，∴，故②正确；∴∠DAN+∠CPN=180°，∠DAB+∠B=180°，∵∠DAM=∠MAN，∠CPM=∠MPN，，∴2∠DAM+2∠CPM=180°，∴∠DAM+∠CPM=90°，故③正确；∴∠MAN+∠MPN=90°，∴∠AMP=90°=∠B，∴∠DAB=90°，∵∠DAM=∠MAN=∠PAB，∴∠PAB=30°，∴AB=APsin30°=AP，∵AD∥CP，AD=CP，∴四边形DAPC是平行四边形，∴CD=AP，∴AB=CD，即，故④正确，综上，正确的个数有4个，故选：D．5．（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：由折叠的性质得：，，，，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，故选：D．6．（2025·广东汕头·模拟预测）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位