2025-2026学年广州培英中学九年级下学期第五次质检数学试题含答案

初中初三下学期第五次质检考试问卷（数学）一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．1.下列各数中，绝对值最大的是（）A. B. C. D.2.鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（）A B. C. D.3.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有克，数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.下面的成语中，按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是（）①十拿九稳②凤毛麟角③海枯石烂④万无一失A.①②③④ B.④①②③ C.③④①② D.②③④①5.下列运算正确的是（）A. B.C. D.6.若点在第二象限，则a的取值范围是（）A B. C. D.7.越来越多的传统文化创意产品加入西安大唐不夜城，其中大唐团扇倍受游客青睐．如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面中间增加了3根金丝线（虚线），扇子两端增加2根扇骨，金丝线和扇骨均垂直于直径且将均分，已知的长为，则扇骨与之间的距离为（）A. B. C. D.8.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（）A B.C. D.9.如图，已知正方形的边长为12，点E是边上一点，以为一边作正方形，连接交于点H，若的长度为6，则的长为（）A.6 B.4 C.2 D.10.如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点A为中心的正方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（）A. B. C. D.二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．11.在函数中，自变量的取值范围是_____．12.若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为______．13.设一元二次方程的两个根为，，则______．14.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．点P为y轴上一点，连接PA，PC，则的面积为___．15.如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____．三、解答题（一）：共3小题，每小题7分，共21分．16.计算：17.如图，在四边形中，，点E是的中点，且（1）尺规作图：作的平分线，交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若，且，请判断形状，并说明理由．18.随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．求用智能分拣设备后每人每小时可分拣的快件量．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19.《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著；（4）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率．20.如图，一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，）（1）求的长度；（2）求每一个档案盒的厚度；（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．21.某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量y（瓶）与销售单价x（元）满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：（已知每瓶进价为4元，每瓶利润=销售单价-进价）单价（元567销售量（瓶150140130（1）求y关于x函数表达式．（2）该新型饮料每月的总利润为w（元），求w关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？五、解答题（三）：共2题，第22题13分，第23题14分，共27分．22.综合探究如图（1），在矩形中，，E是的中点，与关于对称，连接．（1）求证：．（2）以为直径作．①如图（2），过点F作于点G，当时，试判断此时与的位置关系，并证明；②如图（3），当时，求m的值．23.如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系．初步感知（1）当点P由点A运动到点C时，①若，__________；②S关于t的函数解析式为__________．深入探究（2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图（2）所示．①值为__________；②求S关于t的函数解析式．延伸探究（3）当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，．①求与的数量关系；②当时，的值为__________．初三下学期第五次质检考试问卷（数学）一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．1.下列各数中，绝对值最大的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的意义，计算出各项的绝对值，然后再比较大小即可．【详解】解：，，，，，的绝对值最大，故选：A．2.鲁班锁是一种广泛流传于民间智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看到的平面图形是：故选：D．3.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有克，数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确．4.下面的成语中，按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是（）①十拿九稳②凤毛麟角③海枯石烂④万无一失A.①②③④ B.④①②③ C.③④①② D.②③④①【答案】B【解析】【分析】本题考查可能性的实际应用，万无一失是百分百，所以可能性最大，海枯石烂是全部没有了，可能性为0，所以是最小，十拿九稳是指，所以应该是第二，凤毛麟角是有一些，应该是第三。据此解答即可．【详解】解：①十拿九稳是指，②凤毛麟角是有一些，但不多，③海枯石烂是全部没有了，可能性为0，④万无一失是百分百，则按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是④①②③，故选：B．5.下列运算正确的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项，根据同底数幂的乘法、幂的乘方可判断A项和D项，根据合并同类项的法则可以判断B项和C项．【详解】解：，故A正确；不能合并为，故B错误；，故C错误；，故D错误；．故选A．6.若点在第二象限，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查第二象限内点的坐标特点、解一元一次不等式组等知识点，属于基础题，熟练掌握各个象限内点的坐标特点是解题关键．根据点P在第二象限知它的横坐标小于0，纵坐标大于0，列一元一次不等式组，求解集即可．【详解】解：∵点在第二象限，∴，解得：，故选：A．7.越来越多的传统文化创意产品加入西安大唐不夜城，其中大唐团扇倍受游客青睐．如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面中间增加了3根金丝线（虚线），扇子两端增加2根扇骨，金丝线和扇骨均垂直于直径且将均分，已知的长为，则扇骨与之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要查了垂径定理的应用，勾股定理．设交于点G，连接，根据题意得：扇骨与之间的距离等于，，，，设的半径为，则，在中，利用勾股定理求出r的值，即可求解．【详解】解：如图，设交于点G，连接，根据题意得：扇骨与之间的距离等于，，，，∴，设的半径为，则，在中，，∴，解得：，∴，∴扇骨与之间的距离等于．故选：A8.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据相遇时所走路程相等列出一元一次方程即可得出答案．【详解】设快马x天可以追上慢马，由题意可知：．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是准确找出等量关系，正确列出一元一次方程．9.如图，已知正方形的边长为12，点E是边上一点，以为一边作正方形，连接交于点H，若的长度为6，则的长为（）A.6 B.4 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查相似判定及性质，正方形性质等．根据题意设，则，再证明，再利用相似性质计算即可．【详解】解：∵正方形的边长为12，正方形，的长度为6，∴，设，则，∵，，∴，∴，即：，解得：，∴，故选：B．10.如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点A为中心的正方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分三个时间段求出函数解析式即可判断；【详解】①当0＜x≤4时，y＝=x2，②当4＜x≤8时，y＝×4×4−2××（4−x）2＝−x2＋4x−8，③当x＞8时，y＝8，故B选项的函数图像符合，故选：B．【点睛】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．11.在函数中，自变量的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解即可．【详解】解：在函数中，分母，解得．故答案为：．12.若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为______．【答案】8##八【解析】【分析】本题主要考查多边形内角与外角，先求出多边形的内角和的度数，再设多边形的边数为，列出关于的方程式即可得出答案．熟练掌握多边形内角与外角和公式是解题的关键．【详解】解：∵多边形的内角和比外角和多，∴多边形的内角和为，设多边形的边数为，则，解得：．故答案为：8．13.设一元二次方程的两个根为，，则______．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此代入数值进行计算，即可作答．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，∴，，∴，则，故答案为：3．14.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．点P为y轴上一点，连接PA，PC，则的面积为___．【答案】6【解析】【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果．【详解】解：连接OA和OC，∵点P在y轴上，AB⊥x轴，∴AB∥y轴，则△AOC和△APC面积相等，∵A在上，C在上，AB⊥x轴，∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=9-3=6，∴△APC的面积为6，故答案为：6．．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．15.如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____．【答案】【解析】【分析】由折叠性质得四边形为正方形，设，则，为中点，则．过点作于点，由等腰直角得，在中得，故，进而即可求解．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，由题意得，，，，∴，∴四边形是正方形，∴，设，在中，，∵是的中点，∴，如图，过点作于点，在正方形中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，，，解得，由题意得，，在中，，∵，且，∴，∴．【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合正方形、等腰直角三角形与勾股定理，通过设参数转化线段关系，体现了数形结合与转化化归的核心数学思想．三、解答题（一）：共3小题，每小题7分，共21分．16.计算：【答案】4【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别根据零指数幂运算法则，特殊角三角函数值，绝对值代数意义，负整数指数幂以及立方根的意义化简各项后再进行计算即可．【详解】解：．17.如图，在四边形中，，点E是的中点，且（1）尺规作图：作的平分线，交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若，且，请判断形状，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）判断：等边三角形，理由见解析【解析】【分析】本题考查角平分线画法，直角三角形斜边中线是斜边一半，等腰三角形性质，等边三角形判定，外角和定理等．（1）以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以两点为圆心，大于两点之间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接与两弧的交点即为的平分线，即可作出；（2）先得到及，再得到，即可得到本题答案．【小问1详解】解：以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以两点为圆心，大于两点之间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接与两弧的交点即为的平分线，如下图所示：；【小问2详解】解：判断：等边三角形，理由如下：∵的平分线，，∴，∵点E是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等边三角形．18.随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．求用智能分拣设备后每人每小时可分拣的快件量．【答案】用智能分拣设备后每人每小时可分拣2100件．【解析】【分析】设用传统方式每人每小时可分拣x件，从而可得用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x件，再根据“5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时”建立方程，然后解方程求出x的值，由此即可得出答案．【详解】设用传统方式每人每小时可分拣x件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x件，依题意得：，解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，则（件），答：用智能分拣设备后每人每小时可分拣2100件．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19.《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著；（4）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率．【答案】（1）80；2（2）见解析（3）288名（4）【解析】【分析】（1）用条形统计图中“2部”的人数除以扇形统计图中“2部”的百分比可得本次调查的学生人数；根据中位数的定义可得答案．（2）求出“1部”的人数，补全条形统计图即可．（3）根据用样本估计总体，用480乘以样本中“2部”“3部”“4部”的学生人数所占的百分比之和，即可得出答案．（4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是两人恰好阅读同一部名著的结果数，再利用概率公式可得出答案．【小问1详解】解：本次调查一共抽取了名学生，80个数据从小到大排列后，处在中间位置的是第40个和41个数据，即为2和2，故中位数为（部）．【小问2详解】解：读完一部的人数为：（人），将条形统计图补充如下：小问3详解】解：（名），∴至少阅读2部名著的学生有288名．【小问4详解】解：画树状图如图所示：由图可得所有等可能的结果数共有16种，两人恰好阅读同一本名著的结果数有4种，∴两人恰好阅读同一本名著的概率为：．【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．20.如图，一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，）（1）求的长度；（2）求每一个档案盒的厚度；（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．【答案】（1）（2）（3）该书架中最多能放个这样的档案盒【解析】【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是理解题意．（1）根据，即可求解；（2），则，推出，设每一个档案盒的厚度为，则，根据“书架内侧长为”，列方程即可求解；（3）用书架的总长度除以每一个档案盒的厚度即可求解．【小问1详解】解：在中，，，，长度约为；【小问2详解】如图，由题意得：，，，，设每一个档案盒的厚度为，在中，，，由题意得：，，即每一个档案盒的厚度为；【小问3详解】（个），该书架中最多能放个这样的档案盒．21.某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量y（瓶）与销售单价x（元）满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：（已知每瓶进价为4元，每瓶利润=销售单价-进价）单价（元567销售量（瓶150140130（1）求y关于x的函数表达式．（2）该新型饮料每月的总利润为w（元），求w关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？【答案】（1）；（2）关于的函数表达式为，单价为12元时利润最大，最大利润是640元．【解析】【分析】（1）设关于的函数表达式为，由待定系数法求得和的值，即可得解；（2）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出关于的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得答案；【详解】解：（1）设关于的函数表达式为由题意得：解得：关于的函数表达式为．（2）由题意得：当时，有最大值640元．关于的函数表达式为，单价为12元时利润最大，最大利润是640元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的相关性质，是解题的关键．五、解答题（三）：共2题，第22题13分，第23题14分，共27分．22.综合探究如图（1），在矩形中，，E是中点，与关于对称，连接．（1）求证：．（2）以为直径作．①如图（2），过点F作于点G，当时，试判断此时与的位置关系，并证明；②如图（3），当时，求m的值．【答案】（1）见解析（2）①与相切，见解析；②【解析】【分析】（1）根据对称的性质及线段中点的定义结合三角形内角和定理，平角的定义推出，，即可得出结论；（2）①与相切，证明如下：如图，连接，解直角三角形求出，，由矩形的性质结合对称的性质得到点F在上，由等边对等角求出，即，即可证明与相切，．②如图，连接，由（1）知，证明，推出，设，则，得到，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．【小问1详解】证明：如